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2021-2022学年石家庄市八年级上学期期末数学模拟试题
一.选择题(共16小题,满分32分,每小题2分)
1.(2分)若|a|=,则a=( )
A. B.﹣ C.± D.3
2.(2分)若分式有意义,则a满足的条件是( )
A.a≠1的实数 B.a为任意实数
C.a≠1或﹣1的实数 D.a=﹣1
3.(2分)下列实数:15,,,﹣3π,0.10101中,无理数有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2分)等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是( )
A.中线
B.底边上的中线
C.中线所在的直线
D.底边上的中线所在的直线
5.(2分)下列计算正确的是( )
A.=﹣5 B.4﹣3=1 C.×= D.÷=9
6.(2分)如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
7.(2分)估计的值应在( )
A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间
8.(2分)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=40°.把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC于D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.(2分)对于近似数3.07×104,下列说法正确的是( )
A.精确到 0.01 B.精确到千分位
C.精确到万位 D.精确到百位
10.(2分)如图,在△ABC中,∠B=70°,∠C=25°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于M,N,作直线MN,交BC于D,连接AD,则∠BAD的度数是( )
A.50° B.60° C.65° D.75°
11.(2分)若一直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边长为( )
A.10 B. C.10或 D.14
12.(2分)实数a、b在数轴上的位置如图所示,那么化简的结果是( )
A.2a﹣b B.b C.﹣b D.﹣2a+b
13.(2分)若分式方程﹣1=有增根,则它的增根为( )
A.0或3 B.1 C.1或﹣2 D.3
14.(2分)设x=+1,则=( )
A.3 B.4 C.5 D.8
15.(2分)如图,点E在等边△ABC的边BC上,BE=6,射线CD⊥BC于点C,点P是射线CD上一动点,点F是线段AB上一动点,当EP+PF的值最小时,BF=7,则AC为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
16.(2分)如图,已知长方形ABCD的边长AB=20cm,BC=16cm,点E在边AB上,AE=6cm,如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动,同时,点Q在线段CD上从点C到点D运动.则当时间t为( )s时,能够使△BPE与△CQP全等.
A.1 B.1或4 C.1或2 D.2或4
二.填空题(共3小题,满分10分)
17.(3分)比较大小:﹣ ﹣1(填“>”、“=”或“<”)
18.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,∠DCB=30°,BD=1,则AB的长为 .
19.(4分)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以AD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…按照此规律继续下去,则S2020的值为 .
三.解答题(共2小题,满分15分)
20.(10分)(1)解方程:+=4.
(2)计算:3×﹣(﹣)÷+|﹣|.
21.(5分)先化简,再求值:(x﹣2+)÷,其中x=﹣.
四.解答题(共4小题,满分32分,每小题8分)
22.(8分)如图:已知在△ABC中,AD⊥BC于D,E是AB的中点,
(1)求证:E点一定在AD的垂直平分线上;
(2)如果CD=9cm,AC=15cm,F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s,求当运动几秒钟时.△ADF是等腰三角形?
23.(8分)观察下列等式,根据你发现的规律解决问题:
①===﹣1;
②===﹣;
③===﹣;
…
(1)化简:= .
(2)化简:= (n为正整数).
(3)利用上面所揭示的规律计算:+++…+++.
24.(8分)为应对新冠疫情,某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩,B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元,若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍.
(1)求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元?
(2)若A品牌口罩每个售价为2元,B品牌口罩每个售价为3元,药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个,在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元.则最少购进B品牌口罩多少个?
25.(8分)如图,在△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD为AB边的高,点A在x轴上,点B在y轴上,点C在第一象限,若A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动.则点B随之沿y轴下滑,并带动△ABC在平面内滑动,设运动时间为t秒,当B到达原点时停止运动.
(1)连接OC,线段OC的长轴t的变化而变化,当OC最大时,t= .
(2)当△ABC的边与坐标轴平行时,t= .
五.解答题(共1小题,满分11分,每小题11分)
26.(11分)【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸同侧的两个军营A,B.他总是先去A营,再到河边饮马,之后,再巡查B营.如图①,他时常想,怎么走才能使每天走的路程之和最短呢?
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.
如图②,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点P,连接PB,则AP+BP的和最小.
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中,完成解答.
理由:如图③,在直线l上另取任一点P′,连接AP′,BP′,B′P′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点P,P′在l上,
∴PB= ,P′B= ,∴AP+PB=AP+PB′= .
在△AP′B′中,∵AB′<AP′+P′B′,∴AP+PB<AP+P′B′,即AP+BP最小.
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中,我们利用轴对称变换,把点A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点,即A,P,B′三点共线).
由此,可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.
【模型应用】
(1)如图④,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,F是AC上一动点.求EF+FB的最小值.
解析:解决这个问题,可借助上面的模型,由正方形对称性可知,点B与D关于直线AC对称,连接DE交AC于点F,则EF+FB的最小值就是线段ED的长度,则EF+FB的最小值是 .
(2)如图⑤,圆柱形玻璃杯,高为14cm,底面周长为16cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm.
(3)如图⑥,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD的方向平移,得到△A′B′D′,分别连接A′C,A′D,B′C,则A′C+B′C的最小值为 .
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2021-2022学年石家庄市八年级上学期期末数学模拟试题
一.选择题(共16小题,满分32分,每小题2分)
1.(2分)若|a|=,则a=( )
A. B.﹣ C.± D.3
【答案】C
【解析】∵|a|=,
∴a=±,
故选:C.
2.(2分)若分式有意义,则a满足的条件是( )
A.a≠1的实数 B.a为任意实数
C.a≠1或﹣1的实数 D.a=﹣1
【答案】A
【解析】∵分式有意义,
∴a﹣1≠0,
解得:a≠1.
故选:A.
3.(2分)下列实数:15,,,﹣3π,0.10101中,无理数有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】15 是整数,属于有理数;
是分数,属于有理数;
0.10101是有限小数,属于有理数;
无理数有,﹣3π,共2个,
故选:B.
4.(2分)等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是( )
A.中线
B.底边上的中线
C.中线所在的直线
D.底边上的中线所在的直线
【答案】D
【解析】等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是:底边上的中线所在的直线.
故选:D.
5.(2分)下列计算正确的是( )
A.=﹣5 B.4﹣3=1 C.×= D.÷=9
【答案】C
【解析】A、=5,故此选项错误;
B、4﹣3=,故此选项错误;
C、×=,故此选项正确;
D、÷=3,故此选项错误;
故选:C.
6.(2分)如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
【答案】B
【解析】图甲不符合三角形全等的判定定理,即图甲和△ABC不全等;
图乙符合SAS定理,即图乙和△ABC全等;
图丙符合AAS定理,即图丙和△ABC全等;
故选:B.
7.(2分)估计的值应在( )
A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间
【答案】A
【解析】∵49<63<64,
∴7<<8,
故选:A.
8.(2分)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=40°.把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC于D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
【答案】C
【解析】∵AB=AC,
∴∠B=∠C=40°,
∴∠BAC=100°,
∵把△ABC的边AC对折,
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°,
故选:C.
9.(2分)对于近似数3.07×104,下列说法正确的是( )
A.精确到 0.01 B.精确到千分位
C.精确到万位 D.精确到百位
【答案】D
【解析】3.07×104=30700,7在百位上,所以近似数3.07×104精确到百位.
故选:D.
10.(2分)如图,在△ABC中,∠B=70°,∠C=25°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于M,N,作直线MN,交BC于D,连接AD,则∠BAD的度数是( )
A.50° B.60° C.65° D.75°
【答案】B
【解析】由作法得MN垂直平分AC,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=25°,
∴∠ADB=∠DAC+∠C=25°+25°=50°,
在△ABD中,∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣70°﹣50°=60°.
故选:B.
11.(2分)若一直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边长为( )
A.10 B. C.10或 D.14
【答案】C
【解析】设第三边为x,
①当8是斜边,则62+x2=82,
②当8是直角边,则62+82=x2解得x=10,
解得x=2 .
∴第三边长为10或2.
故选:C.
12.(2分)实数a、b在数轴上的位置如图所示,那么化简的结果是( )
A.2a﹣b B.b C.﹣b D.﹣2a+b
【答案】C
【解析】∵从数轴可知:b<0<a,|b|>|a|,
∴
=|a﹣b|﹣|a|
=a﹣b﹣a
=﹣b,
故选:C.
13.(2分)若分式方程﹣1=有增根,则它的增根为( )
A.0或3 B.1 C.1或﹣2 D.3
【答案】B
【解析】分式方程的最简公分母为(x﹣1)(x+2),
去分母得:x(x+2)﹣(x﹣1)(x+2)=m,
整理得:x+2=m,
由分式方程有增根,得到(x﹣1)(x+2)=0,
解得:x=1或x=﹣2,
若x=1,代入得,m=3,将m=3代入可求得方程的增根为x=1;
若x=﹣2,代入得,m=0,将m=0代入可求得方程无解,
故原方程的增根只能为x=1.
故选:B.
14.(2分)设x=+1,则=( )
A.3 B.4 C.5 D.8
【答案】C
【解析】∵(﹣1)(+1)=﹣13=5﹣1=4,x=+1,
∴=[+1]3,
=(﹣1+1)3,
=5.
故选:C.
15.(2分)如图,点E在等边△ABC的边BC上,BE=6,射线CD⊥BC于点C,点P是射线CD上一动点,点F是线段AB上一动点,当EP+PF的值最小时,BF=7,则AC为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠B=60°,
作点E关于直线CD的对称点G,过G作GF⊥AB于F,交CD于P,
则此时,EP+PF的值最小,
∵∠B=60°,∠BFG=90°,
∴∠G=30°,
∵BF=7,
∴BG=2BF=14,
∴EG=8,
∴CE=CG=4,
∴AC=BC=10,
故选:D.
16.(2分)如图,已知长方形ABCD的边长AB=20cm,BC=16cm,点E在边AB上,AE=6cm,如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动,同时,点Q在线段CD上从点C到点D运动.则当时间t为( )s时,能够使△BPE与△CQP全等.
A.1 B.1或4 C.1或2 D.2或4
【答案】B
【解析】分两种情况:
①当EB=PC,BP=QC时,△BPE≌△CQP,
∵AB=20cm,AE=6cm,
∴EB=14cm,
∴PC=14cm,
∵BC=16cm,
∴BP=2cm,
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动,
∴t=2÷2=1(s);
②当BP=CP,BE=QC时,△BEP≌△CQP,
由题意得:2t=16﹣2t,
解得:t=4(s),
故选:B.
二.填空题(共3小题,满分10分)
17.(3分)比较大小:﹣________﹣1(填“>”、“=”或“<”)
【答案】<.
【解析】|﹣|≈1.4,|﹣1|=1,
∵1.4>1,
∴﹣<﹣1.
18.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,∠DCB=30°,BD=1,则AB的长为________.
【答案】4.
【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠DCB=30°,
∴2BD=BC,
∵CD⊥AB,
∴∠A=∠DCB=30°,
∴2BC=AB,
∴AB=4BD,
∵BD=1,
∴AB=4.
19.(4分)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以AD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…按照此规律继续下去,则S2020的值为________.
【答案】2﹣2017.
【解析】根据题意:第一个正方形的边长为2;
第二个正方形的边长为:×2;
第三个正方形的边长为:( )2×2,
…
第n个正方形的边长是( )n﹣1×2,
所以S2020的值是( )2017即2﹣2017.
三.解答题(共2小题,满分15分)
20.(10分)(1)解方程:+=4.
(2)计算:3×﹣(﹣)÷+|﹣|.
【答案】见解析
【解析】(1)去分母,得x﹣5=4(2x﹣3),
解得x=1.
检验:当x=1时,2x﹣3≠0,
所以原分式方程的解为x=1;
(2)解:原式=﹣(﹣)+﹣
=﹣3++﹣
=2﹣3.
21.(5分)先化简,再求值:(x﹣2+)÷,其中x=﹣.
【答案】见解析
【解析】原式=(+)
=
=2(x+2)
=2x+4,
当x=﹣时,
原式=2×(﹣)+4
=﹣1+4
=3.
四.解答题(共4小题,满分32分,每小题8分)
22.(8分)如图:已知在△ABC中,AD⊥BC于D,E是AB的中点,
(1)求证:E点一定在AD的垂直平分线上;
(2)如果CD=9cm,AC=15cm,F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s,求当运动几秒钟时.△ADF是等腰三角形?
【答案】见解析
【解析】(1)证明:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵E是AB的中点,
∴AE=DE,
∴E点一定在AD的垂直平分线上;
(2)解:∵AD⊥BC,
∴AD===12(cm),
当FA=AD=12cm时,t===4s,
当FA=FD时,则∠FAD=∠ADF,
又∵∠FAD+∠C=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠C=∠FDC,
∴FD=FC,
∴FA=FC=AC=cm,
∴t===s,
当DF=AD时,点F不存在,
综上所述,当点F运动4s或s时,△ADF是等腰三角形.
23.(8分)观察下列等式,根据你发现的规律解决问题:
①===﹣1;
②===﹣;
③===﹣;
…
(1)化简:= 2﹣ .
(2)化简:= ﹣ (n为正整数).
(3)利用上面所揭示的规律计算:+++…+++.
【答案】见解析
【解析】(1)==﹣=2﹣;
故答案为2﹣;
(2)化简:==﹣(n为正整数).
故答案为﹣;
(3)原式=﹣1+﹣+﹣+ +﹣
=﹣1.
24.(8分)为应对新冠疫情,某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩,B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元,若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍.
(1)求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元?
(2)若A品牌口罩每个售价为2元,B品牌口罩每个售价为3元,药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个,在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元.则最少购进B品牌口罩多少个?
【答案】见解析
【解析】(1)设A品牌口罩每个进价为x元,则B品牌口罩每个进价为(x+0.7)元,
依题意,得:=2×,
解得:x=1.8,
经检验,x=1.8是原方程的解,且符合题意,
∴x+0.7=2.5,
答:A品牌口罩每个进价为1.8元,B品牌口罩每个进价为2.5元.
(2)设购进B品牌口罩m个,则购进A品牌口罩(6000﹣m)个,
依题意,得:(2﹣1.8)(6000﹣m)+(3﹣2.5)m≥1800,
解得:m≥2000.
答:最少购进B品牌口罩2000个.
25.(8分)如图,在△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD为AB边的高,点A在x轴上,点B在y轴上,点C在第一象限,若A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动.则点B随之沿y轴下滑,并带动△ABC在平面内滑动,设运动时间为t秒,当B到达原点时停止运动.
(1)连接OC,线段OC的长轴t的变化而变化,当OC最大时,t=________.
(2)当△ABC的边与坐标轴平行时,t=________.
【答案】或.
【解析】(1)∵BC=AC=5,AB=8,CD⊥AB,
∴BD=4=AD,
∴由勾股定理得:CD=3.
∵AD=BD,∠AOB=90°,
∴OD=AB=4.
∵在△OCD中,OC<OD+DC,
∴当O,D,C三点共线时,OC值最大,
即OD⊥AB,
∵AD=BD,DO⊥AB,
∴BO=AO,且AB=8,
∴AO=BO=4,且点A的速度为每秒1个单位长度,
∴t==4.
故答案为4;
(2)若BC∥x轴,
∴∠CBA=∠BAO且∠CDB=∠AOB,
∴△BDC∽△AOB,
∴=,即=,
∴t=;
若AC∥y轴,
∴∠CAB=∠ABO且∠CDA=∠AOB,
∴△ACD∽△BAO,
∴=,即=,
∴t=.
∴当t=或时,△ABC的边与坐标轴平行.
五.解答题(共1小题,满分11分,每小题11分)
26.(11分)【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸同侧的两个军营A,B.他总是先去A营,再到河边饮马,之后,再巡查B营.如图①,他时常想,怎么走才能使每天走的路程之和最短呢?
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.
如图②,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点P,连接PB,则AP+BP的和最小.
请你在下列的阅读、理解、应用的过程中,完成解答.
理由:如图③,在直线l上另取任一点P′,连接AP′,BP′,B′P′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点P,P′在l上,
∴PB=________,P′B=________,∴AP+PB=AP+PB′=________.
在△AP′B′中,∵AB′<AP′+P′B′,∴AP+PB<AP+P′B′,即AP+BP最小.
【归纳总结】
在解决上述问题的过程中,我们利用轴对称变换,把点A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点,即A,P,B′三点共线).
由此,可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.
【模型应用】
(1)如图④,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,F是AC上一动点.求EF+FB的最小值.
解析:解决这个问题,可借助上面的模型,由正方形对称性可知,点B与D关于直线AC对称,连接DE交AC于点F,则EF+FB的最小值就是线段ED的长度,则EF+FB的最小值是________.
(2)如图⑤,圆柱形玻璃杯,高为14cm,底面周长为16cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为________cm.
(3)如图⑥,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD的方向平移,得到△A′B′D′,分别连接A′C,A′D,B′C,则A′C+B′C的最小值为________.
【答案】见解析
【解析】【模型介绍】
解:理由:如图③,在直线l上另取任一点P′,连接AP′,BP′,B′P′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点P,P′在l上,
∴PB=PB',P′B=P'B',
∴AP+PB=AP+PB′=AB'.
在△AP′B′中,∵AB′<AP′+P′B′,
∴AP+PB<AP+P′B′,即AP+BP最小.
故答案为:PB',P'B',AB';
【模型应用】
解:(1)连接DE交AC于F,如图④所示:
则EF+FB有最小值;
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=4,∠BAD=90°,BF=DF,
∴EF+BF=EF+DF=DE,
∵E为AB的中点,
∴AE=BE=2,
∴DE===2,
即EF+FB的最小值为2;
故答案为:2;
(2)把图⑤的半个侧面展开为矩形EFGH,如图⑤﹣1所示:
作点A关于EH的对称点A',连接A'C交EH于P,作CD⊥EF于D,则A'P=AP,
A'E=AE=4,DF=CG=3,蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为AP+PCA'P+PC=A'C,
∵EF=14,
∴DE=EF﹣﹣DF=14﹣3=11,
∴A'D=A'E+DE═15,
又∵圆柱形玻璃杯底面周长为16,
∴CD=8,
∴A'C===17(cm),
故答案为:17;
(3)∵在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴AB=CD=2,∠ABD=30°,
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',
∴A′B′=AB=2,A′B′∥AB,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=AD=2,AB∥CD,
∴∠BAD=120°,
∴A′B′=CD,A′B′∥CD,
∴四边形A′B′CD是平行四边形,
∴A′D=B′C,
∴A'C+B'C的最小值=A′C+A′D的最小值,
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线l上,
∴作点D关于定直线l的对称点E,连接CE交定直线l于A′,如图⑥所示:
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值,
∵∠A′AD=∠ADB=30°,AD=2,
∴∠ADE=60°,DH=EH=AD=1,
∴DE=2,
∴DE=CD,
作DG⊥CE于G,则CG=EG,
∵∠CDE=∠EDB′+∠CDB=90°+30°=120°,
∴∠E=∠DCE=30°,∴DG=DE=1,EG=DG=,
∴CE=2EG=2.
故答案为:2.
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