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1.1.3 集合的基本运算第二课时 补集及综合应用
为了进一步提高同学们的伙食水平，丰富菜品花样， 学校食堂的老师们做了大量的工作，这是他们的周一、周二工作计划的一部分：
计划前两天买进的品种构成集合U 第一天买进的品种构成集合A 第一天未买进的计划品种构成集合B
冬瓜、黄瓜、鲫鱼、茄子、虾、猪肉、芹菜、土豆、毛豆 黄瓜、鲫鱼、茄子、猪肉、芹菜、土豆 冬瓜、虾、毛豆
[问题] (1)集合A与集合U是什么关系？
(2)集合B与集合A是什么关系？
知识点一 全集
1．定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．
2．记法：全集通常记作．
“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集．
知识点二 补集
1．补集的概念
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作 UA，读作“A在U中的补集”
符号语言
图形语言
2．补集的性质
(1)A∪( UA)＝；
(2)A∩( UA)＝；
(3) UU＝， U ＝U， U( UA)＝；
(4)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)；
(5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
1．下列说法正确的是________．(填序号)
①全集一定包含任何元素；
②同一个集合在不同的全集中补集不同；
③不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
答案：②③
2．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则 UM＝____________．
解析：因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以 UM＝{2，4，6}．
答案：{2，4，6}
3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA＝________．
解析：借助数轴易得 UA＝{x∈R|0
答案：{x|04．已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝________．
解析：∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，
∴A＝{0，1}．
答案：{0，1}
5．设全集为U，M＝{0，2，4}， UM＝{6}，则U＝________．
解析：∵M＝{0，2，4}， UM＝{6}，∴U＝{0，2，4，6}．
答案：{0，2，4，6}
补集的简单运算
[例1] (链接教科书第18页例4)(1)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝( )
A．U B．{1，3，5}
C．{3，5，6} D．{2，4，6}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则 UA＝________．
[解析] (1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知 UM＝{3，5，6}．
(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知 UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案] (1)C (2){x|－2≤x≤2}
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[跟踪训练]
1．设全集U＝R，集合A＝{x|2解析：用数轴表示集合A为图中阴影部分，
∴ UA＝{x|x≤2，或x>5}．
答案：{x|x≤2，或x>5}
2．设全集U＝{x|－5≤x<－2，或2解析：法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，∴U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，
∴ UA＝{－5，－4，3，4}， UB＝{－5，－4，5}．
法二：可用维恩图表示．
则 UA＝{－5，－4，3，4}， UB＝{－5，－4，5}．
答案：{－5，－4，3，4} {－5，－4，5}
交集、并集、补集的综合运算
[例2] (1)(2020·天津高考)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩( UB)＝( )
A．{－3，3} B．{0，2}
C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}
(2)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝( )
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
[解析] (1)法一：由题知 UB＝{－2，－1，1}，所以A∩( UB)＝{－1，1}，故选C.
法二：易知A∩( UB)中的元素不在集合B中，则排除选项A、B、D，故选C.
(2)由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
[答案] (1)C (2)A
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[跟踪训练]
1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩ UB等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．
解析：选A ∵U＝{1，2，3，4}， U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，
∴{3} A {1，2，3}．
又 UB＝{3，4}，
∴A∩ UB＝{3}．
2．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求( UA)∪( UB)；
(3)写出( UA)∪( UB)的所有子集．
解：(1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5，2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得 UA＝{－5}， UB＝.
所以( UA)∪( UB)＝.
(3)( UA)∪( UB)的所有子集即为集合的所有子集： ，，{－5}，.
与补集相关的参数值的求解
[例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是[2，＋∞)．
[母题探究]
1．(变条件)本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B≠ ，
所以－m>－2，解得m<2.
故m的取值范围为(－∞，2)．
2．(变条件)本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2，或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
故m的取值范围为[2，＋∞)．
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解．
[跟踪训练]
已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B UA，求实数a的取值范围．
解：由题意得 UA＝{x|x≥－1}．
①若B＝ ，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B UA；
②若B≠ ，则由B UA，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－≤a＜3.
综上，可得实数a的取值范围是.
集合运算中的新定义问题
我们知道，如果集合A S，那么S的子集A相对于全集S的补集为 SA，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．
[问题探究]
1．若S是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求S－A及 SA.
提示：S－A＝{x|x∈S，且x A}＝ SA＝{高一(1)班全体男同学}．
2．在下列各图中用阴影表示集合A－B.
提示：A中去掉B的部分，得到下列图．
3．如果A－B＝ ，那么集合A与B之间具有怎样的关系？
提示：A－B＝ 说明集合{x|x∈A，且x B}中无元素，即A中的元素都在B中，所以A B.
4．现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可用下列图中阴影部分表示的为( )
提示：选A ∵A－B＝{x|x∈A，且x B}，即A－B是集合A中的元素去掉A∩B中的元素，记作集合D.如图所示：
∴集合C－(A－B)就是C中的元素去掉集合C∩D中的元素．故选A.
[迁移应用]
由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(M，N)，下列选项中，可能成立的是________．
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素．
解析：若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；
若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；
若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数集矛盾，故③不可能成立．
答案：①②④
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝( )
A．U B．{1，3，5}
C．{3，5，6} D．{2，4，6}
解析：选C 由于U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，从而 UM＝{3，5，6}．
2．如图，阴影部分所表示的集合为( )
A．A∩( UB) B．B∩( UA)
C．A∪( UB) D．B∪( UA)
解析：选B 图中的阴影部分表示的是集合B与A的补集的交集，即为B∩( UA)，故选B.
3．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则 U(A∪B)＝( )
A．{6，8} B．{5，7}
C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}
解析：选A A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，则 U(A∪B)＝{6，8}，选A.
4．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是( )
A．A∪B B．A∩B
C． U(A∩B) D． U(A∪B)
解析：选D ∵A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，
∴A∪B＝{1，3，4，5，6}，
又U＝{1，2，3，4，5，6，7}，
∴ U(A∪B)＝{2，7}．
5．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则( UA)∪B＝__________．
解析：因为 UA＝{x|x>2，或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以( UA)∪B＝{x|x<0，或x≥1}．
答案：{x|x<0，或x≥1}
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1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
4.能使用维恩图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 直观想象、数学运算
第一课时 交集与并集
某班级有两个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、柳，他们组成的集合用A表示；数学群成员有：梅、竹、松、枫、杨、桦，他们组成的集合用B表示，若S表示两个群都加入的同学组成的集合．
[问题] 集合S与集合A，B有怎样的关系？
知识点一 交集
1．交集的相关概念
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝；
(3)A∩ ＝ ；(4)A B A∩B＝．
1．当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？
提示：有，交集为空集．
2．若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？
提示：A B.
3．若A∩B＝A∩C，则一定有B＝C吗？
提示：不一定，如A＝{0}，B＝{1，2}，
C＝{1，2，3}，满足A∩B＝A∩C＝ ，但是B≠C.
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
答案：{－1，0}
2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}；C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．
答案：{x|2＜x＜4}
知识点二 并集
1．并集的相关概念
2．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝；
(3)A∪ ＝；(4)A B A∪B＝．
1．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．
2．若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？
提示：B A.
1．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )
A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}
C．{－1，0，2} D．{0，1}
解析：选B M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}．
2．已知A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，则A∪B＝________．
答案：R
交集的运算
[例1] (链接教科书第15页例1)(1)设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝( )
A．{1，3，5，7} B．{2，3}
C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
(2)(2020·浙江高考)已知集合P＝{x|1A．{x|1C．{x|3≤x<4} D．{x|1[解析] (1)因为集合A，B的公共元素为：2，3，5，
故A∩B＝{2，3，5}．故选C.
(2)因为P＝{x|1[答案] (1)C (2)B
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
[跟踪训练]
1．(2020·北京高考)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0A．{－1，0，1} B．{0，1}
C．{－1，1，2} D．{1，2}
解析：选D 由题意得，A∩B＝{1，2}，故选D.
2．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝( )
A． B．{－3，－2，2，3}
C．{－2，0，2} D．{－2，2}
解析：选D 法一：因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－31，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}，故选D.
法二：A∩B＝{x|1<|x|<3，x∈Z}＝{x|－33．若集合A＝{x|2x＋1>0}，B＝(－1，3)，则A∩B＝________．
解析：∵A＝，B＝(－1，3)，
画出数轴如图所示，
∴A∩B＝.
即A∩B＝.
答案：
并集的运算
[例2] (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0，2}
C．{－2，0} D．{－2，0，2}
(2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1[解析] (1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
(2)∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2[答案] (1)D (2)C
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{0，2，4}，B＝{0，1，2，3，5}，则A∪B＝________________．
解析：A∪B＝{0，2，4}∪{0，1，2，3，5}＝{0，1，2，3，4，5}．
答案：{0，1，2，3，4，5}
2．若集合A＝(－∞，－1)，B＝(－2，2)，则A∪B＝____________．
解析：画出数轴如图所示，故A∪B＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
3．已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是________．
解析：依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．
答案：4
由集合的并集、交集求参数
[例3] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
(2)因为A∪B＝R，由数轴可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
[答案] (1)B (2)(－∞，1]
求集合运算中参数的思路
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系；
(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集；
(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围．解题时，需注意两点：
①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性．在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件；
②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性．
[跟踪训练]
1．设集合A＝(－1，a)，B＝(1，3)且A∪B＝(－1，3)，求a的取值范围．
解：如图所示，
由A∪B＝(－1，3)知，1故a的取值范围为(1，3]．
2．已知集合A＝(－3，4]，集合B＝[k＋1，2k－1]．
(1)若A∪B＝A，求k的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求k的取值范围．
解：(1)∵A∪B＝A，∴B A，
①当B＝ 时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠ 时，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为.
(2)∵A∩B＝A，∴A B.
又A＝{x|－3由数轴可知
解得k∈ ，即当A∩B＝A时，k不存在．
用维恩图解决实际问题
[例4] 全国许多省市正在酝酿对生产和生活用水制度进行改革，现有某市负责机关对两个重要举措(分别记为A，B)举行听证会，听证会有150人参加，得到如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，赞成B的比赞成A的多9人，对A，B都不赞成的比对A，B都赞成的三分之一多1人，试问对A，B都赞成的和都不赞成的各有多少人？
[解] 如图所示，赞成A的有150×＝90(人)，赞成B的有90＋9＝99(人)，记150人组成的集合为U，赞成A的人组成的集合为M，赞成B的人组成的集合为N，设对A，B都赞成的人数为x，则对A，B都不赞成的人数为x＋1，赞成A而不赞成B的人数为90－x，赞成B而不赞成A的人数为99－x，由题意得(90－x)＋(99－x)＋x＋＝150，解得x＝60，∴x＋1＝21，即对A，B都赞成的有60人，对A，B都不赞成的有21人．
用维恩图解决实际问题的步骤
(1)利用维恩图将集合间的关系直观地表示出来，即根据维恩图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言；
(2)通过解方程和限制条件的运用解决问题．
[跟踪训练]
为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
解：如图，不妨设参加计算的人数为集合A，参加测量的为集合B，参加绘图的为集合C.设3项工作都参加的人数为x，则各个集合之间的关系得到清晰表达．
测绘队总人数为(10－x)＋(8－x)＋(6－x)＋4＋6＋8＋x＝42－2x，
因为0即测绘队人数最少为30人，此时x＝6.
故这个测绘队至少有30人．
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝( )
A．{－4，1} B．{1，5}
C．{3，5} D．{1，3}
解析：选D 法一：由x2－3x－4<0，得－1法二：因为(－4)2－3×(－4)－4>0，所以－4 A，故排除A；又12－3×1－4<0，所以1∈A，则1∈(A∩B)，故排除C；又32－3×3－4<0，所以3∈A，则3∈(A∩B)，故排除B.故选D.
2．若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则A∪B＝( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{1，2} D．{0}
解析：选A 根据并集的定义可得A∪B＝{0，1，2，3}∪{1，2，4}＝{0，1，2，3，4}．
3．(多选)若集合M N，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪N＝N
C．M (M∩N) D．(M∪N) N
解析：选ABCD 由于M N，即M是N的子集，故M∩N＝M，M∪N＝N，从而M (M∩N)，(M∪N) N，故选A、B、C、D.
4．若集合A＝{x|－1解析：借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x<5}．
答案：R {x|－1＜x≤1，或4≤x<5}
5．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，
则解得－3≤a<－1.
答案：{a|－3≤a<－1}
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