(共46张PPT)
3．1.1 函数及其表示方法
出生率/%
4.5
4.0
3.5
3.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0
195019551960196519701975198019851990年份
解析法|就是用数学表达式表示两个变量之
的对应关系
的表示方
图像法
像表示两个变
就是列出表格来表示两个变量之
表
关系第二课时 函数的表示方法
新课程标准解读 核心素养
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用 数学抽象、直观想象
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
[问题] 根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
1．函数的图像
(1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}；
(2)F是函数y＝f(x)的图像，必须满足下列条件：
①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；
②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上．
2．函数的表示法
所有的函数都能用解析法、列表法和图像法表示吗？为什么？
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图像法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________．
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
解析：由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.
答案：1
2．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝－
3．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
4.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝________．
解析：结合题图可得f(0)＝3，
则f(f(0))＝f(3)＝0.
答案：0
5．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是________．
解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝.
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
答案：f(x)＝3x＋2
函数的表示法
[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图像法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图像法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图像法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
在用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；
(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”．
[跟踪训练]
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
解析：选D 由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；
当g(f(x))＝2时，x＝________．
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1 1
函数图像的作法及应用
[例2] 作出下列函数的图像并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
[解] (1)当x∈[0，2]时，图像是直线y＝2x＋1的一部分图(如图①)，观察图像可知，其值域为[1，5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分(如图②)，观察图像可知其值域为(0，1]．
(3)当－2≤x≤2时，图像是抛物线y＝x2＋2x的一部分(如图③)．
由图可得函数的值域是[－1，8]．
描点法作函数图像的步骤
(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来；
(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来；
(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．
[注意] (1)画函数的图像时要注意函数的定义域；(2)要作出更精确的图像，常常需要描出更多的点．
[跟踪训练]
1.已知函数f(x)的图像如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．
解析：结合图像，知函数f(x)的定义域为[－3，3]，值域为[－2，2]．
答案：[－3，3] [－2，2]
2．作出下列函数的图像，并根据图像求其值域：
(1)
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
(2)y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]；
(3)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]．
解：(1)该函数的图像如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}．
(2)作出函数y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]的图像，如图②所示，
由图像可知值域为(－∞，－4]∪.
(3)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图像，如图③所示，由图像可知值域为[－3，1]．
函数解析式的求法
角度一 已知函数的类型，求函数的解析式
[例3] (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，则f(x)的解析式为________；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________．
[解析] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.
(2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得故f(x)＝x2＋1.
[答案] (1)f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6
(2)f(x)＝x2＋1
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．
待定系数法求函数解析式的步骤如下：
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数的解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数的解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数的解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值；
(4)将所求待定系数的值代回所设解析式．
角度二 已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
[例4] (1)已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
[解析] (1)法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1.
法二(配凑法)：因为x2＋2x＝(x2＋2x＋1)－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1.
(2)法一(换元法)：令t＝＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：(1)C (2)f(x)＝x2－1(x≥1)
换元法、配凑法求函数解析式
已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)的两种方法
(1)换元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．
利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域；
(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
角度三 已知中含有f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式
[例5] (1)已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝x，则函数f(x)的解析式为________；
(2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为________．
[解析] (1)在已知等式中，将x换成，得f＋2f(x)＝，与已知方程联立，得
消去f，得f(x)＝－＋.
(2)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
于是得
消去f(－x)，得f(x)＝.
故f(x)的解析式为f(x)＝x，a≠±1.
[答案] (1)f(x)＝－＋ (2)f(x)＝x，a≠±1
消元法(或解方程组法)求函数解析式
在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法(或解方程组法)．
即已知f(x)与f(φ(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可求出f(x)．
[跟踪训练]
若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
解析：令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，
原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)．①
以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②
由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，故f(x)＝2x＋.
答案：f(x)＝2x＋
函数图像的三种变换
1．函数图像的平移变换
左加右减：函数y＝f(x)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图像．
上加下减：函数y＝f(x)的图像沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图像．
例如：函数f(x)＝x2，分别作出y＝f(x＋1)，y＝f(x－1)，y＝f(x)＋1，y＝f(x)－1的图像如图所示．
图像向左平移一个单位长度 图像向右平移一个单位长度
图像向上平移一个单位长度 图像向下平移一个单位长度
2．函数图像的对称变换
(1)y＝f(x)y＝－f(x)；
(2)y＝f(x)y＝f(－x)；
(3)y＝f(x)y＝－f(－x)．
例如：f(x)＝(x>0)，分别作出y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)的图像如图所示．
3．函数图像的翻折变换
(1)y＝f(x)y＝|f(x)|；
(2)y＝f(x)
y＝f(|x|)．
例如：已知函数y＝f(x)＝x2－2x－3，分别作出函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像如图所示．
y＝|f(x)|的图像为保留y＝f(x)图像在x轴上方的部分，把x轴下方的部分沿x轴翻折上去．
y＝f(|x|)的图像为保留y＝f(x)图像在y轴右侧的部分，把y轴右侧的图像翻折到y轴左侧．
[迁移应用]
画出下列函数的大致图像：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－1|.
解：(1)因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图像，把图像向左平移1个单位长度得到y＝－的图像，再把所得图像向上平移2个单位长度就得到了函数y＝的图像，如图①所示．
(2)先作出y＝x2－1的大致图像，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图像就是函数y＝|x2－1|的图像，如图②所示．
1．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
解析：选B 设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得所以选B.
2．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.
3．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2}，试写出从A到B的一个函数h(x)＝_____________．
解析：令h(x)＝x＋1，
则有h(－1)＝0，h(0)＝1，h(1)＝2，满足题意．
答案：x＋1(答案不唯一)
4．如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(3)＝________，f(f(4))＝________．(用数字作答)
解析：由题图可知f(3)＝1，f(4)＝2，则f(f(4))＝f(2)＝0.
答案：1 0
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图像的简图；
(2)根据图像写出f(x)的值域．
解：(1)f(x)图像的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]．
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11(共29张PPT)
3．1.1 函数及其表示方法第三课时 分段函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、直观想象、数学运算
某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：
(1)5千米以内(含5千米)，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
[问题] (1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？
(2)函数的表达式是什么？
知识点 分段函数
1．分段函数的定义
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
2．分段函数的图像
分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像．
3．常数函数
值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．
分段函数应注意4点
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？
提示：函数y＝是分段函数，它是一个函数．
1．下列给出的式子是分段函数的是________(填序号)．
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
答案：①④
2．已知f(x)＝则f(－2)＝________．
答案：2
3．函数y＝的定义域为________________，值域为____________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
4．下列图形是函数y＝x|x|的图像的是________(填序号)．
答案：④
分段函数的定义域、值域
[例1] (1)已知函数f(x)＝，则其定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为________．值域为________．
[解析] (1)要使f(x)有意义，需x≠0，
故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1，1)．又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．
[答案] (1)D (2)(－1，1) (－1，1)
1．分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
[跟踪训练]
函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0，3] D．[0，2]∪{3}
解析：选D 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]，所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
分段函数求值问题
[例2] 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(a)＝，求a的值．
[解] (1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(a)＝，若|a|≤1，则|a－1|－2＝，
得a＝或a＝－.
因为|a|≤1，所以a的值不存在；
若|a|>1，则＝，得a＝±，符合|a|>1.
所以若f(a)＝，a的值为±.
分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验；
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)＝则f＝( )
A. B．4
C．3 D．－3
解析：选A 依题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f＝f＝1－＝.故选A.
2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：选A f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
3．函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．
解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．
故a的取值范围是(－∞，－3)．
答案：(－∞，－3)
分段函数的图像及应用
[例3] 分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．
(1)y＝
(2)y＝
[解] 各函数对应图像如图所示：
由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．
分段函数图像的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像；
(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝x＋的图像是( )
解析：选C 依题意，知f(x)＝x＋＝所以函数f(x)的图像为选项C中的图像．故选C.
2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝
根据函数解析式作出函数图像，如图所示．
由图像可以看出，函数的值域为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．函数y＝的图像的大致形状是( )
解析：选A 因为y＝＝所以函数的图像为选项A.
3．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是( )
A．{2，4，5} B．(2，5)
C．(2，4) D．(4，5)
解析：选A 因为f(x)＝所以函数f(x)的值域是{2，4，5}．
4．已知函数f(x)＝则f(f(4))＝________．
解析：f(f(4))＝f＝＝.
答案：
5．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________．
解析：由题图可知，f(x)的图像是由两条线段组成的．当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
得解得
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
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3．1.1 函数及其表示方法第一课时 函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算
微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分．大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)．
[问题] 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？
知识点一 函数的相关概念
定义 给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作，y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量x的取值的范围(即数集A)
值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
1．有同学认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
2．f(x)与f(a)(a为x定义域内的一个定值)有何区别与联系？
提示：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合．
2．函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．
1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．已知f(x)＝3x＋2，则f(2)＝________；若f(a)＝－4，则a＝________．
答案：8 －2
3．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
4．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝________．
解析：∵f(x)＝x2＋1，
∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝22＋1＝5.
答案：5
知识点二 同一个函数
如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
给出下列四组函数，其中表示同一函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝；
④f(x)＝x2，f(x－1)＝x2.
解析：①中f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同；④中，f(x)＝x2和f(x－1)＝x2由于对应关系f所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数．
答案：③
函数的概念
[例1] (1)(多选)下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有( )
A．f(x)＝x与g(x)＝
B．f(t)＝|t－1|与g(x)＝|x－1|
C．f(x)＝ 与g(x)＝－x
D．f(x)＝与g(x)＝x－1
(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数：
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示：
(1)[解析] 对于A：f(x)、g(x)定义域都为R，但f(x)＝x，g(x)＝|x|，对应关系不同，故不是同一个函数；对于B：f(t)＝|t－1|定义域为R，g(x)＝|x－1|定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，故为同一个函数；对于C：f(x)＝定义域为x≤0，且可化简为f(x)＝－x，函数g(x)＝－x定义域为x≤0，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数；对于D：f(x)＝定义域为x≠－1，g(x)＝x－1定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数．故选B、C.
[答案] BC
(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断同一个函数的方法
判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：
(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[跟踪训练]
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①中，因为在集合M中当12．下列各组函数中是同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2
解析：选B 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
函数的定义域
[例2] (链接教科书第87页例1)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝·；
(3)f(x)＝－.
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)当且仅当函数有意义，
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
[母题探究]
(变设问)在本例(2)的条件下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
解：由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[3，＋∞) B．[3，4)∪(4，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，4)
解析：选B 要使有意义，只需解得x∈[3，4)∪(4，＋∞)．故选B.
2．(2019·江苏高考)函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，即(x＋1)(x－7)≤0，解得－1≤x≤7.
故所求函数的定义域为[－1，7]．
答案：[－1，7]
求函数值和值域
[例3] (链接教科书第88页例3)(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
[解析] ∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
[答案]
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝；
④y＝2x－.
[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图像(如图(ⅰ))，可得函数的值域为[2，6)．
③(分离常数法)y＝＝＝3－.
因为≠0，所以y≠3，
所以y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图像(如图(ⅱ))，可得函数的值域为.
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．
解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1.
又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.
答案：16
2．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)因为 ≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1，1]．
所以所求函数的值域为(－1，1]．
抽象函数与复合函数
1．抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2．复合函数的定义
如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f(g(x))为f与g在D上的复合函数．其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．
3．抽象函数与复合函数定义域的求法
复合函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的范围．
(1)已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围；
(2)已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求出g(x)的取值范围(值域)，即f(x)的定义域；
(3)已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域，先由x的取值范围，求出g(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围．
[问题探究]
(1)已知函数f(x)的定义域[0，2]，则g(x)＝f＋f的定义域为________；
(2)若函数f(x＋3)的定义域为[－5，－2]，则函数F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．
提示：(1)∵f(x)的定义域是[0，2]，
且g(x)＝f＋f，
∴则
∴≤x≤，
∴g(x)的定义域为.
(2)∵函数f(x＋3)的定义域为[－5，－2]，
∴－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1，
∴函数f(x)的定义域为[－2，1]．
∴
∴－1≤x≤0，
∴函数F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1，0]．
答案：(1) (2)[－1，0]
[迁移应用]
已知函数y＝f(2x－1)的定义域为(－1，1)，则函数y＝f(3－x)的定义域为________．
解析：∵函数y＝f(2x－1)的定义域为(－1，1)，
∴－3<2x－1<1，
∴－3<3－x<1，
即2∴函数y＝f(3－x)的定义域为(2，6)．
答案：(2，6)
1．(多选)下列各图中，可能是函数图像的是( )
解析：选ACD B选项，当x>0时有两个y值与之对应，不是函数图像，B错误；故选A、C、D.
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－3，＋∞) B．[－3，－2)
C．[－3，－2)∪(－2，＋∞) D．(－2，＋∞)
解析：选C 要使函数f(x)有意义，则解得x≥－3，且x≠－2，故选C.
3．设函数f(x)＝，则当f(x)＝2时，x的取值为( )
A．－4 B．4
C．－10 D．10
解析：选C 令＝2，则x＝－10，故选C.
4．下列四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
解析：选C ∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)的定义域不同，∴A中两个函数不是同一函数；
∵f(x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不同，∴B中两个函数不是同一函数；
∵f(x)＝，g(x)＝|x|＝，且两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；
∵f(x)＝0与g(x)＝＋的定义域不同，∴D中两个函数不是同一函数．故选C.
5．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
解析：∵x＝1，2，3，4，5，
∴f(x)＝2x－3＝－1，1，3，5，7.
∴f(x)的值域为{－1，1，3，5，7}．
答案：{－1，1，3，5，7}
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