(共35张PPT)
3．2 函数与方程、不等式之间
的关系第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后继续猜……
[问题] 怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
知识点一 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即 x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
1．利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中的函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
2．若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)>0.
3．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0
提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
提示：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0是判断函数y＝f(x)在[a，b]上有零点的充分不必要条件，不能判断零点的个数．
方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[2，3]
解析：选C 令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3<0，f(2)＝8－2－3＝3>0，f(－1)＝－3<0，f(0)＝－3<0，f(3)＝21>0，结合选项知，f(1)·f(2)<0，
故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1，2]，
即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1，2]．
知识点二 二分法
用二分法求函数零点近似值的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f(a)·f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步：若f(a)f<0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)<0，将的值赋给a，回到第一步．
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
提示：不是，只有满足函数图像在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
1．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
答案：A
2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________．
①f(x)＝3x; ②f(x)＝x2＋1；
③f(x)＝x2＋2x－3; ④f(x)＝|x|.
答案：②④
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0，0.5) f(0.25)
判断函数零点个数或所在区间
[例1] (1)已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点
B．函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C．函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D．函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点
(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
[解析] (1)由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f(1)·f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．
(2)由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，
故有f(1)f(2)＜0，
根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.
[答案] (1)B (2)B
1．判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值；
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
2．判断函数存在零点的2种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数．可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数；
(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
[跟踪训练]
1．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3
f(x) 6.1 2.9 －3.5
那么下列区间一定存在函数f(x)零点的是( )
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选C 定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，由题表知f(2)·f(3)＜0，根据零点存在性定理可知函数f(x)在(2，3)内一定存在零点．
2．在下列区间上，方程x3＝3x－1无实数解的是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B 令f(x)＝x3－3x＋1，
易知f(x)在R上连续，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，
f(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，
f(0)＝0－0＋1＝1＞0，
f(1)＝1－3＋1＝－1＜0，
f(2)＝8－6＋1＝3＞0.
故f(x)在(－2，－1)，(0，1)，(1，2)上有零点，且三次函数最多3个零点，
故方程x3－3x＋1＝0在区间(－1，0)上没有零点．故选B.
根据函数零点求参数
[例2] 已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
[解] 函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．
分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示．
由图易知，当a＞1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
根据函数零点个数求参数值(范围)的方法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
[跟踪训练]
函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间内有零点，求实数a的取值范围．
解：由f(x)＝ax2－2x＋1＝0得
a＝－＋＝－＋1.
若f(x)在内有零点，则f(x)＝0在区间内有解，当－≤x＜0或0＜x≤时，可得a＝－＋≤0.故a的取值范围为(－∞，0]．
二分法
角度一 对二分法概念的理解
[例3] 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
[解析] 利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[答案] B
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．
角度二 用二分法求方程的近似解
[例4] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1)
[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
[跟踪训练]
1．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的交点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )
A．(－2.1，－1) B．(1.9，2.3)
C．(4.1，5) D．(5，6.1)
解析：选B 只有B中的区间所含零点是不变号零点．
2．求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)
解：由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.062 5
(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4
(－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8
(－2.25，－2.187 5) －2.218 75 －0.077 1
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
二分法实际应用举例
乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．
[问题探究]
1．当a＝12，b＝3时，又该如何称？
提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．
2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？
提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．
[迁移应用]
将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？
解：如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点．按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端．假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端．假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕．
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法中正确的是( )
A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：选C 对函数f(x)＝x2，f(－1)·f(1)>0，但f(0)＝0，故A错误；对于函数f(x)＝x3－x，f(－2)·f(2)<0，但f(0)＝f(－1)＝f(1)＝0，故B错误；函数f(x)＝x2满足C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误．
2．已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B 由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.又f(x)的图像为连续不断的曲线，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．
3．下列关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可以求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字
C．二分法无规律可循，无法在计算机上进行
D．二分法只用于求方程的近似解
解析：选B 根据“二分法”求函数零点的方法要求，用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后任一数字，故选B.
4．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
解析：选B 由二分法求近似值的步骤(4)，其精确度为0.001，应满足的条件为|a－b|<0.001，故选B.
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3．2 函数与方程、不等式之间
的关系函数与方程、不等式之间的关系
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图像，了解函数零点、方程解与不等式的关系 直观想象、数学抽象
2.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性 直观想象、数学运算
第一课时 函数的零点、三个“二次”间的关系
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组图示．
[问题] 哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
知识点 函数的零点
1．函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点．
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝(其中x1y＝ax2＋bx＋c的图像
y＝ax2＋bx＋c的零点 无零点
ax2＋bx＋c>0的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} R
ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1类似可得到a<0时的情形．
函数的零点是点吗？
提示：不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B.，1
C.，－1 D．－，1
解析：选B 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2．方程x2－4x－5＝0的解集为________，不等式x2－4x－5<0的解集为________．
答案：{－1，5} (－1，5)
求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4.
[解] (1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域；
(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝的零点为________．
解析：当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.
当x＞0时，x2－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．
所以函数f(x)的零点为－2和1.
答案：－2和1
2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________．
解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，
所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解，
所以解得
所以mn＝(－2)2＝4.
答案：4
二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
[例2] (链接教科书第114页例4)分别画出下列函数的图像，并指出函数值y＞0，y＝0，y＜0时自变量x的取值．
(1)y＝x2＋x－2；
(2)y＝x2＋6x＋9；
(3)y＝2x2－4x＋4.
[解] (1)作出函数的图像，如图①所示，由图可知：当y＞0时，x＜－2或x＞1；当y＝0时，x＝－2或x＝1；当y＜0时，－2＜x＜1.
(2)作出函数的图像，如图②所示，由图可知：当y＞0时，x≠－3；当y＝0时，x＝－3；当y＜0时，符合题意的x不存在．
(3)作出函数的图像，如图③所示，由图可知：当y＞0时，x∈R；当y＝0时，符合题意的x不存在；当y＜0时，符合题意的x不存在．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)中满足y＞0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．
[跟踪训练]
1．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(x)的图像为( )
解析：选B 因为不等式f(x)的解集为(－2，1)，所以a＜0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.
2．不等式组的解集为________．
解析：由
得所以0＜x≤1或2≤x＜3.
答案：{x|0＜x≤1或2≤x＜3}
用函数零点法求一元高次不等式的解集
[例3] (链接教科书第114页例5)求函数f(x)＝2(x2－3x＋2)(x＋1)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集．
[解] 令f(x)＝0，即2(x－1)(x－2)(x＋1)＝0，得函数的零点为－1，1，2.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如表所示：
x (－∞，－1) (－1，1) (1，2) (2，＋∞)
f(x) － ＋ － ＋
f(x)的示意图如图：
∴f(x)≥0的解集为[－1，1]∪[2，＋∞)，f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(1，2)．
解高次不等式的基本方法
(1)将高次不等式f(x)<0(>0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)，于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．
(2)穿针引线法：
①将不等式转化为一端为零的形式，如f(x)>0或f(x)<0等；
②对f(x)进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约因式；
③求出各因式对应方程的实数根，并在数轴上依次标出，注意点的虚实；
④若最高次项的系数为正，则自最右端上方起依次穿过各根画出曲线；若最高次项的系数为负，则自最右端下方起依次穿过各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(即奇过偶不过)；
⑤记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集．
上述步骤可以概述为：首正右上翘，首负右下掉；奇过偶不过，引线解知道．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝x(x－2)(x＋3)．
(1)求f(x)的零点并画出其图像示意图；
(2)写出f(x)<0的解集．
解：(1)令f(x)＝0，即x(x－2)(x＋3)＝0，得函数的零点是－3，0，2.
f(x)的示意图如图．
(2)函数的定义域被零点分成了四部分，每一部分函数值的符号如表所示：
x (－∞，－3) (－3，0) (0，2) (2，＋∞)
f(x) － ＋ － ＋
∴f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，2)．
一元二次方程根的分布问题
[例4] 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围．
[解] 令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出图像如图所示：
由图像得即
即m的取值范围是.
解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑：
(1)抛物线开口方向；
(2)一元二次方程根的判别式；
(3)对应区间端点函数值的符号；
(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
[跟踪训练]
设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1，求实数a的取值范围．
解：令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，
则由题意可得解得0＜a＜3－2.
故实数a的取值范围是(0，3－2)．
1．函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(1，0)与(2，0) D．1与2
解析：选D 零点是数而不是点．故选D.
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
3．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
解析：选A 函数没有零点就是函数的图像与x轴没有交点，故选A.
4．不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集是________．
解析：原不等式可化为(x＋1)(x＋3)(x－3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3.
如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过．由图可知不等式(x＋1)·(x2－9)≥0的解集为{x|－3≤x≤－1或x≥3}．
答案：{x|－3≤x≤－1或x≥3}
5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
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