四川省广安市邻水县邻水实验学校2022届高三上学期12月第四阶段考试数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省广安市邻水县邻水实验学校2022届高三上学期12月第四阶段考试数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-29 17:46:50 | ||
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文档简介
邻水实验学校2022届高三上学期12月第四阶段考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和，且满足，，若，则（ ）
A．9 B． C．10 D．
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数满足条件：，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
7．经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为（其中为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出的近似值为，则（ ）
A．300 B．400 C．500 D．600
8．已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）
A．80 B．160 C．240 D．320
9．已知函数，在下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点
C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点
10．设向量其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
12．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数（为虚数单位），则__．
14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
15．在中，角，，的对边分别为，，，若，则三角形的面积，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的一半为，则凸四边形的面积”．如图，在凸四边形中，
若，，，
，则凸四边形面积的最大值为________．
16．已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线与轴交于点，抛物线的焦点为，若，则的坐标为___________.
三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17.(本题满分12分)已知函数 f (x) = sin2 x - sin x cos x .
(1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)把 f (x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集.
18.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列｛｝满足=1,且,,成等比数列.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若求数列｛｝的前n项和；
19.（本小题满分12分）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8
销售量（件） 11 10 8 6 5 14.2
（1）根据1至5月份的数据，y与x近似满足线性回归方程，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归方程是理想的，试问是否可以认为所得到的回归方程是理想的？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）
20.(本题满分12分)如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABEF丄平面ABCD , AD//BC , ADDC, AD=2DC=2BC .
（1）求二面角A-CF-D的余弦值；
（2）判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数 = ().
（1）函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围;
（2）求证：当, 时，；
（3）若有两个不同的零点， ,求证：.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
如图，在极坐标系Ox中，正方形OBCD的边长为2.
（1）求正方形OBCD的边BC , CD的极坐标方程；
（2）若以为原点， ,分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E：与边BC , CD分别交于点P,Q，求直线PQ的参数方程.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数=|x + 2| + |x-l|.
（1）求不等式<5的解集；
（2）设函数的最小值为 ,若均为正数，且 .求证：.
参考答案
1．D
【分析】先求得集合，再根据交集定义得解.
【详解】∵，，
∴，故选：D.
2．B
【分析】根据题意得命题是假命题，命题是真命题，再依次判断即可.
【详解】
解：当，，命题是假命题；
命题﹐是真命题，
所以，，是假命题，是真命题故选：B
3．D
【分析】根据双曲线方程求出，即可求出离心率.
【详解】
解：根据题意得
，即
故，，，即
故选：D
4．B
【分析】根据判断出是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.
【详解】由可知，是等差数列，设公差为，所以，
由，所以.
故选：B.
5．D【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，计算求解即可．
【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
的值，
由于
故选：．
6．C【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解.
【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，
表示可行域内的点与定点的连线的斜率.
解方程组的,
的最大值为
故选C.
7．A
【分析】根据题意此针与平行线中任一条相交的概率为列出关系式，从而求.
【详解】
根据题意，得，即，所以.
故选：A.
8．D
【分析】令解得，再求得展开式的通项公式求解.
【详解】
令得，解得，
则展开式的通项为，
则展开式中常数项为．
故选：D
9．C
【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误；
对于B选项，，故得，即函数有三个零点，故错误；
对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误；
故选：C
10．C
【分析】根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为8
故选：C.
11．B
【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值．
【详解】
依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则，因为，
故可得：；
所以为等边三角形，故是的中心，
连接，则平分，
所以；
所以，即，
即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，所以．
即的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．
12．D
【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2.
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
13．
【分析】根据复数的除法运算化简，再求出，利用复数的乘法运算计算即可求解.
【详解】，则，
故答案为：.
14．10
【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.
【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，
故答案为：10
15．
【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为的最值问题
【详解】因为，且，，，，
所以,
∴=
当=0即当的时候，S取到最大值
故答案为:
16．
【分析】设出点坐标，求得切线方程，由此求得点坐标，根据列方程，解方程求得点的坐标.
【详解】，设，，
依题意可知过点的切线斜率存在且不为，设为，
则切线方程为，
即，由，
化简得，
，，
，，故切线方程为，
令得，故，，，
依题意，，即，
，，由于，故，此时，
所以点坐标为.
故答案为：
【点睛】
本题的难点有两个，一个是求过的切线方程，另一个是利用来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.
18.
19.
21.
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和，且满足，，若，则（ ）
A．9 B． C．10 D．
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数满足条件：，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
7．经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为（其中为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出的近似值为，则（ ）
A．300 B．400 C．500 D．600
8．已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）
A．80 B．160 C．240 D．320
9．已知函数，在下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点
C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点
10．设向量其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
12．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数（为虚数单位），则__．
14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
15．在中，角，，的对边分别为，，，若，则三角形的面积，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的一半为，则凸四边形的面积”．如图，在凸四边形中，
若，，，
，则凸四边形面积的最大值为________．
16．已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线与轴交于点，抛物线的焦点为，若，则的坐标为___________.
三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17.(本题满分12分)已知函数 f (x) = sin2 x - sin x cos x .
(1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)把 f (x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集.
18.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列｛｝满足=1,且,,成等比数列.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若求数列｛｝的前n项和；
19.（本小题满分12分）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8
销售量（件） 11 10 8 6 5 14.2
（1）根据1至5月份的数据，y与x近似满足线性回归方程，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归方程是理想的，试问是否可以认为所得到的回归方程是理想的？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）
20.(本题满分12分)如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABEF丄平面ABCD , AD//BC , ADDC, AD=2DC=2BC .
（1）求二面角A-CF-D的余弦值；
（2）判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数 = ().
（1）函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围;
（2）求证：当, 时，；
（3）若有两个不同的零点， ,求证：.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
如图，在极坐标系Ox中，正方形OBCD的边长为2.
（1）求正方形OBCD的边BC , CD的极坐标方程；
（2）若以为原点， ,分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E：与边BC , CD分别交于点P,Q，求直线PQ的参数方程.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数=|x + 2| + |x-l|.
（1）求不等式<5的解集；
（2）设函数的最小值为 ,若均为正数，且 .求证：.
参考答案
1．D
【分析】先求得集合，再根据交集定义得解.
【详解】∵，，
∴，故选：D.
2．B
【分析】根据题意得命题是假命题，命题是真命题，再依次判断即可.
【详解】
解：当，，命题是假命题；
命题﹐是真命题，
所以，，是假命题，是真命题故选：B
3．D
【分析】根据双曲线方程求出，即可求出离心率.
【详解】
解：根据题意得
，即
故，，，即
故选：D
4．B
【分析】根据判断出是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.
【详解】由可知，是等差数列，设公差为，所以，
由，所以.
故选：B.
5．D【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，计算求解即可．
【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
的值，
由于
故选：．
6．C【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解.
【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，
表示可行域内的点与定点的连线的斜率.
解方程组的,
的最大值为
故选C.
7．A
【分析】根据题意此针与平行线中任一条相交的概率为列出关系式，从而求.
【详解】
根据题意，得，即，所以.
故选：A.
8．D
【分析】令解得，再求得展开式的通项公式求解.
【详解】
令得，解得，
则展开式的通项为，
则展开式中常数项为．
故选：D
9．C
【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误；
对于B选项，，故得，即函数有三个零点，故错误；
对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误；
故选：C
10．C
【分析】根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为8
故选：C.
11．B
【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值．
【详解】
依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则，因为，
故可得：；
所以为等边三角形，故是的中心，
连接，则平分，
所以；
所以，即，
即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，所以．
即的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．
12．D
【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2.
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
13．
【分析】根据复数的除法运算化简，再求出，利用复数的乘法运算计算即可求解.
【详解】，则，
故答案为：.
14．10
【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.
【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，
故答案为：10
15．
【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为的最值问题
【详解】因为，且，，，，
所以,
∴=
当=0即当的时候，S取到最大值
故答案为:
16．
【分析】设出点坐标，求得切线方程，由此求得点坐标，根据列方程，解方程求得点的坐标.
【详解】，设，，
依题意可知过点的切线斜率存在且不为，设为，
则切线方程为，
即，由，
化简得，
，，
，，故切线方程为，
令得，故，，，
依题意，，即，
，，由于，故，此时，
所以点坐标为.
故答案为：
【点睛】
本题的难点有两个，一个是求过的切线方程，另一个是利用来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.
18.
19.
21.
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