吉林省白城市洮南第一高级中学校2022届高三上学期12月第四次月考数学（理）试题（Word版含答案）

洮南第一高级中学校2022届高三上学期12月第四次月考
数学（理科）试题
（满分：150分，时间：120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A.2 B. C. D.1
3.下列说法正确的是( )
A.“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题
B.“”是“”的充要条件
C.命题“，”的否定是“，”
D.若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数m的取值范围是
4.已知平面向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是( )分
A.70，70，70 B.70，70，68 C.70，68，70 D.68，70，70
6.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.设是两个上的均匀随机数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲乙二人恰有一门学科相同的选法有( )种
A.24 B.30 C.48 D.60
10.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
11.在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为2.则球的表面积的最小值是( )
A. B. C. D.
12.定义在R上的偶函数的导函数为，若对任意，都有，则使成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.过抛物线的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则p等于 .
14.若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为___________.
15.已知一组鞋码与身高的数据（表示鞋码，表示身高），其中.
若用此数据计算得到回归直线，则由此估计当鞋码为40时身高约为__________.
16.如图，在正方体中，M为棱的中点，N是棱上的动点（不与端点重合）.
给出下列说法：
①当N变化时，三棱锥的体积不变；
②当N变化时，平面内总存在与平面平行的直线；
③当N为中点时，异面直线与所成角的余弦值为；
④存在点N，使得直线平面.
其中所有正确的说法是_________ .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.(本小题10分)
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）若B为锐角，，BC边上的中线长，求的面积.
18. (本小题12分)已知为等差数列, ,,是等比数列,,
(1)求和的通项公式；
(2)设,求.
19. (本小题12分)如图，在三棱柱中，平面，D为的中点，交于点E，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20. (本小题12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
(1)若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．
①求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列和数学期望；
②求该商家拒收这批产品的概率.
21. (本小题12分)已知椭圆过点且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求四边形的面积.
22. (本小题12分)已知函数,其中.
(1)当时,求函数在处的切线方程；
(2)若函数存在两个极值点,求的取值范围；
(3)若不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1. A 2.C 3. D 4.D 5. B 6.B
7. A 8.C 9. D 10.D 11.B 12.D
9.解析：分为两类,第一类物理、历史两科中是相同学科,则有种选法;第二类物理、历史两科中没相同学科,则有种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48=60种，故选：D.
10.解析：设一条渐近线OA的方程为，则另一条渐近线OB的方程为.设点，.由，得，则，，则点.又，所以，化简，得，故双曲线C的离心率.
11.答案：B
解析：如图所示，在中，设，，则，取BC，的中点分别为，，则，分别为和的外接圆的圆心，连接，又直三棱柱的外接球的球心为O，则O为的中点，连接OB，则OB为三棱柱外接球的半径.设半径为R，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即.又三棱锥的体积为2，所以.在中，，所以，当且仅当时取“=”，所以球O的表面积的最小值是28π，故选B.
12.答案：D
解析：令，则，所以当时，，则函数在上单调递减.因为是偶函数，所以是偶函数，则函数在上单调递增.不等式可化为，即，所以，解得或，故选D.
13. 7.答案：
解析：由题意得直线的方程为，与联立，消去y，得.设，弦的中点为，由根与系数的关系，得，即，从而.易得l的方程为，将坐标代入l的方程中，得，解得.
14.答案：10
15.答案：173.5
解析：，将代入回归直线可得，故当鞋码为40时身高约为.
16..答案：①②
解析：对于①，三棱锥的体积.
当N变化时，和h均不变，所以三棱锥的体积不变，故①中说法正确.
对于②，如图，连接，在平面内，过N作，交于P，过P作，交于Q，连接，则平面平面，又平面，所以平面内总存在与平面平行的直线，故②在说法正确.
对于③，当N变化时，在正方体后方再补一个形状大小相同的正方体，如图所示.取中点，连接，，则，所以或其补角为异面直线与所成角.设正方体的棱长为2，在中，易得，，，由余弦定理得，故③中说法错误.
对于④，若存在点N，使得平面，则，易知，，所以平面，连接，则，这显然不成立，故④中说法错误.
综上知， ①②正确.
9.答案：（1）或
（2）
解析：解：（1）在中，因为，
由正弦定理得，
所以，即，
又因为，所以，
因为B是三角形的内角，所以或.
（2）由（1）知，
所以为等腰三角形，且，在中，设，
在中，由余弦定理得，
解得，所以，
所以，
所以三角形的面积为.
18. 答案：
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
则,所以,
,所以,所以
(2)由1题得,①,②
②-①,得,
所以
19.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为为三棱柱，所以平面平面ABC，
因为平面，所以平面ABC.
又因为平面ABC，所以.
又因为，，、平面，
所以平面.
由题知：四边形为矩形，又因交于点E，所以E为的中点，
又因为D为的中点，所以DE为的中位线，所以，
所以平面.
（2）由（1）知：、、两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以、、为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，，，
所以，，
因为，所以，所以，解得，
所以，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，所以，
不妨令，则；
设平面的法向量为，则，所以，
不妨令，则，所以，
因为平面与平面所成的角为锐角， 所以二面角的余弦值为.
20.答案：
（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，
其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，
；
（2）①该商家可能检验出不合格产品数X，X可能的取值为0，1，2，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）= … =2/5
②因为只有2件都合格时才接收这批产品，
故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，
记“商家拒收”为事件B，则，
∴商家拒收这批产品的概率为.
21.答案：(1)由题意，得
解得
故椭圆方程为
(2)，由向量加法的意义得四边形为平行四边形.
设所在直线，
①若直线垂直于轴，
易得
或者
此时，四边形为菱形
②若直线不垂直于轴，设，
由得
得，
∵
∴，
代入椭圆方程，
化简得
验证，
∴
∴
点到直线的距离为
综上，四边形的面积始终为12.
22. 答案：
(1)当时, ,故,且,故所以函数在处的切线方程为
（2）由可得
因为函数存在两个极值点,所以是方程的两个不等正根,即的两个不等正根为
∴即
∴
∴
令
故,在
∴
故得取值范围是
(3) 据题意, 对任意的实数恒成立,即对任意的实数恒成立.
令,则
①若,当时, ,故符合题意;
②若,
(i)若,即,则,在上单调赠所以当时, ,故符合题意;
(ii)若,即,令,得 (舍去),
,当时, ,在上单调减;
当时, ,在上单调递增,
所以存在,使得,与题意矛盾,所以不符题意.
综上所述,实数的取值范围是.也可以用不同方法处理。