哈尔滨市第九中学 2021—2022 学年度上学期期末考试 19.(1) an 是递增的等差数列， 数列 an 的公差 d 0，
高三学年 数学学科(理）试卷 参考答案
1-12 CBABC BDCAB CA a1 2d 7
由题意得： 2 ，解得： a1 3，d 2，
13-16 . 4 2 ; 1; 16 ; ①②③④ a1 3d a1 a1 12d
a 3 2 n 1 2n 1．
17. (1)当m 3 3 n 时， f (x) x 1 x (m R)
2 2
1 1 1 1 1
(2)选①时，bn
当 x 1 7 1时， f (x) 2x 4 x anan 1 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3 即
2 4
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 5 n
当 1 x 时， f (x) 4不成立 2 3 5 5 7 2n 1 2n 3 2 3 2n 3
2 2
3 1 9 n N
*, 1 Sn
当 x 时， f (x) 2x - 4即 x 6
2 2 4
S S S 17 9 又 n单调递增， n min 1
综上，解集为 ( , ] [ , ) 15
4 4
1 1
(2) f (x) x 1 m x (x 1) (x m) m 1 S
, n 15 6
当且仅当 (x 1)(x m) 0时取“ ” 选②时， cn an 2n 2n 1 2n，
则 m 1 4故m的取值范围是 ( , 5] [3, )
T 3 21 5 22 7 23 2n 1 2 n，n
cos A( sin A sin B18. (1) ) 2sinC cos A sin AcosB sin B cos A 2sinC 2T 3 2 2 5 23 7 2 4 2n 1 2 n 1 ，
cos A cosB cos AcosB n
T 3 21 2 22 2 23 2 2n1 两式作差得： n 2n 1 2
n 1
A B C , sinC 0 cosB B (0, ) B
2 3 8 1 2n 1
6 2n 1 2n 1
1 1 2
(2) S ABC ac sin B 4 3 ac 162 2n 1 2n 1 2Tn 2n 1 2n 1 2
b 8 3
由正弦定理得 2R b 4 Tn 2n 1 2n 1 2sin B 3
* n 1
2 2 1 n N , 2n 1 2 0, T2 2 n 2．
由余弦定理16 a c 2ac a c ac 4 a c 8 a c 4
2
则 a 4,b 4,c 4
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20（1）根据题意可得K 2 的观测值
k 200 80 35 65 20
2 1800 ，所以 DC ( 3,1,0), AD (0,1, 3)．
5.643 3.841
145 55 100 100 319 设平面 ‘ 的法向量为 n (x， y， z)，
有95%的把握认为支付方式的选择与年龄有关. n DC 0 3x y 0
4 X ~ B(3, 4
则 ，即
2 60 1 n AD 0（ ）由题意可知：在 岁以下的市民中抽到 人选择“手机支付”的概率为 ，所以 )， y 3z 0
5 5
X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 令 z 1，得 n ( 1， 3，1)．
‘
4 0 3 1 2
‘ 3
1 1 假设线段 F上存在点 M，且 ’ =λ且λ∈[0,1] ,则 M（ ，0， 3 3λ）P X 0 C 03 ， P X 1 C1
4 1 12 3
，
5 5 125 3 5 5 125 线面角正弦等于直线与法向量成角余弦的绝对值，
4 2 1 3 0
3
1 48 3 λ+ 3 3λ
5
P X 2 C 23 ，P X 3 C 3
4 1 64 所以 = = 解得λ=0 或 1满足λ∈[0,1]
5 5 125 3
， 10 5
5 5 125 5 3λ2 6λ+3
‘ ‘ √5所以 X 的分布列为 所以，线段 上存在点 M使得 EM 与平面 DC 所成角正弦值为 ，且λ=0 或 1。5
X 0 1 2 3
22（. 1）f ' x x x x1 12 48 64 (x) e ，设切点坐标为 (x 00 , y0 )，则切线斜率为 e ，切线方程为 y e
0 e 0 (x x0 )，
P
125 125 125 125 将 (0,0)代入切线方程，解得 x y ex0=1，切线方程为
4 12 4 1 12 a ln x x 2 , x (0, ); g(x) ln x x 2 ; g ' (x) (x 1)(3 ln x x)E X 3 ,D X 3 . （2）整理得 令 则 ;
5 5 5 5 25 xe x xe x x2e x
21. (1)由已知 EF⊥BD,
令m(x) 3 ln x x，m '(x) 1 1 0；
又由面 ‘ ⊥面 BCD，面 ‘ ∩面 BCD=BD,EF 面 BCD, x
可得 EF⊥面 ‘ 所以m(x)单调递减，m(2) 0,m(3) 0；所以 x1 (2,3)，m(x1) 0；
又由在 AFC中，D、P分别为AC与 CF中点，所以DP//EF , (0, x1), g(x) , (x1, ), g(x) ，所以 gmax (x) g(x1)；
所以 DP⊥面 ‘
3 x
(2)由（1）EF⊥面 ‘ 得 EF⊥ ‘E， 因为m(x1) 3 ln x1 x1 0，所以 ln x 3 x ， x e
1
1 1 1
又 EF BD， ‘E⊥BD．
g(x ) ln x1 x1 2 1所以 1 = ;
以 E为坐标原点，分别以 EF ，ED， ‘所在直线为 x轴，y轴， x1e
x1 e3
z轴，建立空间直角坐标系E xyz，如图，
所以 a 1 ;
不妨设 AB BD DC AD 2，则 BE ED 1． e3
由图 1条件计算得， AE 3，BC 2 3 3， EF ， 1 x x ln x (1 1 ) e
x 1
3 （3）原式整理得：
e2 x
则 E(0,0,0),D(0,1,0),B(0, 1,0), A(0,0, 3),F( 3 ,0,0),C( 3,2,0)，
3
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令 F (x) 1 x x ln x， F’(x) 2 ln x，所以 F (x)在 (0,e 2 ) ， (e 2 , )
F 2 1max (x) F (e ) 1 ；，e2
x 1 x 1
令G(x) (1 1 ) e ，2 G
'(x) (1 1 ) e (x 1) ，所以G(x)在2 2 (0,1) ， (1, ) e x e x
G 1min (x) G(1) 1 2 ；e
因为 F (x) F (e 2 ) G (x) G(1)，1 e 2max min
x 1
所以1 x x ln x 1 (1 2)
e
；
e x
证明完毕
.
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高三学年 数学学科(理）试卷 6. 已知一组数据为 1，1， 2， 4， 4，8，通过该组数据得到如下结论：①中位数是 4；②
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 共 3 页 ） 平均数是3；③极差是9；④方差是 48 .其中正确的序号为（ ）
第 I 卷(选择题 共 60 分) A． ①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
7. 下列命题是真命题的是（ ）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求） A．若 a b a2 b2
1 1
，则 B．若 a b，则
a b
1. 已知集合 A x x 4 ，B x x2 5x 6 0 ,则 A B （ ）
C．若 a b 0，则 a2 ab b2 D．若 a b 0 1 1 ，则
A． 2 24，6 B． 4，2 C． 4， 1 D． 1，4 a b
2 a a
2．已知复数 z 1 i，若 z满足方程 z az 2 0，则实数 a的值为（ ） 8．在等比数列 a 2 5n 中，8a1a3a5 a2a4 0， a6 1，则 的值为（ ）a1 a4
A． 2 B． 2 C．1 D． 1
1 1A． B． C． 2 D． 2
3．设 e1与 e2 是不共线的非零向量，若 ke1 e2 与 e1 ke2 共线且方向相反，则 k的值是（ ） 2 2
A． 1 B．1 C． D．任意不为零的实数 9. 加工某种产品需要 5道工序，分别为 A,B,C,D,E ,其中工序 A,B必须相邻，工序C,D不能
4. 函数 y 3 sin 2x cos 2x的单调递增区间是（ ） 相邻，那么有 种加工方法.
A． 24 B． 32 C． 48 D．64
A． 2k , 2k (k Z ) B． k , k (k Z ) 6 3 6 3 10. 如图，已知直线 l1 // l2， A是 l1, l2 之间的一定点，并且点 A到 l1, l2 的距离分别为 h1,h2，B
2k , 5 2k (k Z ) k , 5 k (k Z ) 是直线 l2 上一动点，作 AC AB，且使 AC与直线 l1交于点C .设 ABD . ABC面积 S关C． D． 12 12 12 12
于角 的函数解析式为 S ，则（ ）
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A. S 2h 1h2 (0 ) B． S h1h2 (0 )
sin2 2 sin 2 2
C． S 1 h h h1h2 tan (0 ) D． S 1 2 (0 )2 2 2 tan 2
A． 2 9 B． 9 C． 4 6 D．5 6
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11. 已知函数 f (x)是定义在R上的偶函数，满足 f (x 2) f (x)，当 x 0，1 时 ③ a1 a3 a5 a2021 a2022
f (x) 2sin x，则函数 y f (x) x 的零点个数是（ ） a 2④ 1 a
2
2 a
2
3 a
2
2021 a2021a2022
A． 5 B．6 C．7 D．8
2
12. 若实数 x, y满足 4ln x 2ln(2y) x 8y 4 ，则（ ） 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
2 17. (本小题满分 10 分)
A． xy B． x y 2 C． x 2y 1 2 2D． x y 1
4 已知函数 f (x) x 1 x m (m R)
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分) 3
（1）当m 时，求不等式 f (x) 4的解集；
2
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分)
（2）若不等式 f (x) 4对任意实数 x恒成立，求m的取值范围.
13. 已知正方形 ABCD的边长为 2，AB a，BC b， AC c，则 a b c .
x y 1
14. 已知点 A 4,1 和坐标原点O，若点 B x, y 满足 x y 1 ，则OA OB的最小值是 .
3x y 3 18. (本小题满分 12 分)
15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术 商功》，是古代人 在 ABC中，角 A，B，C所对的边为 a，b，c， cos A(tan A tan B) 2sinC.
对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术 商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. （1） 求角 B的大小；
现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC ，其中 PA 平面 ABC， PA AC 2， BC 2 2 ，
则四面体PABC 的外接球的表面积为 . （2） ABC的面积为 4 3， ABC
4 3
的外接圆半径长为 ，求 a，b，c .
3
19. (本小题满分 12 分)
已知数列 an 是递增的等差数列， a3 7，且 a4 是 a1与 a13的等比中项．
16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…， （1）求数列 an 的通项公式；
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称 （2）从下面两个条件中任选一个作答，多答按第一个给分．
为“斐波那契数列”，记 Sn为数列 an 的前 n 项和，则下列结论正确的是 . 1①若bn ，设数列 bn 的前 n项和为 Sn，求 Sn的取值范围；a a
① S 33 n n 17
S a 1 ②若 cn an 2
n
，设数列 cn 的前 n项和为T ，求证T 2② n n2022 2024 .
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20. (本小题满分 12 分) 21. (本小题满分 12 分)
自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得 如图 1，在 ABC中，三边满足 AB : BC : AC 1: 3 : 2 ,D为 AC 中点，过 A作 BD的垂
到了越来越多消费者和商家的青睐.哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与 线,垂足为 E，延长 AE交 BC于 F ， P为 FC中点，现将 ABD沿 BD边折起至 A BD，使得
年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取 200 名进行调查，得到部分统计数据如下表：
平面 A BD 平面 BCD，如图 2 所示.
手机支付 现金支付 合计
（1）证明 :DP 平面 A BD；
60 岁以下 80 20 100
5
（2）线段 A F 上是否存在点M 使得 EM 与平面 A DC所成角正弦值为 ？若存在，请求出
60 岁以上 65 35 100 5
A M
合计 145 55 200 的值；若不存在,请说明理由.A F
（1）根据以上数据，判断是否有95%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
（2）将频率视为概率，现从哈市60岁以下市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.
记被抽取的3人中选择“手机支付”的人数为 X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分
布列，数学期望 E X 和方差D X .
n ad bc 2
参考公式：K 2 ，其中 n a b c d
a b c d a c b d
2 22. (本小题满分 12 分)P K k0 0.10 0.050 0.010 0.001
设函数 f (x) aex , x R .
k0 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）当 a 1时，过原点作 y f (x)的切线，求切线方程；
（2）不等式 xf (x) x 2 ln x对于 x （0，+ ）恒成立，求 a的取值范围；
1 e2
（3）在（1）的条件下，证明： x x2 x2 ln x ( 3 ) f (x) .e
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