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3.3 函数的应用(一)函数的应用(一)
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具 数学建模、数学运算
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学建模、数学运算
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份 2018 2019 2020
销量/万辆 8 18 30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标……
[问题] (1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
(2)你认为该目标能够实现吗？
知识点 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
求解函数应用题的程序
1．某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T(t)＝t3－3t＋60，时间的单位是小时，温度的单位是℃，t＝0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是( )
A．8 ℃ B．12 ℃
C．58 ℃ D．18 ℃
解析：选A 求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故选A.
2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的S t图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B.丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
解析：选A 由图像可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.
3．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
解析：设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
答案：60
一次函数模型的应用
[例1] (链接教科书第122页例2)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？
[解] 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800(其中250≤x≤400)．
∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6＞0，
∴y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元．
利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点
(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．
[跟踪训练]
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
解：(1)由题意得
y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则
3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x≤2 625.
画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图像(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225，1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间.
二次函数模型的应用
[例2] (链接教科书第122页例3)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
[解] (1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m.
(2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－·＋，0≤x＜m，则当x＝时，y取得最大值，ymax＝.
所以鱼群年增长量的最大值为.
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．
[跟踪训练]
将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？
解：设销售单价定为x元，则日销售量减少(x－10)×10个，那么，日销售个数就成了100－(x－10)×10＝200－10x个．
设获利为y元，则
y＝(x－8)×(200－10x)
＝10(－x2＋28x－160)
＝－10(x－14)2＋360，
当x＝14时，ymax＝360.
所以为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为14元.
对勾函数模型的应用
[例3] (链接教科书第123页例5)某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形，占地面积为126 m2的厂房，工程条件是：①建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形厂房的一面；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙总费用最省？(1)(2)两种方案哪个更好？
[解] 易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为 m．设建墙总费用为y元．
(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形厂房的一面，则修旧墙的费用为x·元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·元，
其余建新墙的费用为a元．
故总费用为y＝·a＋·a＋·a＝a＝7a(0∴y≥7a＝35a，
当且仅当＝，即x＝12时，y取得最小值，ymin＝35a.
(2)若矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，则修旧墙的费用为·14＝a(元)，建新墙的费用为a元，
故总费用为y＝a＋a＝a＋2a(x≥14)．
令f(x)＝x＋(x≥14)，设14≤x2－＝(x1－x2).
∵14≤x20，x1x2>126.
从而>0，
∴x1＋>x2＋.
∴函数f(x)＝x＋在[14，＋∞)上为增函数．
故当x＝14时，y取得最小值，ymin＝a＋2a＝35.5a.
综上可知，采用方案(1)，利用12 m的旧墙为矩形厂房的一面时，建墙总费用最省，为35a元．
形如y＝x＋(a>0)的函数模型，我们称之为“对勾函数”模型，它是一个奇函数，在(－∞，－ ]和[，＋∞)上是增函数，在[－，0)和(0， ]上是减函数，应用此函数模型求解最值时，要注意自变量的最值范围及取得最值的条件．
[跟踪训练]
某工厂拟建一座平面图为矩形且占地面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池子四周围墙建造单价为400元/米，中间两道墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所用墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解：设污水处理池的长为x米，总造价为y元，则宽为米，则有
(1)y＝2x×400＋×2×400＋×2×248＋80×200＝800x＋＋16 000≥2 ＋16 000＝2×14 400＋16 000＝44 800，
当且仅当800x＝，即x＝18时，y取得最小值．
∴当污水处理池的长为18米，宽为米时总造价最低，最低总造价为44 800元．
(2)∵0令φ(x)＝y＝800＋16 000(12.5≤x≤16)．
取任意x1，x2∈[12.5，16]，设x1>x2，
则φ(x1)－φ(x2)＝800＝<0，
∴φ(x1)<φ(x2)，故函数φ(x)在[12.5，16]上单调递减，
从而有φ(x)≥φ(16)＝45 000，
∴当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时总造价最低，最低总造价为45 000元．
分段函数模型的应用
[例4] (链接教科书第121页例1)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得：当0＜x＜8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，
当且仅当x＝时等号成立，
即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
1．现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
2．分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
[跟踪训练]
某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月付费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
解：(1)f(x)＝6x，12≤x≤30.
g(x)＝
(2)①当12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15，
当12≤x<15时，f(x)当x＝15时，f(x)＝g(x)；
当15g(x)．
②当20g(x)．
∴当12≤x<15时，选A俱乐部比较合算；
当x＝15时，两家俱乐部一样合算；
当151．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝x(x≥0) D．y＝x
解析：选A 由题意设y＝kx(k≠0)，将(36，108)代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.
2．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话用时550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：选B y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数，x>3)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.
3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
解析：选A 结合题图，可得＝，得y＝24－，矩形铁片的面积S＝xy＝x＝－＋24x，所以当x＝－＝15时，S最大，此时y＝24－×15＝12，故选A.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析：选C 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故该公司拟录用25人．
5．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话2 min，需付电话费________元；通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3，电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式是________．
解析：由题图知，通话2 min，需付电话费3.6元，通话5 min，需付电话费6元．
当t≥3时，设y＝kt＋b(k≠0)，则有
解得∴y＝1.2t(t≥3)．
答案：3.6 6 y＝1.2 t(t≥3)
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