试卷 20211215
时间 :120分钟 满分: 150分
一、选择题(每小题 5分,共 8小题 40分)
1. 已知直线 经过点(2,1),且与直线2 + 1 = 0垂直,则直线 的一般式方程为( )
A. + 2 4 = 0 B. + 2 = 0 C. 2 3 = 0 D. 4 = 0
2. 已知圆心为( 2,1)的圆与 轴相切,则该圆的 标准方程是( )
A. ( + 2)2 + ( 1)2 = 1 B. ( + 2)2 + ( 1)2 = 4
C. ( 2)2 + ( + 1)2 = 1 D. ( 2)2 + ( + 1)2 = 4
3. 如图,空间四边形 的每条边和对角线长都等于1,点 , , 分别是 , , 的中点,则
= ( )
√3 1 1 √3
A. B. C. D.
4 4 2 2
10
4. 过抛物线 2 = 4 的焦点 的直线 与抛物线交于 , 两点,若 , 两点的横坐标之和为 ,则| | = ( )
3
13 14 16
A. B. C. 5 D.
3 3 3
2
已知双曲 线
2
5. : = 1 ( > 0)的一条渐近线 方程为4 + 3 = 0, 1, 2分别是双曲线 的左、右焦
2 16
点,点 在双 曲线 上,且| 1| = 7,则| 2| = ( )
A. 1 B. 13 C. 17 D. 1或13
2 2
6. 已知椭圆 C: + = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1, 2,如果 上存在 一点 ,使∠ 1 2 = 120
,
2 2
则椭圆的离心率 的取值范围为( )
1 1 √ √
A. (0, ] B. [2 1) C.
3 3
2 (0, 2 ]
D. [ 2 1)
7. 设等差数 列{ }的前 项和为 ,若 15 > 0, 1 6 < 0,则数列{
}的前 15项中最大的项是( )
A. 第1项
B. 第8项
C. 第9项
D. 第15项
2 2
8. 已知双曲线 : = 1( > 0, > 0),斜率为1的直线 与双曲线 交于不同的2 2 , 两点,且线段
的中点为 (2,4),则双曲线的渐近线方程为( )
1 √
A. = ± 2 B. = ± C. = ± √2 D. 22 = ± 2
二、多选题(每小题 5分,共 4小题 20分)
9. 已知直线 : + 2 = 0和圆 : 2 + 2 = 16,则( )
A. 直线 恒过定点 (2,0) B. 存在 使得直线 与直线 0: 2 + 2 = 0垂直
C. 直线 与圆 相交 D. 若 = 1,直线 被圆 截得的弦长为4
10. 以下命题正确的是( )
A. 直线 的方向向量为 = (1, 1,2),直线 的方向向量 = (1,2,1),则 ⊥
B. 直线 的方向向量 = (0,1, 1),平面 的法向量 = (1, 1, 1),则
C. 两个不同平面 , 的法向量分别为 1 = (2, 1,0), 2 = ( 4,2,0),则 //
D. 平面 经过三点 (1,0, 1), (0,1,0), ( 1,2,0),向量 = (1, , )是平面 的法向量,则 ,
11. 等差数列 中, 为其前 项和, , ,则以下正确的是
A. B.
C. 的最大值为 D. 使得 的最大整数
12. 在平面内,若曲线 上存在点 ,使点 到点 (3,0), ( 3,0)的距离之和为10,则称曲线 为“有用曲线”,
以下曲线是“有用 曲线”的是( )
2 2
A. + = 5 B. 2 + 2 = 9 C. 2
+ = 1
D. = 16
25 9
三、填空题(每小题 5 分,共 4小题 20分)
13. 已知数列{ }的前 项和为 ,且 ,则当 __________时, 有最大值.
14. 已知平面 的一个法向量 = ( 2, 2,1),点 ( 1, 3,0)在平面 内,则点 ( 2,1,4)到平面 的距
离为_____ _____.
1
15. 已知椭圆 ,过 (1, 点作直线 交椭圆 于 , 两点,且点 是 的中点,则直线 的方程是2)
__________.
2 √
16. 已知椭圆 2 2 5+ = 1( > 1)的离心率 = , 为椭圆上的一个动点,则 与定点 ( 1,0)连线距
2 5
离的最大值为__________.
四、解答题(第 17题 10分,第 18题 12分,第 19题 12分,第 20题 12分,第 21题 12分,第 22题 12
分,共 6小题 70分)
17. 已知圆 : 2 + 2 8 + 12 = 0,直线 : + + 2 = 0. (1)当 为何值时,直线 与圆 相切; (2)当
直 线 与圆 相交于 , 两点,且| | = 2√2时,求直线 的方程.
18. 设等差数列{ }的前 项的和为 ,且 4 = 62, 6 = 75.求: (1){ }的通项公式 及前 项的和
. (2)| 1| + | 2| + | 3| + + | |.
19. 如图 ,在直三棱柱 1 1 1 中 , ∠ = , 是棱 的中点 ,且2 = = 1 = 2 .
(1)求证: 1//平面 1 ; (2)求异面直线 1与 1的夹角.
2
20. 已知抛物线 1 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ,点 (2 , )
在抛物线上,且ΔOAF的面积为 ( 为坐标原点).
4
(1)求抛物线的标准方程; (2)直线 : = + 1与抛物线交于 , 两点,若以 为直径的圆经过 点,求直
线 的方程.
21. 如图5,已知四棱锥 的底面为直角梯形, // ,∠ = 90 , ⊥底面 ,且 =
= 2 = 2 . (1)证明:平面 ⊥平面 ; (2)若 是 的中点,求平面
与平面 的夹角的余弦值.
22. 在平面直角坐标系 中,已知 ( 1,2), (1,0),动点 满足| | = | |. (1)求动点 的轨迹方
程; (2)经过点(1,0)作两条相互垂直的直线 1, 2,分别交 的轨迹于 , 和 , ,求四边形 面积的最小
值.
1. 【答案】A
【解析】因为直线 与直线2 + 1 = 0垂直 所以直线 的斜率 满足: × 2 = 1即 1 = 又直线
2
经过点(2,1),由直线方程的点斜式得 1 1 = × ( 2)即 + 2 4 = 0故选:A.2
2. 【答案】B
【解析】根据题意知圆心为( 2,1),半径为2,故原方程为:( + 2)2 + ( 1)2 = 4.
3. 【答案】B
【解析】依题意, , , 分别是 , , 的中点, 所以 1 // , = , 三角形 是等边三角
2
形,且边长为 1 1 11. 所以 = = | | | | 60 = , 故选:B.2 2 4
4. 【答案】D
【解析】由题意得 10 = 2 16,∴ | | = + + = + 2 = .选 D.3 3
5. 【答案】B
2 2 4 4
【解析】由题意知双曲线 = 1( > 0)的一条渐近线方程为4 + 3 = 0,可得 = ,解得
2 16 3
= 3,所以 = √ 2 + 2 = 5,又由 1, 2分别是双曲线 的左、右焦点,点 在双曲线上,且| 1| = 7,可得点
在双曲线的左支上,所以| 2| | 1| = 6,可得| 2| = 13,故选 B.
6. 【答案】D
【解析】当 是椭圆上下顶点时∠ 1 2最大, ∴120 ∠ 1 2 < 180 , ∴60 ∠ 1 < 90 ,
∴ √3 60 ∠ 1 < 90
, ∵| 1 | = , | 1 | = , ∴ < 1,∴椭圆离心率取值范围为
2
√3
[ , 1),故选:D.2
7. 【答案】B
15( 1+ 15) 2( + ) 16( + )【解析】由 = = 15 > 0,得 8 > 0,由 = 1 16 = 8 9 < 0,得 15 2 8 16 2 2 8
+ 9 < 0,所以 9 < 0,且公差 < 0, 所以数列{ }为递减数列,所以 1, , 8均为正, 9, , 均为
1 2 8 9 15
负,且 1, , 15均为正, 16, , 均为负, 则 > 0, > 0, , > 0, < 0, , < 0,
1 2 8 9 15
8 7 1
又 8 > 7 > > 1 > 0, 1 > 2 > > 8 > 0,所以 > > > > 0,所以最大的项为
8 7 1
8
,即第8项,选 B.
8
8. 【答案】C
2 2 1 1
2
2 = 1 ( + )( ) ( )( + )
【解析】设 ( 1, 1), ( 2, 2),则
,相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 ,
2 2 2
2 = 0
2 2
{ 2
2 = 1
2 2
∴ 1
2 ( 1+ 2) 4
= ,又线段 的中点为 (2,4), 的斜率为1,∴1 = , = √2,∴渐近线方程
1
2
2 ( 1+
2
2) 8
为 = ± √2 ,故选:C.
9. 【答案】B,C
+ 2 = 0 = 2
【解析】对于 A、C,由 : + 2 = 0,得 ( + 2) = 0,令{ ,解得{ , 所以直线 = 0 = 0
恒过定点( 2,0),故 A错误; 因为直线 恒过定点( 2,0),而( 2)2 + 02 = 4 < 16,即( 2,0)在圆 : 2
1
+ 2 = 16内, 所以直线 与圆 相交,故 C 正确; 对于 B,直线 0: 2 + 2 = 0的斜率为 ,则当 = 2
2
时,满足直线 与直线 0: 2 + 2 = 0垂直,故 B 正确; 对于 D, = 1时,直线 : + + 2 = 0,圆心到直
|0+0+2|
线的距离为 = = √2 2
√ 2 2
, 所以直线 被圆 截得的弦长为2√ 2 2 = 2√42 (√2) = 2√14,故 D
1 +1
错误. 故选:BC.
10. 【 答案】C,D
【解析】对于 A,因为 = (1, 1,2), = (1,2,1),所以 ,所以 , 不垂直,故
直线 与直线 不垂直,故选项 A 错误; 对于 B,因为直线 的方向向量 = (0,1, 1),平面 的法向量 =
(1, 1, 1),所以 与 不平行,故直线 与 不垂直,故选项 B 错误; 对于 C,因为两个不同平面 , 的
法向量分别为 1 = (2, 1,0), 2 = ( 4,2,0),所以 ,故 ,所以 ,故选项 C正确; 对于 D,
因为 (1,0, 1), (0,1,0), ( 1,2,0),所以 = ( 1,1,1), = ( 1,1,0),又因为 = (1, , )是平面
的法向量,则{
= 0 ,即 ,解得 , ,故选项 D正确.
= 0
11. 【答案】B,C,D
【解析】 , , , , ,
数列 的公差 ,故 A 错误; , ,故 B 正确;
,当 时, 取得最大值; ,故 D正确; 故选:BCD.
12. 【答案】A,C,D
2
【解析】设点 的坐标为( , ),由点 到点 (3,0), ( 3,0)的距离之和为10,可得点 的轨迹方程为
25
2
+ = 5
+ = 1,对于 A,由{ 2 2 整理得41
2
250 + 225 = 0,Δ = 250
2 4 × 41 × 225 = 25600 >
16 + = 125 16
2 2
0,因此曲线 + = 5上存在点 满足条件,故选项 A 给出的曲线是“有用曲线”;同理可得曲线 +
25 9
2 2 2 2
= 1与 + = 1有交点(5,0)与( 5,0),曲线
2 = 16 与 + = 1显然也有交点,因此可判断选
25 16 25 16
2 2
项 C,D给出的曲线是“有用曲线”,而选项 B给出的曲线 2 + 2 = 9在曲线 + = 1的内部,无交点,
25 16
故不是“有用曲线”.
13. 【答案】5.
( + )
【解析】由题意,数列 = 11 2 ,可得 1 (20 2 ) = = = 2 2 2 + 10
, 因为 ∈ N ,
所以当 时,数列{ }的前 项和 为最大值.
2
14. 【答案】
3
【解析】根据题意,可得∵ ( 1, 3,0), ( 2,1,4),∵ = ( 1,4,4), 又∵平面 的一个法向量 = (
2, 2,1),点 在 内,∴ ( 2,1,4)到 的距离等于向量 在 上的投影的绝对值,∴ = 1 × (
| | 2 2 2
2) + 4 × ( 2) + 4 × 1 = 2即 = = =| | 3故答案为:
√ 2 2 2( 2) +( 2) +1 3
15. 【 答案】
【解析】设 ( 1, 1), ( 2, 2), 则 , , ∴( 1 + 2)( 1 2) + 4( 1 + 2)( 1
1
2) = 0. ∵ (1, )恰为线段 的中点,即有 , , ∴( 1 2) + 2( 1 2) = 0, ∴直2
线 的斜率为 , ∴直线 的方程为 , 即 . 故答案为:
.
5
16. 【 答案】
2
2 2 √ 2【解析】椭圆 的离心率 2
√5,可得 1 2√5+ = 1( > 1) = = ,解得 = √5, 椭圆方程为
2 5 5
2 2 2 2
+ = 1,设点 ( , ),则 1 1, = 5 5 , 所以| | = √( + 1)2 + 2 =
5
√ 2
1
+ 2 + 1 + 5 5 2 = √ 4 2 + 2 + 6, 所以,当 = 时, 1 1 54 | | =
√ + + 6 = .故答案
4 2 2
5
为: .
2
17. 【答案】见解析;
|4+2 |
【解析】(1)圆 的标准方程为( 4)2 + 2 = 4,圆心 (4,0),半径为2若直线 与圆 相切,则有
√ 2+1
3 | |
= 2,解得 = (2)设圆心 (4,0)到直线 的距离为 ,则有( )2 + 2 = 2即(√2)2 + 2 = 4,即 =4 2
|4+2 |
√2,由 = √2,解得 = 1或 = 7所以直线 的方程为 2 = 0或 7 14 = 0.
√ 2+1
18. 【答案】见解析
【解析】(1)由题意,设等差数列{ }的首项为 ,公差为 , 因为 4 = 62, 6 = 75,所以{
4×3
4 1 + 2 = 62 ,解得 = 20, = 3, 所以 = 3 23, ( 1) 3 2
6×5 1 = × ( 20) + 2 × 3 = 2
6 1 + 2 = 75
43
. (2)由(1)知 = 3 23,可得 当 7,且 ∈ N +时, ;当 8,且 ∈ N +时, , 所2
以当 7, ∈ N +时
3 43
,| 1| + | 2| + + | | =
2
= + ; 当 8, ∈ N +时,| 1| + | 2 2 2
| +
+ | | = 1 2 7 + 8 + + = 1 + 2 + …+ 2( 1 + 2 + …+ 7) = 2 7 =
3 2 43
3 43 2 + 2 , 7
2
2 .∴ 2 + 154
= { , ∈ +
3 2 43
2 2 + 154, 8
19. 【答案】见解析
【解析】(1)证明:如图,连接 1 交 1于点 ,连接 , ∵ 为 1 的中点, 为 的中
点,∴ // 1, ∵ 1/ 平面 1 , 平面 1 ,∴ 1//平面 1 . (2)建立
如图所示的空间直角坐标系 , 则 (0,0,0), (0,2,0), 1(2,0,2), 1(0,0,2)∴ 1 = (0, 2,2), 1 =
1
0+0+4 1
(2,0,2), ∴ < , 11 1 >= = = 设异面直线 与 的夹角为 则|
, ,
|| | 2√2×2√2 2 1 11 1
1
= ,∵ ∈ (0, ),∴ =
2 2 3
.
20. 【答案】见解析;
【解析】(1)由题意得 ,解得 = 1,所以抛物线方程为 2 = 2 ; (2)显然 ≠ 0,设 (
= + 1
1, 1), ( 2, 2), 联立{ 2 ,消去 ,得
2 2 + 2( 1) + 1 = 0,Δ = 4( 1)2 4 2 > 0,解得
= 2
1 2(1 ) 1
< , 1 + 2 2
= 2 , 1 2 = 2, 因为以 为直径的圆经过点 ,所以 ⊥ , 1 2 + 1 2 = 0, 因
为 2 1 = 1 + 1, 2 = + 1, 所以 = ( + 1)( + 1) = 22 1 2 1 2 1 2 + ( 1 + 2) + 1 = , +
1 1
= 0, = , 所以直线 的方程为 .2 = 2 + 1
21. 【答案】见解析;
【解析】(1)证明:如图 5,∵ ⊥平面 , 平面 ,∴ ⊥ , 由题设知, ⊥ , ∩
= ,由此得 ⊥平面 , 又 平面 ,∴平面 ⊥平面 .
(2)以 为坐标原点,分别以 , , 所在直线为 , , 轴建立空间直角
坐标系,由于 = = 2 = 2 ,设 = 2, 则
(0,0,0), (0,2,0), (1,1,0), (1,0,0), (0,0,2), (0,1,1), 则 = (1,1,0), = (0,1,1), = (0,
= + = 0
1,1), = (1, 1,0), 设平面 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1), ∴{
1 1 1 ,取
1
1 = 1 + 1 = 0
= = 0
= 1,得 1 = (1, 1,1)设平面 的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2), ∴{
2 2 2 ,取
2
2 = 2 + 2 = 0
1 1+1 1
= 1,得 2 = (1,1,1). ∴ 1 , 2 =
1 2 = = , ∴平面 与平面 的夹角的余弦值
| || 1 2| √3×√3 3
1
为 .
3
2 2. 【答案】见解析;
【解析】(1)设 ( , ),则 = ( 1 , 2 ), = (1,0), = (1 , )于是: = 1
,于是:| 1 | = √(1 )2 + 2,化简得: 2 = 4 即:动点 的轨迹方程为 2 = 4 (2)设直线 方程
2 = 4
为 = + 1( ≠ 0),联立方程组{ 可得 2 4 4 = 0设 ( 1, 1), ( , = + 1 2 2
),则有 1 + 2
1
= 4 , 1 2 = 4, 于是| | = √1 + 2 √( 1 + 2)2 4 1 2 = 4(
2 + 1),同理可得:| | = 4 (
2
1 1
+ 1)于是: = × | | × | | = 8 ( 2 + 2 + 2) 32,当且仅当
2
2 = 1, = ± 1
时取“ = ” 综上:四
边形 面积的最小值为32.