2021-2022学年北师大版九年级数学下册 期末综合复习训练（1）3.4圆周角与圆心角的关系 （word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
期末综合复习训练1（附答案）
1．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则＝（　　）
A． B． C．1﹣ D．
2．如图，半圆的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，把AC沿直线AD对折恰好与AB重合，则AD的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．5cm D．8cm
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数为（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
4．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB＝8，则tan∠CBD的值等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（　　）
B．1
C． D．﹣1
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，并且，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，AB＝18．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（　　）
A．26 B．29 C．24 D．25
8．如图，BC是半圆O的直径，EF⊥BC于点F，＝5，又AB＝8，AE＝2，则AD的长为（　　）
A．1+ B． C． D．1+
9．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（　　）
A．24 B．9 C．6 D．27
10．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
11．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为 　 　．
12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 　 　．
13．△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，D是的中点，AD＝a，则四边形ABDC的面积为　 　．
14．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C＝1：2，则∠BOD＝　 　度．
15．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　 　mm．
16．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．
17．已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），
（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC＝PA；
（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
18．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．
（1）求证：BD＝DC＝DI；
（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．
19．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
20．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）
（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；
（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．
参考答案
1．解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．
∵点E是弧AC的中点，
∴可设AE＝CE＝1，
根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．
∴△ADE是等腰直角三角形，
则AD＝，BD＝AD＝．
所以BE＝+1．
再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，
则EF＝＝﹣1，BF＝2．
所以＝．
方法2：过点C作CO⊥AB于点O，
∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，
∴点O是圆心．
连接OE，BC，OE与AC交于点M，
∵E为弧AC的中点，
易证OE⊥AC，
∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，
∴OE∥BC，
设OM＝1，则AM＝1，
∴AC＝BC＝2，OA＝，
∴OE＝，
∴EM＝﹣1，
∵OE∥BC，
∴＝＝．
故选：D．
2．解：设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴点D是弧BC的中点．
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴OE＝AF＝3cm，
∴DE＝4cm，
∴AD＝＝4cm．
故选：A．
3．解：∵∠ABC＝25°，
∴∠ADC＝25°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
4．解：过B作⊙O的直径BM，连接AM；
则有：∠MAB＝∠CDB＝90°，∠M＝∠C；
∴∠MBA＝∠CBD；
过O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE＝AB＝4，OB＝5；
由勾股定理，得：OE＝3；
∴tan∠MBA＝＝；
因此tan∠CBD＝tan∠MBA＝，故选D．
5．解：连接AE，
∵以AD为直径的圆交BD于点E，
∴∠AED＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆O上，
连接OE，OC，
则CE≥OC﹣OE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝2，
由勾股定理得，OC＝＝，
∴线段CE长度的最小值为﹣1，
故选：D．
6．解：过O点作DC的垂线交DC于E，交AB于F，交⊙O于M，N，连OD，OA，如图，
∴DE＝EC＝1，DM弧＝MC弧，
∵AB∥CD，
∴OF⊥AB，AD弧＝BC弧，
∴AF＝BF＝2，AN弧＝BN弧，
而且，
∴AD弧＝DM弧+AN弧，
∴AD弧为半圆MN的一半，
∴∠DOA＝90°，
∴Rt△ODE≌Rt△OAF，
∴OE＝AF＝2，OF＝DE＝1，即EF＝3，
∴梯形ABCD的面积＝ （2+4） 3＝9．
故选：B．
7．解：∵AD＝20，平行四边形的面积是120，
∴AD边上的高是6．
∴要求的两对角线长度和是20+6＝26．故选：A．
8．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF BC
即：30x2＝60
解得：x＝
∴EC2＝FC BC＝6x2＝12
∴EC＝2
∴AC＝AE+EC＝2+2
∵AD AB＝AE AC
∴AD＝＝＝ 故选：B．
9．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2＝AD DB，AD＝9，BD＝4，
∴CD＝6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE EQ＝DE EM＝CE EN，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6
则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），
解得x＝3．
所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．
所以PE EQ＝3×9＝27．
故选：D．
10．解：设CE＝x，则DE＝3+x．
根据相交弦定理，得x（x+3）＝2×2，
x＝1或x＝﹣4（不合题意，应舍去）．
则CD＝3+1+1＝5．
故选：B．
11．解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（﹣1，1﹣）．
故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）
12．解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN＝30°，
∴∠AON＝60°，
∵＝
∴∠AOB＝∠BON＝30°，
∵MN⊥BC，
∴＝，
∴∠CON＝∠NOB＝30°，
则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，
则AC＝．
13．解：解法一：在ABDC中，∠BAC＝60度，所以∠BDC＝120°，
∵点D是弧BC的中点，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
在△BDC中用正弦定理，得
∴BC＝BD，
设BD＝DC＝x，那么BC＝x，
用托勒密定理：AD BC＝AB DC+BD AC，
即ax＝x AB+x AC，
则AB+AC＝a，
S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝（AB AD sin∠BAD+AC AD sin∠DAC），
＝（AB+AC）AD sin30°，
＝a2；
解法二：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵D是的中点，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠FAD，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在Rt△DBE与Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴S△DBE＝S△DCF，
∴S四边形ABDC＝S四边形AEDF，
∵点D是弧BC的中点，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AD＝a，
∴AE＝AD cos30°＝a，
DE＝AD sin30 ＝a，
∴S四边形AEDF＝2S△ADE＝2××a×a＝a2．
故答案为：a2．
14．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°；
又∠A：∠C＝1：2，得∠A＝60°．
∴∠BOD＝2∠A＝120°．
故答案为：120．
15．解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
则下面的距离就是2．
利用相交弦定理可得：2×8＝AB×AB，
解得AB＝8．
故答案为：8．
16．解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，
又∵AE＝CF，AB＝AC，
∴BE＝AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB OA＝2．
（2）∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，
y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE AF＝2﹣x（2﹣x）
∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．
17．解：（1）连OB，OC，如图
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO＝∠ACB，∠APC＝∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BPO＝∠APC＝60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB＝PC＝OP＝OA，
∴PB+PC＝PA；
（2）（1）的结论还成立．理由如下：
截取PE＝PC，
∵∠APC＝60°，
∴△PEC为等边三角形，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCP，
而CA＝CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE＝PB，
∴PB+PC＝PA．
18．（1）证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝DC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI．
∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠DBC．
又∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD＝ID，
∴BD＝DC＝DI．
（2）解：当∠BAC＝120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外．
连接OB、OD、OC．
∵BD＝CD，
∴＝，
∴∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝60°，
∴△BDC为正三角形．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
∴BE＝BD，
又∵OB＝10，
∴BD＝2OBcos30°＝2×10×＝10．
∴CE＝CD sin60°＝BD sin60°＝10×＝15，
∴S△BDC＝BD CE＝×10×15＝75．
答：△BDC的面积为75cm2．
19．解：（1）①② ③，正确；①③ ②，错误；②③ ①，正确．
（2）先证①② ③．如图．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF．
设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，
∴∠DGE＝∠DGF．
∴∠DGE＝∠DGF＝90°．
∴AD⊥EF．
再证②③ ①．如图2，
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．
∴OE＝AD，OF＝AD．
即点O到A、E、D、F的距离相等．
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAF．
即AD平分∠BAC．
20．解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．
（写对一个给（1分），写对两个给2分）
（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．
结论：PA PB＝PC PD．
证明：连接AD，BC，
∵∠APD＝∠BPC，∠D＝∠B
∴△APD∽△BPC
∴PA PB＝PC PD；
（3）若点C和点E重合，
则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分）
设∠BAC＝x，则∠BAD＝x，∠ABC＝90°﹣x，（9分）
又D是的中点，所以2∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ABC，
即2 2x＝180°﹣（90°﹣x），（10分）
解得x＝∠BAC＝30°．（11分）
（若求得AC＝AB或AF＝3 FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）