哈尔滨市第九中学 2021—2022 学年度上学期期末考试 6. 已知一组数据为 1，1， 2， 4， 4，8，通过该组数据得到如下结论：①中位数是 4；②
平均数是3；③极差是9；④方差是 48 .其中正确的序号为（ ）
高三学年 数学学科（文）试卷 A． ①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 共 3 页 ） 7. 下列命题是真命题的是（ ）
第 I 卷(选择题 共 60 分) A．若 a b 2 2，则 a b B．若 a b 1 1，则
a b
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
2 2 1 1
C．若 a b 0，则 a ab b D．若 a b 0，则
要求） a2
b2
1. 已知集合 A x x 4 ，B x x2 5x 6 0 ,则 A B （ ） a a
8．在等比数列 a 2 5n 中，8a1a3a5 a2a4 0， a6 1，则 的值为（ ）
A． 4，6 B． 4，2 C． 4， 1 a aD． 1，4 1 4
2．已知直线 l1 : (a 1)x 2y 1 0, l2 : x ay 1 0,a R
1 1
，若 l1 l2，则 a的值为（ ） A． B． C． 2 D． 22 2
A．0 B． 1 C．1 D．0 或 1 9. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， P为 B1D1的中点，则直线 PD与 B1C所成的角为（ ）
3．设 e1与 e2 是不共线的非零向量，若 ke1 e2 与 e1 ke2 共线且方向相反，则 k的值是（ ） π π π πA． B． C． D．
2 3 4 6
A． 1 B．1 C． D．任意不为零的实数
10. 如图，已知直线 l // l ， A是 l , l 之间的一定点，并且点 A到 l , l 的距离分别为 h
y 3 sin 2x cos 2x 1 2 1 2 1 2 1
,h2，B
4. 函数 的单调递增区间是（ ）
是直线 l2 上一动点，作 AC AB，且使 AC与直线 l1交于点C .设 ABD . ABC面积 S关
A． 2k , 2k
(k Z )
B． k , k
(k Z )
6 3 6 3 于角 的函数解析式为 S ，则（ ）
2h h h h
C． 2k ,
5 2k 5 1 2 1 2
12 12
(k Z ) D．
k , k (k Z ) A. S (0 ) B． S (0 )12 12 sin2 2 sin 2 2
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ） 1 S h1h C． S h1h2 tan (0 ) D． 2 (0 )2 2 2 tan 2
A． 2 9 B． 9 C． 4 6 D．5 6
第 1 页
xOy C x 1 211.在平面直角坐标系 中，圆 ： y2 16，若直线 l： x y m 0（m 0）上有且 ③ a1 a3 a5 a2021 a2022
仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线 AP，AQ，切点分别为 P，Q，且使得四边形 APCQ a 2 a 2 2④ 1 2 a3 a
2
2021 a2021a2022
为正方形，则m的值为（ ）
A．1 B． 2 2 C．3 D． 7 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12. 已知函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，满足 f (x 2) f ( x)，当 x 0，1 时 f (x) 2sin x， 17. (本小题满分 10 分)
则函数 y f (x) x 的零点个数是（ ） 已知函数 f (x) x 1 x m (m R)
A． 5 B．6 C．7 D．8 3
（1）当m 时，求不等式 f (x) 4的解集；
2
（2）若不等式 f (x) 4对任意实数 x恒成立，求m的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分)
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分)
13. 已知正方形 ABCD的边长为 2， AB a， BC b， AC c，则 a b c
18. (本小题满分 12 分)
x y 1
14. 已知实数 x, y
在 ABC中，角 A，B，C所对的边为 a，b，c， a cos B bcos A 2c cos B.
满足不等式组 x y 1 ，则4x y的最小值是
3x y 3 （1） 求角 B的大小；
15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著 4 3
（2） ABC的面积为 4 3， ABC的外接圆半径长为 ，求 a，b，c .
《九章算术 商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章 3
算术 商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.
现有如图所示的“鳖臑”四面体 PABC ，其中 PA 平面 ABC，
PA AC 2， BC 2 2 ，则四面体 PABC 的外接球的表面
积为 19. (本小题满分 12 分)
已知数列 an 是递增的等差数列， a3 7，且 a4 是 a1与 a13的等比中项．
16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，
（1）求数列 an 的通项公式；
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称
（2）从下面两个条件中任选一个作答，多答按第一个给分．
为“斐波那契数列”，记 Sn为数列 an 的前 n 项和，则下列结论正确的是
b 1①若 n ，设数列 bn 的前 n项和为 Sa a n，求
Sn的取值范围；
① S 33 n n 17
② S a 1 ②若 cn an 2
n
，设数列 cn 的前 n项和为T ，求证T 22022 2024 n n .
第 2 页
20. (本小题满分 12 分) 21. (本小题满分 12 分)
自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得 如图，四棱锥 P ABCD的底面是平行四边形， ABC 120 , AB 1，BC 4,PA 4 2,M ,N
到了越来越多消费者和商家的青睐.哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与 分别是 BC,PD的中点，PD DC ,PM MD .
年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取 200 名进行调查，得到部分统计数据如下表： （1）证明：MN //平面PAB ;
手机支付 现金支付 合计 （2）证明：DC 平面PDM ;
（3）求四棱锥 P ABCD的体积.
60 岁以下 80 20 100
60 岁以上 65 35 100
合计 145 55 200
（1）根据以上数据，判断是否有95%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
（2）现采用分层抽样的方法从 60 岁以下的样本中抽取 5人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，求这 22. (本小题满分 12 分)
3 人中至少有 1 人使用现金支付的概率是多少？ 设函数 f (x) aex , x R。
2 n ad bcK
2
参考公式： ，其中 n a b c d （1）当 a 1时，过原点做 y f (x)的切线，求切线方程；
a b c d a c b d
（2）不等式 xf (x) x 2 ln x对于 x （0，+ ）恒成立，求 a的取值范围；
P K 2 k0 0.10 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
第 3 页哈尔滨市第九中学2021—2022学年度上学期期末考试
高三学年 数学学科(文）试卷 参考答案
1-12 CBABC BDCDB DC
13-16 . ; 1; ; ①②③④
(1)当时，
当时，即
当时，不成立
当时，即
综上，解集为
(2)
当且仅当时取
则 故的取值范围是
(1)由正弦定理得：
即,
(2)
由正弦定理得
由余弦定理
则
19.(1)是递增的等差数列，数列的公差，
由题意得：，解得：，，
．
(2)选①时，
又单调递增，
选②时，，
，
，
两式作差得：
．
20（1）根据题意可得的观测值
，
所以有的把握认为支付方式的选择与年龄有关.
（2）用分层抽样的方法从60岁以下的样本中抽取到使用“手机支付”4人，记为a,b,c,d，使用“现金支付”1人,记为E，从5人中抽取3人包含的基本事件有：abc，abd,abE,acd,acE,adE,bcd,bcE,bdE,cdE,共10个，至少有1人使用现金支付包含的基本事件有：abE,acE,adE,bcE,bdE,cdE,共6个，设事件A表示“至少有1人使用现金支付”，则，故3人中至少有1人使用现金支付的概率为.
21.（1）证明：取PA中点E，连接EN，EB
N是PD的中点，且，又且，
是平行四边形，
又平面PAB， 平面PAB， 面PAB.
（2）证明：由底面是平行四边形，知，
在中，由余弦定理：
故， 所以，
又，又是平面PDM内的两条相交直线，
平面PDM.
（3） 平面PDM， 平面PDM，，
又，且是平面ABCD内的两条相交直线，
平面ABCD. 连接AM， 在中，由余弦定理：
，在Rt中：，
22.（1），设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，将代入切线方程，解得，切线方程为
（2）整理得令则
令，；
所以单调递减，；所以，；
，所以；
因为，所以，
所以
所以.
.
