(共34张PPT)
3．1.3 函数的奇偶性第二课时 奇偶性的应用
新课程标准解读 核心素养
1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式 数学抽象、逻辑推理
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的实际问题 逻辑推理、数学运算
通过上节学习了函数f(x)的奇偶性可知，具有奇(偶)性的函数f(x)的图像关于原点(y轴)对称．
[问题] 若已知f(x)的奇偶性和x∈[a，b]的单调性能否探究f(x)在[－b，－a]上的单调性？
知识点 函数奇偶性的综合应用
1．函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同；
(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．
2．函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D，对 x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝是f(x)的对称轴；
(2)若函数f(x)的定义域为D，对 x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心．
奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同，这种说法正确吗？
提示：不正确．
1．若函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当f(x)＝x2时，f(0)＝0，但f(x)＝x2为偶函数；若f(x)为奇函数，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的必要不充分条件．故选B.
2．下列函数中，既是奇函数，又在(0，1)上是增函数的是( )
A．y＝x(x－1) B．y＝－x
C．y＝x(x2－1) D．y＝2x－
解析：选D 选项A、B不是奇函数；选项C中y＝x(x2－1)在(0，1)上不是单调函数；选项D符合条件，故选D.
3．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
解析：由于偶函数的图像关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 020，
故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 020.
答案：2 020
利用函数的奇偶性求解析式
[例1] 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
[母题探究]
(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
[跟踪训练]
设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
函数单调性与奇偶性的综合
角度一 比较大小
[例2] 已知f(x)是偶函数，对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则下列关系式中成立的是( )
A．fB．f(－1)C．f(2)D．f(2)[解析] ∵f(x)是偶函数，∴f(2)＝f(－2)，
∵(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，
∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数，
∴f(－1)[答案] B
比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上，当在同一单调区间上时，直接利用函数的单调性比较大小；当不在同一单调区间上时，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
角度二 解不等式
[例3] (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)[解] (1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又∵f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于
∴实数m的取值范围是.
解不等式问题的求解策略
解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[跟踪训练]
1．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
解析：选A ∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
2．已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解：(1)因为f(x)＝，
所以任取x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，
所以f(－x)＝＝－＝－f(x)．
故f(x)＝为奇函数．
任取x1，x2∈(－1，1)且x1所以f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,x＋1)－eq \f(x1,x＋1)
＝eq \f(x2（x＋1）－x1（x＋1）,（x＋1）（x＋1）)＝eq \f(（x2－x1）（1－x1x2）,（x＋1）（x＋1）).
因为x2－x1>0，1－x1x2>0且分母x＋1>0，x＋1>0，
所以f(x2)>f(x1)，
故f(x)＝在(－1，1)上为增函数．
(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有即
解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.
函数图像的对称性
研究函数的奇偶性的实质就是研究函数图像的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于特殊点(原点)及特殊直线(y轴)对称的问题．那么，我们能否把这种对称性加以推广呢？
1．函数图像关于直线x＝a对称的问题
当函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)．
反之，若对函数y＝f(x)的定义域内任一x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则可证明其图像关于直线x＝a对称．
证明：设函数y＝f(x)图像上的任一点为P(x，y)，则它关于直线x＝a对称的点为P′(2a－x，y)，因为f(a－x)＝f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)．
这说明点P′(2a－x，y)也在函数y＝f(x)的图像上，即函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
由此得出：函数y＝f(x)对其定义域内任一x都有f(a－x)＝f(a＋x) 函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
同样地，可以得到如下结论：
函数y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 函数y＝f(x)的图像的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a
f(x)＝f(a－x) 直线x＝
f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝
2．函数图像关于点(a，0)对称的问题
当函数y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)．
反之，若对函数y＝f(x)定义域内任一x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则可证明其图像关于点(a，0)对称．
证明：设函数y＝f(x)图像上的任一点为P(x，y)，则它关于点(a，0)的对称点为P′(2a－x，－y)，因为f(a－x)＝－f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝－f[a－(a－x)]＝－f(x)．
这说明点P′(2a－x，－y)也在函数y＝f(x)的图像上，即函数y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．
由此得出：函数y＝f(x)对其定义域内任一x都有f(a－x)＝－f(a＋x) 函数y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．
同样地，可以得到如下结论：
函数y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 函数y＝f(x)图像的对称中心
f(a＋x)＝－f(a－x) 点(a，0)
f(x)＝－f(a－x) 点
f(a＋x)＝－f(b－x) 点
[迁移应用]
已知函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(1)B．fC．fD．f解析：选B ∵y＝f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，
∴y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．
∴f(1)＝f(3)，
又f(x)在(0，2)上为增函数，
∴f(x)在(2，4)上为减函数．
∴f1．若奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且有最大值－5 B．增函数且有最小值－5
C．减函数且有最大值－5 D．减函数且有最小值－5
解析：选A 因为f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上为增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A.
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
解析：选A ∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A.
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
解析：选C ∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(a)4．已知f(x)＝是奇函数，则f(g(－3))＝________．
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.
答案：－33
5．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
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3．1.3 函数的奇偶性第一课时 奇偶性的概念
新课程标准解读 核心素养
1.理解奇函数、偶函数的定义 数学抽象、逻辑推理
2.了解奇函数、偶函数图像的特征 直观想象、数学运算
3.掌握判断函数奇偶性的方法 逻辑推理、数学运算
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
[问题] (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点 函数的奇偶性
1．偶函数
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数；
(2)图像特征：图像关于y轴对称．
2．奇函数
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数；
(2)图像特征：图像关于原点对称．
理解函数奇偶性的注意点
(1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性；
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，即奇函数的图像过原点；
(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集．
如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？
提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①偶函数的图像一定与y轴相交．
②奇函数的图像一定通过原点．
③函数f(x)＝x2，x∈[－1，2]是偶函数．
④若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.
答案：④
2．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．
答案：1
3．下列函数是偶函数的是________(填序号)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．
答案：②
4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________(填序号)．
解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
答案：②④ ①③
5．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2 0
判断函数的奇偶性
[例1] (链接教科书第106页例1)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图像法
[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．y＝x3＋ B．y＝(x>0)
C．y＝x3＋1 D．y＝
解析：选AD A中函数的定义域为R，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；B中函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；C中函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；D中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，故选A、D.
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
奇、偶函数的图像问题
[例2] 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图像如图所示．
(1)画出在区间[－5，0]上的图像；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图像关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图像，可知它在[－5，0]上的图像，如图所示．
(2)由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
解：(1)图像如图所示，
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5)．
巧用奇、偶函数的图像求解问题
(1)依据：奇函数 图像关于原点对称，偶函数 图像关于y轴对称；
(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图像的问题．
[跟踪训练]
如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据．
解：因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
利用函数的奇偶性求参数
[例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
所以g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
[答案] (1) 0 (2)7
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
2．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
解析：因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必定经过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D.
解析：选C ∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．故选C.
2．函数f(x)＝的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
解析：选B 由得f(x)的定义域为[－，0)∪(0， ]，关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，
∴f(x)＝的图像关于原点对称．
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8
C. D．－
解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8，故选B.
4．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________．
解析：由题得f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，∴a＝－，此时f(x)＝为奇函数．
答案：－
5．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
解：f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
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