吉林省榆树市第一高级中学校2022届高三12月教师专业知识考试数学试题（Word版含答案）

榆树市第一高级中学校2022届高三12月教师专业知识考试
数 学 试 题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合，则（ ）
A． B．A C． D．R
2． 已知命题，则其否定为（ ）
A． B． C． D．
3． 已知曲线的焦点与曲线的某一焦点关于直线：y = x对称，则=（ ）
A．1 B．– 1 C． D．
4． 已知，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5． 某社区为了迎接某重大纪念活动，进行了相关的知识比赛．社区工作人员将100名社区群众的比赛分数（满分100分且每人的分值为整数）分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名社区群众的分数说法错误的是（ ）
A．分数的中位数一定落在区间
B．分数的众数可能为96
C．分数落在区间内的人数为25
D．分数的平均数约为85
6． 已知点A (1，0)，B (1，6)，圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（ ）
A．– 3或3 B．57 C．– 3或57 D．3或57
7． 已知定义在R上奇函数的图象是连续不断的，满足，且在上单调递增，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8． 在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9． 假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：，则，
A．
B．
C．
D．
10． 已知函数存在极值点，且在递增，则的解析式可以为（ ）
A． B.
C. D.
11． 已知函数，则关于函数说法正确的有（ ）
A．最小正周期 B．图象的对称轴方程为：
C．在上有最大值为2 D．方程在上有且只有3个根
12． 已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上底面圆上一点，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A．直线SA与直线所成角最小值为
B．直线SA与直线所成角最大值为
C. 圆台存在内切球，且半径为
D. 直线与平面所成角正切值的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 已知复数z满足，其中为虚数单位，则___________．
14． 设，则___________．
15． 在平面直角坐标系xOy中，设M为抛物线的弦ON的中点，在抛物线C上点N处的切线交x轴于点P，且，则的值为___________．
16． 数列中，表示与最接近的整数，则满足的正整数n的最小取值为___________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． (10分) 等差数列的前n项和为，且，．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若数列为递增数列，求数列{1 /Sn }的前n项和．
18． (12分) 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①
②
③
已知中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1) 求A；
(2) 若且，求的面积．
19． (12分) 在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD//EF，DF⊥EF，EF = 2CD = 2．
(1) 若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长；
(2) 在第（1）问的情况下，过D点做平行于平面BCE的平面交EF于点G，交AB于点H，求三棱柱DGH—BCE的体积．
20． (12分) 甲、乙二人争夺一场乒乓球比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制（即率先累计获得三局比赛者获胜，且每局比赛都必须分出胜负，没有平局），若甲在连胜两局后下一局获胜的概率为，其余情况下，甲在每局比赛中获胜的概率均为．
(1) 求甲通过四场比赛获得冠军的概率；
(2) 设这场乒乓球比赛总共进行了X局，求X的分布列和数学期望．
21． (12分) 已知函数．
(1) 求函数的单调区间；
(2) 若对任意的，都有恒成立，求实数的最小值．
22． (12分) 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点．也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等．已知，，．以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系．
(1) 求截口所在椭圆的方程；
(2) 点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，．
请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
数 学 答案
2、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B C B C A C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9 10 11 12
AD BCD AC AB
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． EMBED Excel.Sheet.8 14．365 15．2 16．111
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (10分)
解：(1) 由 EMBED Excel.Sheet.8 为等差数列，设其公差为d,则由 EMBED Excel.Sheet.8 ，可得 EMBED Excel.Sheet.8
又 EMBED Excel.Sheet.8 解得 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8
(2) 因为数列 EMBED Excel.Sheet.8 为递增数列， EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 的通项公式为 EMBED Excel.Sheet.8 .
则 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以{1 /Sn }的前 EMBED Excel.Sheet.8 项和为：
18．解：(1) 选①， EMBED Excel.Sheet.8 ，
由诱导公式得：,即,
因为 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8
选②，由诱导公式得 EMBED Excel.Sheet.8 ,
整理即有 EMBED Excel.Sheet.8 ,
又已知 EMBED Excel.Sheet.8 ，且 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以必 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 .
选③，已知 EMBED Excel.Sheet.8 ，
由正弦定理可得,
可得： EMBED Excel.Sheet.8 ,即 EMBED Excel.Sheet.8 ,
因为 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，即 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 .
(2) 由余弦定理： EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，从而 EMBED Excel.Sheet.8 ，又 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 为等边三角形。又因为 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，则 EMBED Excel.Sheet.8
19．解：法一：
(1) 因为平面ABEF⊥平面CDFE，，所以DF⊥平面ABEF，又，以F为原点，FA,FE,FD分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设FD=h,则,,,,,,，所以平面的法向量.,,所以平面的法向量。
由题，若平面 EMBED Excel.Sheet.8 平面 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以FD=h=1.
(2) 若FD=1，则由（1）可知平面 EMBED Excel.Sheet.8 的法向量 EMBED Excel.Sheet.8 , 点 EMBED Excel.Sheet.8 , EMBED Excel.Sheet.8 , EMBED Excel.Sheet.8 ，所以点D到平面 EMBED Excel.Sheet.8 的距离 EMBED Excel.Sheet.8 ,
又平面 EMBED Excel.Sheet.8 平面 EMBED Excel.Sheet.8 ，且 EMBED Excel.Sheet.8 (交线)，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，在梯形 EMBED Excel.Sheet.8 中， EMBED Excel.Sheet.8 ，
所以直角三角形的面积,
所以 EMBED Excel.Sheet.8
法二：
(1) 因为平面ABEF⊥平面CDFE， EMBED Excel.Sheet.8 ，所以DF⊥平面ABEF,又 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，从而 EMBED Excel.Sheet.8 ，因为 EMBED Excel.Sheet.8 ，所有 EMBED Excel.Sheet.8 ，从而 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 为平面ACF与平面BCE的夹角或夹角的补交，又因为平面ACF⊥平面BCE，所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，在梯形FECD中，EF = 2CD =2，取EF的中点M，连接CM，则四边形CDFM为矩形，从而在直角三角形CEF中，DF=MC= EMBED Excel.Sheet.8 ；
(2)
20．解：(1) 在甲获得冠军的条件下，求比赛进行了四局的概率为P
则 EMBED Excel.Sheet.8
(2) X的可能取值为3,4,5
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
所以关于X的分布列如图：
X 3 4 5
P EMBED Excel.Sheet.8 EMBED Excel.Sheet.8 EMBED Excel.Sheet.8
21．解：(1) EMBED Excel.Sheet.8 ，定义域为 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 ，
当，，所以； ，
所以单增区间；单减区间
当 EMBED Excel.Sheet.8 ，令 EMBED Excel.Sheet.8 ，得 EMBED Excel.Sheet.8 .
当 EMBED Excel.Sheet.8 ，则 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以当 EMBED Excel.Sheet.8 ； EMBED Excel.Sheet.8 ，
所以单增区间；单减区间
当 EMBED Excel.Sheet.8 ，则 EMBED Excel.Sheet.8 ，
若，，所以单增区间为；
当，，
所以当；；
所以 EMBED Excel.Sheet.8 单增区间 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 ；单减区间 EMBED Excel.Sheet.8
当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 ，
所以当；；
所以 EMBED Excel.Sheet.8 单增区间 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 ；单减区间 EMBED Excel.Sheet.8
综述：当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 单增区间 EMBED Excel.Sheet.8 ；单减区间 EMBED Excel.Sheet.8 ；
当， 单增区间为；
当， 单增区间，；单减区间
当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 单增区间 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 ；单减区间 EMBED Excel.Sheet.8
(2) 由题，对任意的 EMBED Excel.Sheet.8 ，都有 EMBED Excel.Sheet.8 恒成立，注意到 EMBED Excel.Sheet.8 .
当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 在 EMBED Excel.Sheet.8 上递减，所以当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 ，不符合，舍去.
当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 单减区间 EMBED Excel.Sheet.8 单增区间， EMBED Excel.Sheet.8 .、
所以当，，不符合，舍去.
当 EMBED Excel.Sheet.8 ， EMBED Excel.Sheet.8 单增区间为 EMBED Excel.Sheet.8 ，所以 EMBED Excel.Sheet.8 在 EMBED Excel.Sheet.8 上递增，则 EMBED Excel.Sheet.8 恒成立；
当， 单增区间，，所以在上递增，则恒成立；
综述：，所以的最小值为.
22．解：(1) 设所求椭圆方程为 EMBED Excel.Sheet.8 ，
则 EMBED Excel.Sheet.8 ，
由椭圆的性质：，所以，
所以椭圆的方程为 EMBED Excel.Sheet.8 .
(2) 由椭圆的方程为 EMBED Excel.Sheet.8 ，则 EMBED Excel.Sheet.8 .
设椭圆上的点 EMBED Excel.Sheet.8 ，则 EMBED Excel.Sheet.8 ，
又椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即.
所以椭圆 EMBED Excel.Sheet.8 在点 EMBED Excel.Sheet.8 处的切线方程为 EMBED Excel.Sheet.8 ，
同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，
综述：椭圆在点处的切线方程为，
所以在点处的切线的斜率为，
又由右光学性质可知：直线，所以，则.
所以 EMBED Excel.Sheet.8 ，
，
那么.