2021-2022学年人教版数学九年级上册第二十四章圆单元测试（word解析版）

人教版数学九年级上册《第二十四章 圆》单元测试
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢
A. 地球多 B. 篮球多 C. 一样多 D. 不能确定
2.下列由实线组成的图形中，为半圆的是
A. B.
C. D.
3.如图，的半径为，是弦的中点，，则的长是
A. B. C. D.
4.如图，半径为的的弦，且于，连结，，若，则的值为
A. B. C. D.
5.的半径为，圆心到点的距离为，则点与的位置关系是
A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定
6.如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为
A. B. C. D.
7.如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接若，则的度数为
A. B. C. D.
8.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为
A. B. C. D.
9.如图，、分别切于点、，点是上一点，且，则
A. B. C. D.
10.正六边形的半径与边心距之比为
A. B. C. D.
11.如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形阴影部分，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为
A. B. C. D.
12.如图，已知的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为
A. B. C. D.
13.如图，在中，，现将绕点逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为
A. B. C. D.
14.如图，为的直径，点在上，若，，则的长为
A. B. C. D.
15.如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.如图，四边形是的内接四边形，，弦，则的半径等于 ______.
17.如图，四边形内接于，若，则的度数为 ______.
18.如图，为的外接圆的直径，若，则______.
19.如图，为的内接等边三角形，，点为上一动点，于，当点由点沿运动到点时，线段的最大值是 ______.
20.如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为，按此规律，则第个正多边形的面积为 ______ ．
三 、解答题（本大题共5小题，共40分）
21.如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且平分，延长与交于点，过点作交于点
求证：
若，，求圆的半径．
22.如图，在中，，是直径上的两点，且，，，交于、，点，，，在上．
若，，求半径；
求证：；
若，分别为，的中点，则成立吗？请说明理由．
23.如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接
求证：平分；
若，，求长．
24.如图，已知正三角形内接于，是的内接正十二边形的一条边长，连接，若，求的半径．
25.一个圆的半径和一个扇形的半径相等，已知圆的面积是，扇形的圆心角是，求扇形的面积．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：根据圆的周长公式为：，
假设地球的半径为，篮球的半径为，
地球和篮球的半径都增加一米，
那么地球和篮球的大圆的周长将变为：和，
即：，，
周长都增加了：
故选：
首先假设出两圆形那个的半径，再都增加，然后表示出增加后的周长，即可比较出增加与否．
此题主要考查了圆的面积公式的变形，直接表示出两圆形的周长是解决问题的关键．
2.【答案】B;
【解析】解：根据半圆的定义可知，选项的图形是半圆．
故选：
根据圆的有关定义进行解答．
此题主要考查了圆的认识．解答该题的关键是掌握半圆的定义．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．
3.【答案】B;
【解析】解：是的弦，点是的中点，
，
，
在中，
，，
，

故选：
先根据垂径定理得出，，再根据勾股定理求出的长，故可得出结论．
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答该题的关键．
4.【答案】B;
【解析】解：弦，
，
，
，
；
如图，连接，，

，，
，
，
，
，
，
，
故选：
由弦，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；连接，，由，，可求得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得，可解答．
此题主要考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5.【答案】A;
【解析】解：的半径为，圆心到点的距离为，
圆心到点的距离大于圆的半径，
点在外．
故选：
直接根据点与圆的位置关系的判断方法求解．
此题主要考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内
6.【答案】C;
【解析】解：，

，
，
，
点在以为弦，的圆弧上运动，
如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，
连接，，，，，，
则，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，
故选：
根据得再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，再由当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可．
此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出，分析出在以为弦，的圆弧上运动．
7.【答案】B;
【解析】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
此题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答该题的关键．
8.【答案】C;
【解析】解：连结、、，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，

，
，
，
故选：
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，得，
此题主要考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
9.【答案】B;
【解析】解：连接，；
，
，

故选：
连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得
此题主要考查了切线的性质，利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为度求解，连接，构造垂直是解题关键．
10.【答案】D;
【解析】
此题主要考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，要求学生熟练掌握应用可设正六边形的半径为，欲求半径与边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．
解：如图所示，设正六边形的半径为，

又该多边形为正六边形，
故，
在中，，
边心距
即半径与边心距之比：，
故选D．
11.【答案】D;
【解析】解：根据题意得：正六边形的面积，
故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积；
故选：．
由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．
这道题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键．
12.【答案】D;
【解析】
该题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
连接、，过作于，证出是等边三角形，根据勾股定理列方程求解即可．

解：如图所示，连接、，过作于，

多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
在中，，
，
．
是的内接正三角形，
，
，，
，
该圆的内接正三角形的面积，
故选：．
13.【答案】D;
【解析】解：绕点逆时针旋转得到，则
，，

故选：
利用旋转的性质得到，，则，然后根据扇形的面积公式计算．
此题主要考查了扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
14.【答案】B;
【解析】解：，，
，
，
，
，
的长为：
故选：
先利用等腰三角形的性质得出的度数，再利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式求出答案．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．
15.【答案】D;
【解析】解：根据题意可知，则，
设，，
，
，即，
，
故选：
先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．
此题主要考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
16.【答案】2;
【解析】解：连接，，

四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
即的半径为
故答案为：
连接，，由圆内接四边形可求得的度数，由圆周角定理可得，即可证得为等边三角形，进而可求解．
此题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明为等边三角形是解答该题的关键．
17.【答案】72°;
【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
故答案为：
根据圆内接四边形的性质计算即可．
此题主要考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解答该题的关键．
18.【答案】55°;
【解析】解：如图，连接，

为的外接圆的直径，
，
，
，
故答案为：
根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出的度数．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．
19.【答案】2+2;
【解析】解：如图，连接，，取中点，连接，
，是中点，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
当，，共线且在的延长线上时，的值最大，
延长交于，
为的内接等边三角形，
，且是等边三角形，，
，，，
，
在中，
，
在中，，
即，
，
，
，
，
在中，，
，
的最大值为
故答案为：
在以为圆心，为半径的圆上，由是等边三角形可得，，，，根据勾股定理可得的长即可求的最大值．
此题主要考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，找到的运动轨迹是解决问题的关键．
20.【答案】a;
【解析】解：第一个：正多边形的面积等于；
第二个：如图作于，
设正六边形的边长为，
正六边形的一个内角为，
，
则，，
的面积为：，
，
正六边形的面积为：，

第三个：如图，
正八边形的一个内角为，
，
设正八边形的边长为，
则，的面积为，
四边形的面积为，
，
正八边形的面积为，

通过计算可以看出：第个正多边形的面积为
设出正多边形的边长，根据正多边形与圆的关系，分别求出正四边形、正六边形和正八边形的面积，找出规律，得到答案．
该题考查的是正多边形与圆的关系，求出正多边形的一个内角，设出边长，根据特殊角的性质和勾股定理表示出有关的边长，求出正多边形的面积，根据计算结果找出规律是解答该题的关键．
21.【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵∠D=∠A，
∴∠D=∠OCA，
∵OC平分∠ACD，
∴∠OCA=∠OCD，
∴∠OCD=∠D．
∴OC∥DE，
∴∠E=∠OCA，
∴∠E=∠A；
（2）解：∵，
∴设BD=4x，OA=5x，
由（1）得∠E=∠A=∠CDE，OC∥DE．
∴△BAE和△CDE都为等腰三角形，
∵CF⊥OC，
∴CF⊥DE，
∴EF=DF=BD+BF=4x+6，
∴BE=4x+12，
∵∠E=∠A，
∴AB=BE，即4x+12=10x，
解得x=2，
∴半径OB=5x=10．;
【解析】
易得，再证明则可判断，所以，从而得到；
设，，由得和都为等腰三角形，利用得到，则，所以，然后利用，即，求出，从而得到的长．
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
22.【答案】解：（1）连接EO，
设⊙O半径为r，
∵EG⊥AB，
∴CE=CG=EG=4，
∵AC=2，
∴OC=r-2，
在Rt△CEO中，OE2=CE2+OC2，
∴=42+（r-2）2，
解得r=5，
∴⊙O半径为5；
（2）连接OE、OF，
∵AC=BD，OA=OB，
∴OC=OD，
∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE=∠BOF，
∴=；
（3）==成立，理由如下：
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC=，
∴cos∠AOE==，
∴∠AOE=60°，
同理∠BOF=60°，
∴∠EOF=60°，
∴==．;
【解析】
连接，利用勾股定理即可求得；
通过证得，得到，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
解直角三角形求得，同理，进一步得到，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到
此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形全等的判断和性质，勾股定理的应用等，作出辅助性构建直角三角形是解答该题的关键．
23.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，则OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵CG是⊙O的切线，BD⊥CG，
∴∠OCD=∠BDC=90°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠OBD．
（2）解：∵BD=3，BC=5，∠BDC=90°，
∴CD=4，
过点B作BH⊥OC于点H，则四边形BDCH为矩形，
∴CH=BD=3，BH=CD=4，
设OC=OB=r，则OH=OC-CH=r-3，
在Rt△OHB中，OH2+BH2=OB2，
∴（r-3）2+42=，
解得：r=，
∴AB=2r=2×=．;
【解析】
连接，得到，再由切线得到，结合得到，然后得到，最后得到，然后得证结果；
过点作于点，先通过，，求得，，然后设半径为，进而表示出、的长，再利用勾股定理列出关于的方程求解的值，最后得到的长度．
此题主要考查了圆的切线、勾股定理、角平分线的定义，解答该题的关键是将切线的条件转化为直角条件应用．
24.【答案】解：连接、、，如图所示：
等边内接于，为内接正十二边形的一边，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即的半径为．;
【解析】
首先连接、、，由等边内接于，为内接正十二边形的一边，可求得，的度数，继而证得是等腰直角三角形，继而求得答案．
该题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解答该题的关键．
25.【答案】解：∵圆的面积是30c，
∴π=30，
∴=，
∴S扇形==π（c），
故扇形的面积是πc．;
【解析】
根据扇形的面积，再据“圆的面积是”即可求出圆的半径，也就知道了扇形的半径，从而可以求出扇形的面积．
此题主要考查了扇形的面积，解答该题的关键是：先求出半径的平方，进而利用等量代换，即可求得扇形的面积．