人教版七年级下册数学5.1.2垂线 教案

5.1.2　垂　线
教学目标
1.知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念.
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
重点难点
【重点】　垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
【难点】　过一点画已知直线的垂线.
教学准备
【教师准备】　相交线模型、三角尺、量角器.
【学生准备】　三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.
教学过程
导入一:
出示意大利比萨斜塔图片.
师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗 对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢 如图所示,直线AB可以看成地平面,射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题,就涉及我们要学习的垂线问题.
[设计意图]　从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题,更能唤起学生探求新知的欲望.
导入二:
(学生事先准备宽约为1 cm,长约为20 cm的两张硬纸条,图钉一个)
课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起,提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个交点
如图所示,可以看到,直线AB与CD相交,只有一个交点,可以说明直线AB,CD相交于点O.
【思考】　两条直线相交所构成的四个角能否相等
[设计意图]　用现实生活中的例子,引入相交线所成的角,为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.
导入三:
如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=90°,求其他三个角.
教师出示问题,学生独立解决问题,并在练习本上书写解答过程.
在这一过程中,教师应当关注学生是否能够独立完成问题,并且能否较规范地写出解答过程.然后学生口述过程并说明理由.
[设计意图]　通过练习,一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论证能力.
一、探究垂线的概念
思路一
　　1.垂直的概念.
　　[过渡语]　相交线所形成的四个角中有邻补角、对顶角,都会形成怎样的角呢 请同学们观察老师手中的相交线模型.
　　利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.
　　教师出示相交线模型,如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:AB⊥CD,垂足为O.
　　推理过程如下:
因为∠AOC=90°(已知),
所以AB⊥CD(垂直定义).
[设计意图]　通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.
[知识拓展]　(1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.
(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.
(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条直线互相垂直.
2.感受生活中互相垂直的实例.
【思考】　生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗
教师出示图片:(提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系)
学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.
[设计意图]　通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.
3.例题讲解(自设).
　如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于 (　　)
A.30° B.34°
C.45° D.56°
〔解析〕　∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻补角互补).故选B.
[设计意图]　角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.
思路二
1.实验探究.
教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:
问题:在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变
师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.
教师追问(1):当a与b所成角α为90°时,其余各角分别为多少度
师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角α为90°时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.
教师追问(2):这时木条a与b有何位置关系呢
师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.
[设计意图]　让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.
2.变换角度,认识垂直.
仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°,可以得出这两条直线有何位置关系呢
师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.
教师追问(1):如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢
师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.
如图所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB),读作“AB垂直于CD”.如果垂足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示.
教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直 两条线段呢
师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.
根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:因为AB⊥CD(已知),所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定义);反之,因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD.
[设计意图]　教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.
教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗
[设计意图]　学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.
二、垂线的画法和性质
　　[过渡语]　在一条直线上可以画无数条这条直线的垂线,那么经过直线外一点可以画几条这样的直线呢
利用三角尺或量角器,可以过一点画出已知直线的垂线.下面我们来学习垂线的画法.
问题:
1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条
　　2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条
　　3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条
画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:
(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;
(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点;
(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图(1)是点在直线l上,图(2)是点在直线l外.
两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.
提示:(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括两种情况:①点在直线外;②点在直线上.
活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
[设计意图]　通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.
　(补充)如图(1)所示,在三角形ABC中,∠BCA为钝角.
(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;
(2)画出过点A且与线段BC垂直的直线.
〔解析〕　利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.(1)过点C作AB的垂线,垂足在线段AB上.(2)因为∠BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.
解:(1)过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图(2)所示.
(2)过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图(2)所示.
[知识拓展]　(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.
(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上(如图所示).
(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.
课堂小结
1.垂线的概念:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.
(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.
检车反馈
1.下列说法中,正确的个数是 (　　)
①相等的角是对顶角;
②在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;
③两条直线相交有且只有一个交点;
④两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故①错误;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故②正确;两条直线相交有且只有一个交点,故③正确;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故④正确.即正确的个数是3.故选C.
2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有 (　　)
①两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;
④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;②两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°,根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.
3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.
解析:图(1)的P点在射线OA,OB之外,图(2)的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图(2)过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.
解:如图所示.
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,求∠AOE和∠DOF的度数.
解:因为OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,
所以∠AOE=90°-25°=65°,
∠DOF=90°+25°=115°.
板书设计
第1课时
1.探究垂线的概念
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
例1
2.垂线的画法和性质
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
例2
作业
一、教材作业
【必做题】
教材第5页练习第1,2题.
【选做题】
教材第8页习题5.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为 (　　)
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.两条直线相交所构成的四个角中:
①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.
其中能判定这两条直线垂直的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有 (　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°,则∠BOE等于 (　　)
A.30° B.60° C.120° D.130°
【能力提升】
5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.
6.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.
(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;
(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.
7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题.
(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;
(2)分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;
(3)画∠AOD的平分线OF,交MN于点F;
(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:∠COF=　　　　度,∠EOF=　　　　度.
【拓展探究】
8.(1)在图(1)中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;
(2)量一量图(1)中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是　　　　;
(3)同样在图(2)和图(3)中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图(2)和图(3)中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图2:　　　　,图3:　　　　;
(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角　　　　.(不要求写出理由)
【答案与解析】
1.C(解析:因为∠1=145°,所以∠2=180°-145°=35°,因为CO⊥DO,所以∠COD=90°,所以∠3=90°-∠2=90°-35°=55°.故选C.)
2.D(解析:根据垂直的定义:两直线的交角为90°时,这两条直线互相垂直进行分析即可.)
3.D(解析:因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90°,所以与AB垂直的边有4条.故选D.)
4.C(解析:因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°,所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°+30°=120°.故选C.)
5.解:因为CO⊥OE,所以∠COE=90°.因为∠COF=34°,所以∠EOF=90-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°.因为∠COF=34°,所以∠AOC=56°-34°=22°.则∠BOD=∠AOC=22°.
6.解:(1)因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°.因为OE平分∠BOC,∠BOC=90°,所以∠COE=45°,∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°.　(2)OD⊥OE.理由如下:OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°,因为∠AOE-∠COE=2∠COE+30°,且∠AOE-∠COE=90°,所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°.因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,所以OD⊥OE.
7.解:(1)如图所示的射线OE.　(2)如图所示的ON,OM,线段MN.　(3)如图所示的OF平分∠AOD,交MN于点F.　(4)110　20
8.解:(1)如图(1)所示.　(2)∠P+∠1=180°　(3)如图(2)(3)所示.　∠P=∠1　∠APB+∠1=180°　(4)相等或互补