(共36张PPT)
1．2.1 命题与量词命题与量词 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗．
[问题] (1)在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？
(2)疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？
知识点一 命题
1．命题：可供真假判断的陈述语句．
2．真命题：判断为真的语句．
3．假命题：判断为假的语句．
1．下列语句是命题的有________(填序号)．
①是有理数．
②3x2≤5.
③梯形是不是平面图形呢？
④一个数的算术平方根一定是负数．
解析：①“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
②因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
③“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
④“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
答案：①④
2．下列命题中，________是真命题，________是假命题．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1＜0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个正整数不是素数就是合数；
(5)若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数；
(6)若x∈N，则x2＋4x＋7＞0.
解析：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)·(x－7)＝0.
(4)是假命题．由于整数1既不是素数，也不是合数，所以它是假命题．
(5)是假命题.＋(－)和·(－)都是有理数，但，－都是无理数，所以它是假命题．
(6)是真命题，因为当x∈N时，x2＋4x＋7＞0恒成立，所以是真命题．
答案：(1)(3)(6) (2)(4)(5)
知识点二 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题 含有存在量词的命题叫做存在量词命题
命题形式 “对集合M中任意一个元素x，有r(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，r(x)” “存在集合M中的一个元素x，使 s(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，s(x)”
1．下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．
①每个四边形的内角和都是360°；
②任何实数都有算术平方根；
③ x∈Z，2x＋1是整数；
④存在一个x∈R，使2x＋1＝3.
答案：①②③
2．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
3．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
知识点三 全称量词命题与存在量词命题的否定
q 綈q 结论
全称量词命题 x∈M，γ(x) x∈M，綈γ(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，s(x) x∈M，綈s(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
1．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
答案： x∈R，x3－x2＋1>0
2．若命题p： x>0，x2－3x＋2>0，则命题p的否定为________．
答案： x>0，x2－3x＋2≤0
全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[注意] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
1．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.
2．用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题：
(1)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除．
解：(1) x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
(2) a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3) x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
全称量词命题、存在量词命题的真假判断
[例2] (链接教科书第25页例)判断下列命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
[解] (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可；
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟踪训练]
1．下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A． x∈R，x3>0 B． x∈Z，x2>2
C． x∈N，x2∈N D． x，y∈R，x2＋y2<0
解析：选B 对于A， x∈R，x3>0是全称量词命题，不合题意；
对于B， x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C， x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D， x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.
2．下列命题中正确的是( )
A． x∈{－1，1}，2x＋1>0 B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，－x－1＜0 D． x∈N，|x|≤0
解析：选D 对于A，x＝－1时，不合题意；
对于B，x＝±，B错误；
对于C，比如x＝－1时，－1＞0，错误，故选D.
全称量词命题与存在量词命题的否定
[例3] (链接教科书第28页例1)(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
(2)命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
[解析] (1)利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”．
[答案] (1)C (2)D
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论；
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[跟踪训练]
写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.
逻辑推理的应用
[例4] 甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知两人获奖，则获奖的是( )
A．甲和丁 B．甲和丙
C．乙和丙 D．乙和丁
[解析] 乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.
[答案] D
求解逻辑判断问题的2种途径
求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：
(1)根据条件直接进行推理判断；
(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．
[跟踪训练]
(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
解析：选A 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.
1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角全是锐角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A是全称量词命题．
B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
因为＋(－)＝0，所以C为假命题．
对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A． x>1，x2－2x－3＝0
B．若2x为偶数，则 x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
解析：选C 对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.
3．命题p： x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )
A． x∈N，x3≤x2 B． x∈N，x3>x2
C． x∈N，x3解析：选D 命题p： x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；
所以綈p：“ x∈N，x3≤x2”．故选D.
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A． x∈R，|x|>0 B． x∈R，|x|>0
C． x∈R，|x|≤0 D． x∈R，|x|≤0
解析：选C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，然后再否定结论，所以选C.
5．下列结论正确的是________(填序号)．
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“ x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；
③若p： x∈R，x2＋4x＋4＝0，则綈p： x∈R，x2＋4x＋4≠0.
解析：①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
②命题“ x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；
③若p： x∈R，x2＋4x＋4＝0，则綈p： x∈R，x2＋4x＋4≠0，故③正确．
答案：②③
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8(共30张PPT)
1．2.1 命题与量词充分条件、必要条件
新课程标准解读 核心素养
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．
[问题] (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
知识点一 充分条件与必要条件
命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题
推出关系 pq p q
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
1．下列结论正确的是________(填序号)．
①“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件；
②若p是q的充分条件，则p是唯一的；
③若q不是p的必要条件，则“p / q”成立；
④“x>1”是“x>0”的充分条件．
答案：③④
2．设集合M＝{x|0答案：必要
3．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)
答案：充分
知识点二 充要条件
如果p q，且q p，就记作p q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．设p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0，则p是q的________条件．
答案：充要
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
答案：充要
充分、必要、充要条件的判断
[例1] (1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)“x<2”是“<0”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
(2)由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.
(3)由<0得x－2<0得x<2，
即“x<2”是“<0”的充要条件，故选A.
[答案] (1)A (2)B (3)A
充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法：若p q，q / p，则p是q的充分不必要条件；
若p / q，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若p / q，q / p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A?B，则p是q的充分不必要条件；
若A?B，则p是q的必要不充分条件．
[跟踪训练]
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等 / 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 / 四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 / (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．
(1)因为q r s，s q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r s q，q r，所以r是q的充要条件．
(3)因为p r s q，所以p是q的充分条件.
充分条件、必要条件、充要条件的探求
[例2] (1)不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0，2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0，1) D．x∈(1，3)
(2)函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图像与x轴的交点，一个在原点的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＞1
(3)在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是________．
[解析] (1)因为x(x－2)＜0的解集为(0，2)，
且(0，2)?[－1，＋∞)，
所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)＜0成立”的一个必要不充分条件．
(2)∵函数图像一定过(0，1)点，
∴函数图像与x轴的两个交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为a＜0.结合选项知，充分不必要条件是a＜－1.故选C.
(3)由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.
[答案] (1)B (2)C (3)0＜x＜1
探求充分条件、必要条件、充要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件．
[跟踪训练]
1．实数a，b，c不全为0的充要条件是( )
A．实数a，b，c均不为0
B．实数a，b，c中至多有一个为0
C．实数a，b，c中至少有一个为0
D．实数a，b，c中至少有一个不为0
解析：选D 实数a，b，c不全为0等价于a，b，c中至少有一个不为0，故选D.
2．(多选)下列条件能成为x＞y的充分条件的是( )
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt
C．x2＞y2 D．0＜＜
解析：选AD 由xt2＞yt2可知t2＞0，所以x＞y，故xt2＞yt2 x＞y，故A正确；
当t＞0时，x＞y，当t＜0时，x＜y，故xt＞yt / x＞y，故B错误；
由x2＞y2，得|x|＞|y| / x＞y，故x2＞y2 / x＞y，故C错误；
0＜＜ x＞y，故D正确．故选A、D.
3．a＜0，b＜0的一个必要条件为( )
A.＞1 B.＜－1
C．a＋b＜0 D．a－b＞0
解析：选C a＜0，b＜0 a＋b＜0，反之不成立.
充要条件的证明
[例3] 已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[证明] 充分性：
若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)·(a＋b－1)＝0.
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，
即a＋b＝1，成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反；
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练]
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
利用充分条件、必要条件求参数的范围
[例4] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B.
所以或
解得m≥9.
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B “1∴“12．已知a，b是实数，则“a＜0，且b＜0”是“ab(a－b)＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 已知a，b是实数，则若a＜0，且b＜0，则不一定有ab(a－b)＞0，比如当a＜b＜0时，ab(a－b)＜0；反之，若ab(a－b)＞0，则a－b和ab同号，当a＞b＞0时满足ab(a－b)＞0，当b＜a＜0时也满足ab(a－b)＞0，故不能确定a和b的正负．故“a＜0，且b<0”是“ab(a－b)＞0”的既不充分也不必要条件．
3．使x＞3成立的一个充分条件是( )
A．x＞4 B．x＞0
C．x＞2 D．x＜2
解析：选A ∵x＞4 x＞3，∴x＞4是x＞3成立的一个充分条件．
4．设α：1≤x＜4，β：x＜m.若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，由题意知A B，故m≥4.
答案：[4，＋∞)
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