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专题 圆周运动的临界问题 同步练习
一、单选题
1．（2021·辽宁大连·高三阶段练习）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B能随转台一起以角速度匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A和B与转台间的动摩擦因数均为，A与转台中心的距离为2r，B与转台中心的距离为r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．转台对A的摩擦力一定为
B．转台对A的摩擦力一定小于对B的摩擦力
C．转台对A的摩擦力一定大于对B的摩擦力
D．转台的角速度逐渐增大的过程中，A比B先滑动
2．（2022·全国·高三专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）21cnjy.com
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A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
3．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状
B．如图b，两个圆锥摆，摆线与竖直方向夹角不同，但圆锥的高相同，则两圆锥摆的角速度相同
C．如图c，同一小球在光滑固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度大小相等21教育网
D．如图c，同一小球在光滑固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球的半径较大，所以在A位置所需向心力较大21·cn·jy·com
4．（2020·湖南师大附中高一期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，完全相同的可视为质点的甲、乙两个金属小球，在置于水平地面的内壁光滑的碗形容器内，先后沿着不同半径在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．甲运动时所需向心力大，甲运动时碗对地面的压力会大于乙运动时碗对地面的压力
B．甲运动时所需向心力大，两种情况下碗对地面的压力一样大
C．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，甲运动时碗对地面的压力小于乙运动时碗对地面的压力
D．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，两种情况下碗对地面的压力一样大
5．（2022·全国·高三专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是（ ）21*cnjy*com
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A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
6．（2021·吉林·长白朝鲜族自治县 ( http: / / www.21cnjy.com )实验中学高三阶段练习）如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．小球能够到达最高点时的最小速度为
B．小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零
C．如果小球在最高点时的速度大小为，则此时小球对管道的外壁的作用力为3mg
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为5mg
7．（2021·安徽·合肥市第八中学高二阶段练习）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一质量m=1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。若转动过程中小物体始终存在离心的趋势，则该物块转至圆心等高处A点时所受摩擦力大小可能为（ ）
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A．2.5N B．6.5N C．10.5N D．14.5N2·1·c·n·j·y
二、多选题
8．（2021·吉林·长春市第二十中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )三阶段练习）如图所示，小球紧贴竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
9．（2021·湖南·高三阶段练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）如图所示，将一质量为m的摆球（视为质点）用长为L的细绳吊起，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。若该圆锥摆摆动时摆绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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A．摆球受到细绳的拉力大小为
B．摆球运动时线速度大小为
C．摆球运动时周期为
D．摆球运动时加速度大小为
10．（2021·黑龙江·延 ( http: / / www.21cnjy.com )寿县第二中学高三期中）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．此时绳子张力为T=3μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示，求：21世纪教育网版权所有
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
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12．（2021·全国·高一课时练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高点时，杆对球的拉力大小等于球的重力。重力加速度为g，求：21·世纪*教育网
（1）小球在最高点的速度大小；
（2）当小球经过最低点时速度为，求杆对球作用力大小和向心加速度大小。
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13．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，BC是半径 m且竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在细圆管的末端C连接倾角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面。一质量为m=0.5 kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出后，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5 N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面。(取g=10 m/s2)，不计空气阻力2-1-c-n-j-y
(1)小球从A点水平抛出的初速度v0为多少；
(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少；
(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少。
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14．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，两绳系着一个质量为的小球C，上面绳长，两绳都拉直时与轴夹角分别为与。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？（g取）
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专题 圆周运动的临界问题 同步练习
一、单选题
1．（2021·辽宁大连·高三阶段练习）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B能随转台一起以角速度匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A和B与转台间的动摩擦因数均为，A与转台中心的距离为2r，B与转台中心的距离为r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．转台对A的摩擦力一定为
B．转台对A的摩擦力一定小于对B的摩擦力
C．转台对A的摩擦力一定大于对B的摩擦力
D．转台的角速度逐渐增大的过程中，A比B先滑动
【答案】D
【详解】
AB．两物体随转台一起做匀速转动，角速度相等，由静摩擦力提供向心力，对A物体，摩擦力不一定达到最大静摩擦力，则不一定等于，故A错误；2·1·c·n·j·y
D．对B：根据牛顿第二定律得
解得发生滑动的临界角速度为
由于A的转动的半径大，可知角速度增大，A先发生相对滑动，故D正确；
BC．由于A、B未发生滑动，根据牛顿第二定律得
转台对A的摩擦力大小等于对B的摩擦力大小，故BC错误。
故选D。
2．（2022·全国·高三专题练习）质量 ( http: / / www.21cnjy.com )为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】C
【详解】
A．由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，故A错误；
B．由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，角θ不变，所以a绳张力不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，故B错误；
C．若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m
Fsin θ＝mg，Fcosθ＝mω2l
解得
即当角速度
b绳将出现弹力，故C正确；
D．若，b绳突然被剪断时，a绳的弹力不发生变化，故D错误。
故选C。
3．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状
B．如图b，两个圆锥摆，摆线与竖直方向夹角不同，但圆锥的高相同，则两圆锥摆的角速度相同
C．如图c，同一小球在光滑固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度大小相等www-2-1-cnjy-com
D．如图c，同一小球在光滑固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A位置小球的半径较大，所以在A位置所需向心力较大
【答案】B
【详解】
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点，加速度向下，则处于失重状态，选项A错误；
B．如图b，两个圆锥摆，摆线与竖直方向夹角不同，但圆锥的高相同，根据
可得
则两圆锥摆的角速度相同，选项B正确；
CD．如图c，同一小球在光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置，根据受力分析知两球受力情况相同，即向心力相同，由F=mω2r
知r不同角速度不同，故CD错误；
故选B。
4．（2020·湖南师大附中高一期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，完全相同的可视为质点的甲、乙两个金属小球，在置于水平地面的内壁光滑的碗形容器内，先后沿着不同半径在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．甲运动时所需向心力大，甲运动时碗对地面的压力会大于乙运动时碗对地面的压力
B．甲运动时所需向心力大，两种情况下碗对地面的压力一样大
C．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，甲运动时碗对地面的压力小于乙运动时碗对地面的压力
D．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，两种情况下碗对地面的压力一样大
【答案】B
【详解】
金属小球受重力和支持力作用，两者的合力提供向心力，由几何关系可知，向心力为
由图可知
所以甲运动时所需向心力大，碗对球的支持力为
其竖直分力为
所以两种情况下碗对地面的压力一样大，都是碗的重力加小球的重力，故ACD错误，B正确。
故选B。
5．（2022·全国·高三专题练习）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【答案】B
【详解】
A．通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即
则
故A错误；
B．当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即
所以
故B正确；
C．当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b
时杆对小球的弹力方向竖直向下，故C错误；
D．若v2＝2b时
解得FN＝a
方向竖直向下，故D错误。
故选B。
6．（2021·吉林·长白朝鲜族自治县实 ( http: / / www.21cnjy.com )验中学高三阶段练习）如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．小球能够到达最高点时的最小速度为
B．小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零
C．如果小球在最高点时的速度大小为，则此时小球对管道的外壁的作用力为3mg
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为5mg
【答案】C
【详解】
A．圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0， A错误，
B．当小球达到最高点的速度是时，则有
球受到的合外力不为零，B错误；
C．设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得
代入解得
方向竖直向下
根据牛顿第三定律得知，小球对管道的弹力方向竖直向上，即小球对管道的外壁有作用力，C正确；
D．重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律， 有
解得
根据牛顿第三定律，球对管道的外壁的作用力为6mg，D错误。
故选C。
7．（2021·安徽·合肥市第八中学高二阶段练习）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一质量m=1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。若转动过程中小物体始终存在离心的趋势，则该物块转至圆心等高处A点时所受摩擦力大小可能为（ ）
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A．2.5N B．6.5N C．10.5N D．14.5N21世纪教育网版权所有
【答案】C
【详解】
题中情境存在2个临界，在最高点时
在最低点时
所以，在A点时
代入数据可得
而A点处
又
所以
故ABD错误，C正确。
故选C。
二、多选题
8．（2021·吉林·长春市第二十中学高三 ( http: / / www.21cnjy.com )阶段练习）如图所示，小球紧贴竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）21cnjy.com
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A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】AC
【详解】
AB．因为管道的下表面可以对小球存在力的作用，所以小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A正确，B错误；www.21-cn-jy.com
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时 ( http: / / www.21cnjy.com )，由外侧管壁对小球的作用力 FN 与球重力mg在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，因此外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，故C正确；2-1-c-n-j-y
D．小球在水平线ab以上管道运动， ( http: / / www.21cnjy.com )由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误。21*cnjy*com
故选AC。
9．（2021·湖南·高三阶段练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图所示，将一质量为m的摆球（视为质点）用长为L的细绳吊起，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。若该圆锥摆摆动时摆绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（ ）21教育网
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A．摆球受到细绳的拉力大小为
B．摆球运动时线速度大小为
C．摆球运动时周期为
D．摆球运动时加速度大小为
【答案】BC
【详解】
A．摆球受重力和绳子拉力两个力作用，重力和绳子拉力的合力提供向心力有
联立可得
A错误；
BCD．由向心力公式
由几何关系得
联立可得
D错误，BC正确。
故选BC。
10．（2021·黑龙江·延寿县 ( http: / / www.21cnjy.com )第二中学高三期中）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）21教育名师原创作品
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A．此时绳子张力为T=3μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】ABC
【详解】
A．两物体角速度相同，所以B所受向心力比 ( http: / / www.21cnjy.com )A大，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B有背离圆心的离心趋势，A有指向圆心的近心趋势。设此时绳子的张力大小为T，对A、B分别应用牛顿第二定律有
两式联立解得T=3μmg
故A正确；
B．由上面分析可知
解得此时圆盘的角速度为
故B正确；
C．此时A有指向圆心的近心趋势，所受摩擦力方向沿半径指向圆外，故C正确；
D．A、B以角速度做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为
若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，故D错误。
故选ABC。
三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示，求：21·cn·jy·com
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
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【答案】（1）rad/s；（2）2rad/s
【详解】
（1）若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线拉力，根据牛顿第二定律有
mgtanθ=mωlsinθ
解得 ω=
代入数据得ω0=rad/s
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律有mgtanα=mω′2lsinα
解得 ω′2＝
代入数据得ω′=2rad/s
12．（2021·全国·高一课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高点时，杆对球的拉力大小等于球的重力。重力加速度为g，求：21·世纪*教育网
（1）小球在最高点的速度大小；
（2）当小球经过最低点时速度为，求杆对球作用力大小和向心加速度大小。
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【答案】（1）；（2）7mg，6g
【详解】
（1）小球在最高点时，受重力mg和杆对它向下的拉力F1，合力提供向心力，由牛顿第二定律得
mg＋F1＝
依题意F1＝mg
联立解得
（2）小球在最低点时，受重力mg和杆对它向上的拉力F2，合力提供向心力，由牛顿第二定律得
F2－mg＝
解得F2＝mg＋
将v2＝，代入解得F2＝7mg
而球的向心加速度为
13．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，BC是半径 m且竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在细圆管的末端C连接倾角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面。一质量为m=0.5 kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出后，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5 N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面。(取g=10 m/s2)，不计空气阻力【来源：21·世纪·教育·网】
(1)小球从A点水平抛出的初速度v0为多少；
(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少；
(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少。
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【答案】(1)2 m/s (2)5 N (3) m
【详解】
(1)小球从A运动到B为平抛运动，有rsin 45°=v0t
在B点tan 45°=
联立以上两式解得v0=2 m/s
(2)在B点根据平抛运动的速度规律，有vB==2m/s
对小球受力分析，小球在管中受三个力的 ( http: / / www.21cnjy.com )作用，因为重力与外加的力F平衡，所以小球所受的合力仅为管的外轨对它的压力，即小球在管中做匀速圆周运动，由圆周运动的规律知圆管对小球的作用力为
FN==5 N
根据牛顿第三定律得小球对圆管的压力FN′=FN=5N
(3)小球在CD上滑行到最高点的过程中，根据牛顿第二定律，有mgsin 45°＋μmgcos 45°=ma
解得a=8 m/s2
因为小球在圆管中做匀速圆周运动，所以小球运动到圆管末端C时的速度大小为vC=vB=2 m/s
根据匀变速直线运动的速度与位移的关系公式，有x==m
14．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，两绳系着一个质量为的小球C，上面绳长，两绳都拉直时与轴夹角分别为与。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？（g取）
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【答案】
【分析】
当由零逐渐大时可能出现两个临界值；其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC恰好拉直，但不受拉力，设两种情况下的转动角速度分别为和，小球受力情况如图所示。21*cnjy*com
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【详解】
当BC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
解得
当AC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
解得
所以要使两绳始终张紧，必须满足的条件是
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