吉林省白城市洮南第一高级中学校2022届高三上学期12月第四次月考数学（文）试题（Word版含答案）

洮南第一高级中学校2022届高三上学期12月第四次月考
数学（文科）试题
（满分：150分，时间：120分钟）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.已知全集，，，则 （ ）
A. B. C. D.
2.设，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A. B.
C. D.
6.若非零向量满足则与的夹角为（ ）
A. 　 B. C.　 D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B.5 C. D.6
9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线E的离心率是（ ）
A. B. C. D.
10.已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且是边长为6的等边三角形，则球面面积为（ ）
A. B. C. D.
11.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．抛物线上一点到焦点的距离为3，则___________.
14.函数在处的切线方程为___________.
15．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为___________.
16.已知，，若存在两个零点，则m的取值范围是___________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设数列 的前n项和为，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和对称中心；
（2）在中，角的对边分别为，其中的面积为，求的值．
19.某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩大于或等于70”的概率.
20．如图，是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为直角三角形，是底面圆周上异于，的任一点，是线段的中点，为母线上的一点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
21．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
22.已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，关于x的不等式在上恒成立，求k的取值范围.
参考答案
1、 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C B C C C C C A C A C
1、 填空题
13.
14.
15．
16.
三、解答题
17. 答案：(1)解　由得
，
即.
∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴.
(2)证明
.
又易知单调递增，
故，得.
18．（1）最小正周期；对称中心是
（2）1
【分析】
（1）由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得周期和对称中心；
（2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，然后由正弦定理求得角，再代入求值．
（1）
由题
最小正周期．
由．
的对称中心是．
（2）
．
又
为锐角，．
．
19. 答案：解：（1）由频率分布直方图的性质得：，
解得.
（2）∵成绩在的学生人数为6，
由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，
∴.
（3）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率：
.
解析：
18.设数列 的前n项和为，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：
20. （1）证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）由圆锥的性质可知，底面圆，再根据线面垂直的性质得出，由为直径得出，再根据中位线的性质得出最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；
（2）在上取点，使得，连接，结合题意可知，从而有，得出为三棱锥的高，最后利用等体积法和三棱锥的体积公式，即可求出三棱锥的体积.
（1）
证明：由圆锥的性质可知，底面圆，
又在底面圆上，所以，
又因为在圆上，为直径，所以，
又点分别为的中点，所以所以
又，且平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）
解：由题可知，，则，
如图，在上取点，使得，连接，
由题知，所以，所以，
又因为，所以，
所以为三棱锥的高，
又，所以，
又因为为等腰直角三角形，所以，
又，所以
而，
所以三棱锥的体积为.
21. （1）;
（2）.
【分析】
（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;
（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.
（1）
因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）
因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
22. .答案：（1）的减区间为，增区间为
（2）
解析：解：（1）当时，，
，
当时，，是减函数，
，，是增函数，
所以，的减区间为，增区间为.
（2）当时，，
，即.
设，，则只需在值成立即可.
易知，
，
①当时，，此时在上单调递减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立.
综上，.