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1．1.1 集合及其表示方法第二课时 集合的表示及区间
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
[问题] 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；
(2)元素不重复，满足元素的互异性；
(3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
答案：(1)× (2)×
2．不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为________．
答案：{1，2，3，4}
知识点二 描述法
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
提示：A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．
由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1＜x＜5}．
答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1＜x＜5}
知识点三 区间的概念及表示
1．区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a＜b.
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
2．无穷的概念及无穷区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
用区间表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1＜x≤3}：________；
(3){x|x＞2}：________；
(4){x|x≤－2}：________．
答案：(1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞) (4)(－∞，－2]
用列举法表示集合
[例1] (链接教科书第9页练习A组3题)用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，
故交点组成的集合是{(0，1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
[注意] 用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
[跟踪训练]
1．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4)．
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图像的交点组成的集合C.
解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以C＝{(1，4)}．
用描述法表示集合
[例2] (链接教科书第9页练习A组4题)用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
1．描述法表示集合的2个步骤
2．选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
[跟踪训练]
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
解析：选D 本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合．故选D.
2．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；
(2)(1，2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
解析：(1)易知A＝{0，1}，故1∈A，－1 A；
(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立，故填∈.
答案：(1)∈ (2)∈
3．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解：(1)列举法：P＝{0，2，4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0，0)，(2，0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
区间及其表示
[例3] (链接教科书第9页练习A组5题)将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x＜2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x＜5}．
[解] (1){x|x＜2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x＜5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：
用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错；
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
[跟踪训练]
1．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．[2，＋∞] B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
解析：选B 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．
2．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围为________．
解析：由区间的定义可知3a－1＞a，即a＞.
答案：
集合与方程的综合问题
[例4] (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1 B．2
C．0 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
[解析] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以－a－＝0，解得a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝>0，由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，所以＝，
故集合的所有元素的积为×9＝.
[答案] (1)D (2)
[母题探究]
(变条件)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围．
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0.所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为.
集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根；
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数(含参数)的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟踪训练]
已知集合A＝{x|mx2－3x＋2＝0}．
(1)若A是单元素集，求m的值及集合A；
(2)求集合P＝{m|m使得A至少含有一个元素}．
解：(1)当m＝0时，方程－3x＋2＝0，有一个解x＝，符合题意，故A＝；
当m≠0，A只有一个元素，则二次方程mx2－3x＋2＝0只有一个根，
所以Δ＝0，得m＝，得A＝.
(2)A至少含有一个元素，则Δ≥0，有.
以实际问题为背景的集合问题
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验．每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2014年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2020年的入学顺位可以参考2019年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
[问题探究]
1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
2．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？
提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口．
[迁移应用]
给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合．判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明．
解：因为4∈A，4＋4＝8 A，所以A不是闭集合；
任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，
则a＋b＝3m＋3n＝3(m＋n)，且m＋n∈Z，
所以a＋b∈B，
同理，a－b∈B，故B为闭集合．
1．下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1，2}与{2，1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以 {x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．
2．区间(－3，2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}
解析：选C 由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}，故选C.
3．集合用描述法可表示为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 通过观察，可知3，，，，…中的第n项的分母为n，分子为2n＋1，所以集合用描述法可表示为.故选D.
4．集合{x|x－2＜3，x∈N*}可用列举法表示为________．
解析：∵x－2＜3，∴x＜5.又x∈N*，
∴x＝1，2，3，4.
故该集合可用列举法表示为{1，2，3，4}．
答案：{1，2，3，4}
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1．1.1 集合及其表示方法
概念「我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的
各种各样的事物或一些抽象的符
把一些能够确
集合概念不同的对象汇集在一表
组
成集
表示常用英文小写字母
或成员集合及其表示方法
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 数学抽象
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 数学抽象、直观想象
3.在具体情景中，了解空集的含义 数学抽象
第一课时 集合的含义
9月1日下午，学校通知：全体高一学生3点钟开始在班级进行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书．
[问题] (1)这个通知的对象有哪些？
(2)这些对象能构成一个集合吗？
知识点一 元素与集合的概念
1．集合与元素
2．集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
3．集合元素的特性
1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．
3．某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
提示：某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
2．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1.
答案：2
知识点二 元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于A
不属于 a不是集合A中的元素 a A a不属于A
1．元素与集合之间有第三种关系吗？
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
2．符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
提示：∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．
已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．
解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，
－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
答案：0或－1
知识点三 空集、常用数集、集合的分类
1．空集
(1)定义：不含任何元素的集合；
(2)符号： ．
2．常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
3．集合的分类
(1)集合
(2)空集是有限集．
N与N*的区别
N中的元素是从0开始非负整数，N*中的元素是从1开始的正整数．
1．下列元素与集合的关系判断正确的是_______(填序号)．
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤ R.
解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π Q， Q，－1∈Z，∈R.
答案：①④
2．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)．
①由小于8的正奇数组成的集合；
②由大于5且小于20的实数组成的集合；
③由小于0的自然数组成的集合．
解析：①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．
②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．
答案：①③ ②
集合的相关概念
[例1] 2021年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能组成一个集合的是哪些？并说明你的理由．
(1)你所在班级中全体同学；
(2)班级中比较高的同学；
(3)班级中身高超过178 cm的同学；
(4)班级中比较胖的同学；
(5)班级中体重超过75 kg的同学；
(6)学习成绩比较好的同学；
(7)总分前五名的同学．
[解] (1)班级中全体同学是确定的，所以可以组成一个集合．
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合．
(3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以组成一个集合．
(4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合．
(5)因为“体重超过75 kg”是确定的，可以组成一个集合．
(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个集合．
(7)因为“总分前五名”是确定的，可以组成一个集合．
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[跟踪训练]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．中国的所有直辖市可以组成一个集合
B．高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合
C．正偶数的全体可以组成一个集合
D．大于2 015且小于2 020的所有整数不能组成集合
解析：选AC B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以B错误；D中的所有整数能组成集合，所以D错误．
2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．
据此，下列对象能组成一个集合的是哪些？并说明你的理由．
(1)2020～2021赛季，CBA的所有球队；
(2)CBA中比较著名的队员；
(3)CBA中得分前五位的球员；
(4)CBA中比较高的球员．
解：(1)CBA的所有球队是确定的，所以可以组成一个集合．
(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能组成一个集合．
(3)“得分前五位”是确定的，可以组成一个集合．
(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能组成一个集合.
元素与集合的关系
[例2] (1)(多选)下列关系中，正确的是( )
A.∈R B. Q
C．|－3|∈N D．0∈
(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，空集中没有元素．因此，A、B、C正确，D错误．
(2)由题意可得：3－x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.
[答案] (1)ABC (2)2，1，0
1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
[跟踪训练]
1．用∈， 填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A；－5________A.
解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.所以－5 A.
答案：∈
2．已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a B，则a的值为________．
解析：∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
答案：3
集合中元素的特性及应用
[例3] (链接教科书第9页练习B组4题)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案] －1
[母题探究]
1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.
2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
[跟踪训练]
1．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
2．已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0，或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2．(多选)下列给出的对象构成的集合是有限集的是( )
A．方程x2－6x－16＝0的根
B．大于0且小于5的实数
C．小于22的质数
D．倒数等于它本身的实数
解析：选ACD 方程x2－6x－16＝0的根为－2，8；大于0且小于5的实数有无穷多个；小于22的质数为2，3，5，7，11，13，17，19；倒数等于它本身的实数为±1，故它们构成的集合均为有限集．故选A、C、D.
3．(多选)下列集合是空集的是( )
A．集合A中元素是x＞8且x＜5的实数
B．集合B中的元素是方程x2＋1＝0在R内的根
C．集合C中只有一个元素0
D．集合D中有0个元素
解析：选ABD C中有1个元素，其它集合不含有元素．
4．用符号“∈”和“ ”填空．
(1)设集合A是正整数的集合，则0________A，________A，(－1)0________A；
(2)设集合C是由满足x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x组成的，则3________C，5________C；
(3)设集合D是由满足y＝x2的有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1，1)________D；
(4)设集合M由可表示为a＋b(a∈Z，b∈Z)的实数构成，则0________M，________M，________M.
解析：(1)0不是正整数，不是正整数，(－1)0＝1是正整数；(2)若n2＋1＝3，则n2＝2，因为n是正整数，所以n2＋1的值不可能是3，故3 C，当n＝2时，x＝5，所以5∈C；(3)－1不是有序实数对，所以－1 D，(－1，1)满足y＝x2，故(－1，1)∈D；(4)因为0＝0＋0×，所以0∈M，因为＝1＋1×，所以∈M，因为＝＋1×， Z，所以 M.
答案：(1) ∈ (2) ∈ (3) ∈ (4)∈ ∈
5．不等式x－a≥0的解组成的集合为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
解析：因为3 A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
答案：a>3
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