(共38张PPT)
1．1.2 集合的基本关系集合的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义 数学抽象
2.能识别给定集合的子集 数学抽象
3.了解空集与其他集合的关系 数学抽象
4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
所有中国公民构成的集合为B，北京市的中国公民构成的集合为A.
[问题] (1)集合A中元素与集合B中元素存在怎样的关系？
(2)集合A与集合B有什么关系？
知识点一 子集
1．概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．
2．记法：A B(或B A)．
3．读法：A包含于B(或“B包含A”)．
4．如果A不是B的子集，记作AB(或B A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．
5．性质：A A； A.
1．任意两个集合之间是否有包含关系？
提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系．
2．符号“∈”与“ ”有什么区别？
提示：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1 N.
(2)“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1，2，3} {3，2，1}．
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“ ”的两边均为集合．
1．(多选)下列表述正确的是( )
A．{1} {1，2} B．{0} {1，2}
C．{1，2} {2} D．{1，2} {2，1}
解析：选ACD 由子集的概念知A、C、D表述正确；
因为0 {1，2}，所以{0} {1，2}．
2．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则( )
A．P∈Q B．P Q
C．Q P D．Q∈P
解析：选C 集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P.
知识点二 真子集
1．真子集的有关概念与性质
(1)概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集；
(2)记法：A?B(或B?A)；
(3)读法：A真包含于B(或“B真包含A”)；
(4)性质：对于集合A，B，C，①如果A B，B?C，则A?C；②如果A?B，B?C，则A?C.
2．维恩图(Venn)
(1)概念：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图通常称为维恩图(Venn)；
(2)维恩图的优点及其表示
①优点：形象直观；
②表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
1．任何集合A是其本身的真子集吗？
提示：任何集合A不可能是其本身的真子集．
2．空集是任何集合的真子集吗？
提示：空集是任何非空集合的真子集．
3．你认为“ ”和“?”有什么区别和联系？
提示：(1)“ ”和“?”均表示集合与集合之间的关系．
(2)“ ”表示子集关系，“?”表示真子集关系．
(3)若A?B，则A B.但是，若A B，则A?B不一定成立．
1．若集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则集合A与B的最准确的关系是________．
答案：A?B
2．若A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，试用维恩图表示它们之间的关系．
解：根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画维恩图．如图所示．
知识点三 集合的相等与子集的关系
性质：由集合相等的定义可知：如果A B且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B且B A．
1．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中，具有相等关系的是________．
答案：M和N
2．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．
答案：－1
集合间关系的判断
[例1] (链接教科书第12页例3)指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
(5)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A?B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
(5)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
1．判断集合间关系的常用方法
2．已知集合相等求参数的方法
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性．
[跟踪训练]
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是( )
解析：选B 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其对应的维恩图如选项B所示．
2．指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
(3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}；
(4)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}．
解：(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B?A.
(2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴B?A.
(3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B.
(4)法一：由xy＞0得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B.
法二：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B.
确定有限集合的子集、真子集及其个数
[例2] (链接教科书第11页例1)(1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}的集合M有________个．
[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为 ，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.
(2)由题意可得{1，2}?M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案] (1)B (2)7
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n个；
(2)A的真子集的个数为2n－1个；
(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个．
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.
由集合间的关系求参数值(范围)
角度一 由集合相等求参数
[例3] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
[解] ∵A＝B，∴或
当时，消去b得ac2＋a－2ac＝0.
若a＝0，则a＝ac＝ac2＝0，不满足集合中元素的互异性，
∴a≠0，∴c2－2c＋1＝0，∴c＝1，此时a＝ac＝ac2＝a，不满足集合中元素的互异性，舍去．
当时，消去b得2ac2－ac－a＝0.
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0.
而c≠1，∴c＝－.
将c＝－代入得b＝－a.
从而可得A＝，B＝，满足题意．
故c的值为－.
由集合相等求参数的方法
解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思想方法呈现所有可能的对应情况即可．另外，需注意检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性．
角度二 已知包含关系求参数
[例4] (链接教科书第11页例2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
[解] ①当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是(－∞，3]．
[母题探究]
1．(变条件)在本例条件下，若B A，求实数m的取值范围．
解：当B＝ 时，m＋1>2m－1，即m<2.
当B≠ 时，解得
即2≤m≤3.
综上可知，m的取值范围为(－∞，3]．
2．(变条件)在本例条件下，若A?B，求实数m的取值范围．
解：∵A?B.
∴或
即或
∴m∈ ，即不存在m使A?B.
应用集合关系求参数的4个步骤
[跟踪训练]
1．设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a－b＝________．
解析：因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以＝{0，－1，b}．由已知{1，a＋b，a}＝，得{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.
答案：－2
2．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的值．
解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为B?A，
所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ .
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝.
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－.
当B＝ 时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.
1．(多选)下列命题中正确的是( )
A．空集也有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B A，那么，若x A，则x B
解析：选AD 空集有唯一一个子集，就是其本身，故A正确，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( )
A．A B B．A B
C．A?B D．A?B
解析：选D 集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B?A.
3．已知集合A {0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
解析：集合{0，1，2}的子集为： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．
答案：6
4．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B A，则a的值为________．
解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝.
当a＝－1时，
A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合题意；
当a＝时，A＝，B＝，符合题意．
所以a的值为－1或.
答案：－1或
5．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
答案：m≥3
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