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3．4 数学建模活动：决定苹果的
最佳出售时间点数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
新课程标准解读 核心素养
1.会对实际问题进行数学抽象，会用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题 数学建模、数学抽象
2.数学建模活动的基本过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题 数学建模
一、“决定苹果的最佳出售时间点”课题探究活动步骤分析
1．实际问题情境
例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
2．问题提出
对于上述实际问题可以提出很多问题，例如：(1)为什么会发生这些现象？(2)什么情况下不会发生这样的现象？(3)能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？(4)哪种保鲜存储的成本最低？类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，还可能涉及物理、化学、生物、科学技术、环境等问题，但数学建模所能解决的是关于量的变化问题，所以在上述诸多问题中分离出可以用数学符号和语言进行表述且涉及到量的增大与减少问题即是“决定苹果的最佳出售时间点”这一探究课题．
3．收集数据
规定所用符号
(1)设市面上苹果的总量为x万吨，此时苹果的单价为y元；
(2)设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储费用为C元；
(3)苹果上市量x(万吨)随时间t(天)的变化而变化．
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
注明：收集的数据组数越多，越接近实际问题．
4．数据分析
(1)由x与y的市场规律可知，y可看作x的函数，用y＝f(x)表示，此函数为减函数；
(2)C与t的关系也呈现函数关系，用C＝g(x)表示，且为增函数；
(3)x与t的关系也呈现函数关系，用x＝h(x)表示，且为减函数．
5．建立数学模型
用z表示单位数量的苹果所获得的收益，z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t)的最大值问题．
由收集的数据可设f(x)和g(x)都暂设为一次函数，f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；
假设h(t)为二次函数，h(t)＝at2＋bt＋c.
则z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，
其中k1<0，k2>0，a≠0.
6．求解模型
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f(x)＝－0.5x＋5，
C＝g(t)＝0.01t＋0.1，
x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1.
注意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1.也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．
当然实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差．因为我们假设f(x)和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化，如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化我们最终建立的模型．
7．检验模型
(1)从直观上看拟合效果：用收集的其它数据进行检验；
(2)从理论用某些数据(相关系数等)进行评价．
8．解决实际问题
若拟合度较高，可采用此模型对实际情境中的t与y之间的关系进行预测，为下一步决策提供依据，否则重返回第4步数据分析．由样本数据做出散点图，利用散点图提供的信息重新建立较为相近的函数模型．
数学模型活动的一般步骤：
数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程．具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论．数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容．
二、数学建模实操练习(结果不唯一)
1．提出问题
在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？
2．建立模型
这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素．而不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，就需要作出假设．例如，虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此这次建模就只考虑小轿车的情况，它们的长度差距不大，可以假设车辆长度都相同．
经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：
(1)通过路口的车辆长度都相等；
(2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
(3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
(4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
(5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞．
将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理．
另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶．
资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h≈11.1 m/s.
延时时间记作T，经观察，取T＝1 s较为合理．用tn表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn＝nT.用t表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是
t－tn＝＝5.55(s)．
为了简化，这里t－tn的值取5.5 s
用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)＝－(n－1)(l＋d)．这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)>0的n的最大值，其中
Sn(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn（0），0≤t3．求解模型
代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如下表．
汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8
位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1
由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过．因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车．
4．检验结果
到十字路口实地调查，对结论做检验．若没有明显误差，就可以使用这个模型．否则，再修改假设，重新建模．
三、阅读学习
走近数学建模
实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例．
实际问题
普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)．普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图(1)．
岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题(Seven Bridges of K nigsberg)．
实际问题的数学表述
七桥问题引起了数学家欧拉(Léonard Euler，1707—1783)的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？
首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性．
经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图(2)的图形．实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型．
数学问题的解决
欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点．显然“经过点”是偶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点．
一笔画定理 一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：
(1)图形是连在一起的，即是连通图形；
(2)图形中的奇点个数为0或2.
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