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第五章 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设函数在点处附近有定义，且为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为常数，所以，故选C.
2．已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由得，当时，，解得，所以，.故选B
3．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
又切线与直线垂直，所以，解得.故选C．
4．已知函数的导函数为，若, 则，的大小关系不可能为( )
A．0＜＜ B．0＜＜ C．＜0＜ D．＜0＜
【答案】B
【解析】∵，∴，
若，则，∴，，
结合选项可知，不可能，故选B．
5．已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，，
因为，所以，
所以．
因此，，所以，，
不等式即为 ，，解得或．故选D．
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【解析】由图象知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选D.
7．已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得均大于，
因为，所以，所以，且，
令，，
当时，，所以在单调递增，
所以，所以，即，
令，，当时，，所以在上单调递减，
由，，所以，所以，
综上所述，.故选A
8．若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，由已知需
求导，，故在上单调递增，
且当时，；当时，；
故有解，设为，即，
当时，，函数单减；当时，，函数单增；
所以
令，求导
故函数在上为增函数，且
故当时，；当时，，即当时，满足
令，且，故函数为增函数，
又为m关于的增函数，又，所以，故选A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（多选）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，因为，所以D不正确.
故选BC.
10．已知函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】，则，恒成立，
故单调递增， ，，
故存在，函数在上单调递减，在上单调递增，AB正确；
，，
，故C正确；
若，，则，，
，则，这与矛盾，故D错误.
故选ABC.
11．已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意有方程在区间内有唯一实数根，
即方程在区间内有唯一实数根，令，
，所以在区间内单调递增，
所以，所以，
因为，，
故选ABC
12．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设,，则
.
因为对恒成立，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，即.
故选AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为(单位)，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是___________.
【答案】3
【解析】因为，所以，即，
当时，，
所以这个质点在2秒末的瞬时速度是3.故答案为：3
14．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________.
【答案】
【解析】为偶函数，且当时，，
当时，，则，则，
则在点处的切线方程为，即.
故答案为；.
15．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，
或时，，时，，
所以在和上都递增，在上递减，
，
在区间上有最大值，则，解得．
故答案为：．
16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.
（1）下列函数中具有性质的有___________.
①
②
③，（）
④
（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________.
【答案】①②④ 或．
【解析】（1）在时， 有解，即函数具有性质P，
令 ，即，
∵，故方程有一个非0实根，故 具有性质P；
的图象与有交点，
故sinx=有解，故具有性质P；
令=，此方程无解，故，（）不具有性质P；
令，则由两图象在有交点，所以有根，所以具有性质P；
综上所述，具有性质P的函数有：①②④；
（2）具有性质P，显然，方程有根，
令，则，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，
所以的值域[ ，+∞），∴，解之可得：或．
故答案为：①②④；或．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）
（2）
【解析】解：，
．
解：．
18．（12分）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
19．（12分）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．
【解析】解：（1）的导数为，
由曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得，即，
又（1），解得，
即有，；
（2）曲线，即，
导数，
设曲线与过点的切线相切于点，，
则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为点在切线上，
所以，
即，
即有，
所以，
解得或，
故所求的切线方程为或．
20．（12分）如图，在半径为m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长ABx m，圆柱的体积为V m3．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少
【解析】（1）连接OB，在中，，则，
设圆柱底面半径为r，则，即，
，其中．
（2）由及，得，列表如下：
x
0
V 递增 极大值 递减
∴当时，V有极大值，也是最大值为．
答：当x为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）证明：当时，．
【解析】（1）因为，所以．
当时，在区间上恒成立．
当时，时，；时，．
综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：因为，所以，
当且仅当，即时取等号．
由（1）可知，所以．
令函数，易知是定义域内的增函数，
则．
故．
22．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
【解析】（1）当时，，
，
令解得，
令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以；
（2），
当时，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以
，
又，，
所以在和上各有一个零点，
即对任意，函数有两个不同的零点，
由于，故设，
注意到，
所以，因此，
令，则，
由图可证在单调递增，在单调递减，
注意到，
情形一：当时，，此时成立；
情形二：当时，，
所以，
另一方面 ，
此时，
所以成立；
综上所述，成立；
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第五章 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设函数在点处附近有定义，且为常数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数为，若, 则，的大小关系不可能为( )
A．0＜＜ B．0＜＜ C．＜0＜ D．＜0＜
5．已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
7．已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（多选）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为(单位)，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是___________.
14．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________.
15．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.
（1）下列函数中具有性质的有___________.
①
②
③，（）
④
（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）
（2）
18．（12分）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．
20．（12分）如图，在半径为m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长ABx m，圆柱的体积为V m3．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）证明：当时，．
22．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
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