复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限．
2.的虚部为( )
A．－i B．i
C． D．－
解析：选C ＝＝＝＝－1＋i，故其虚部为.
3．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B 由(x－i)i＝y＋2i得xi＋1＝y＋2i，故y＝1，x＝2，所以复数x＋yi＝2＋i.
4．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B 因为＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
5．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是纯虚数，则复数z2等于( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
解析：选A 由z1＝2＋i，得1＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1·z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.由1·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A ＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝＝＝3－i.
7．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为a＋＝a－bi为纯虚数，
所以必有a＝0且b≠0，
所以ab＝0，
因此“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要条件．
而当ab＝0时，有a＝0或b＝0，
当b＝0时，a＋为实数，因此“ab＝0”不是“复数a＋为纯虚数”的充分条件．
故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
8．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于( )
A. B.
C. D．
解析：选B ∵＝＝－，
∴它在复平面上的对应点为B，
而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2，1)，
则cos∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝.故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．复数z满足z＋2＝9＋4i(i为虚数单位)，则( )
A．|z|＝5 B．z＝3＋4i
C．z＝3－4i D.＝－3＋4i
解析：选AC 设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2＝9＋4i，所以x＋yi＋2(x－yi)＝9＋4i，化为3x－yi＝9＋4i，所以3x＝9，－y＝4，解得x＝3，y＝－4.所以z＝3－4i，|z|＝＝5.
10．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A．(1－i)(1＋i) B.
C. D．(1－i)2
解析：选BC 根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，
n＝4k(k∈N)时，in＝1；
n＝4k＋1(k∈N)时，in＝i；
n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1；
n＝4k＋3(k∈N)时，in＝－i，
∴M＝{－1，1，i，－i}．
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2 M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i M.故选B、C.
11．在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
解析：选AD A．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，若∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A为真命题；
B．若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z R，故B为假命题；
C．若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故C为假命题；
D．若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题．
12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”，定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位)，“z1 z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．则下列命题中是真命题的有( )
A．1 i 0
B．若z1 z2，z2 z3，则z1 z3
C．若z1 z2，则对于任意z∈C，z1＋z z2＋z
D．若复数z 0，则z·z1 z·z2
解析：选ABC 对于A，1的实部是1，i的实部是0，故A是真命题．
对于B，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由已知得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，“a2＞a3”或“a2＝a3且b2＞b3”，显然有a1≥a3.若a1＞a3，则z1 z3，若a1＝a3，则a1＝a2＝a3，b1＞b2＞b3，也有z1 z3，故B是真命题．
对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，由z1 z2得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，从而“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，∴z1＋z z2＋z，故C是真命题．
对于D，设z1＝1＋i，z2＝－2i，z＝2i，则有z 0，z·z1＝－2＋2i，z·z2＝4，显然有z·z2 z·z1，故D是假命题．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得＋＝，－＝，两式相加，可得2＝＋，则可得对应的复数为1＋7i，所以对应的复数为－1－7i.
法二：如图，把向量平移到向量的位置，可得＝＝－(＋)，则可得对应的复数为－1－7i.
答案：－1－7i
14．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为________．
解析：因为z1－z2＝0，所以z1＝z2，所以解得m＝－1.
答案：－1
15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C.若＝x＋y(O为坐标原点)，则x＋y的值是________．
解析：由题意得A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，若＝x＋y，则(3，－2)＝x(－1，2)＋y(1，－1)，即解得则x＋y＝5.
答案：5
16．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
解析：因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，
所以＝＝＝＝－1＋5i.
因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，则|z|＝.
答案：－1＋5i
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z满足|3＋4i|＋z＝1＋3i.
(1)求；
(2)求eq \f(（1＋i）2（4＋3i）,2)的值．
解：(1)因为|3＋4i|＝5，所以z＝1＋3i－5＝－4＋3i，
所以＝－4－3i.
(2)eq \f(（1＋i）2（4＋3i）,2)＝＝－i.
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i(i为虚数单位)．
(1)求复数z2；
(2)若复数z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
解：(1)∵z1z2＝－5＋5i，
∴z2＝＝＝3－i.
(2)z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i，
∵z3在复平面内所对应的点在第四象限，
∴解得－1＜m＜1，
故实数m的取值范围是(－1，1)．
19．(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2，1)，B(a，3)，a∈R.
(1)若|z1－z2|＝，求a的值；
(2)若复数z＝z1·2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．
解：由复数的几何意义可知z1＝－2＋i，z2＝a＋3i.
(1)因为|z1－z2|＝，所以|－2－a－2i|＝＝，即(a＋1)(a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝－3.
(2)复数z＝z1·2＝(－2＋i)(a－3i)＝(－2a＋3)＋(a＋6)i.
由题意可知，点(－2a＋3，a＋6)在直线y＝－x上，
所以a＋6＝－(－2a＋3)，解得a＝9.
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；
(2)当m＝0时，化简.
解：(1)①当m2－3m＋2＝0时，即m＝1或2时，复数z为实数．
②若z为纯虚数，则
解得
∴m＝－.
即m＝－时，复数z为纯虚数．
(2)当m＝0时，z＝－2＋2i，
＝＝＝－－i.
21．(本小题满分12分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
∴sin θ＝，∴θ＝或.
22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，AB＝，BC＝，AC＝2，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos ∠ACB＝＝＝，
所以sin ∠ACB＝，
所以S△ABC＝·BC·AC·sin ∠ACB＝×2××＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
同理，可求得S△ABC＝1.综上，S△ABC＝1.
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7复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.的虚部为( )
A．－i B．i
C． D．－
3．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
4．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
5．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是纯虚数，则复数z2等于( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
7．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于( )
A. B.
C. D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．复数z满足z＋2＝9＋4i(i为虚数单位)，则( )
A．|z|＝5 B．z＝3＋4i
C．z＝3－4i D.＝－3＋4i
10．已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A．(1－i)(1＋i) B.
C. D．(1－i)2
11．在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2
D．若复数z∈R，则∈R
12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”，定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位)，“z1 z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．则下列命题中是真命题的有( )
A．1 i 0
B．若z1 z2，z2 z3，则z1 z3
C．若z1 z2，则对于任意z∈C，z1＋z z2＋z
D．若复数z 0，则z·z1 z·z2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数为________．
14．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为________．
15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C.若＝x＋y(O为坐标原点)，则x＋y的值是________．
16．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z满足|3＋4i|＋z＝1＋3i.
(1)求；
(2)求eq \f(（1＋i）2（4＋3i）,2)的值．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i(i为虚数单位)．
(1)求复数z2；
(2)若复数z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2，1)，B(a，3)，a∈R.
(1)若|z1－z2|＝，求a的值；
(2)若复数z＝z1·2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；
(2)当m＝0时，化简.
21．(本小题满分12分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
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