《根与系数的关系》教案
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文档简介
实践与探索（三）
一元二次方程根与系数的关系（1）
教学目标:
1、学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系，能不解方程直接说出方程两根之和与两根之积，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
2、学生经历观察，实践、猜想、证明等数学活动过程，感受从特殊到一般的认知规律及转化思想，发展推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
教学重点：理解、掌握一元二次方程根与系数的关系并会初步运用。
教学难点：对二次项系数不为1的一元二次方程根与系数关系的探究。
教学过程：
一、温故知新
1、一元二次方程的一般形式是[ax2＋bx＋c=0 (a≠0)]，它的两根分别是x1＝(),
x2＝()。
2、学生解方程，并把结果填进表格内（大屏幕）
方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2－2x=0
0
2
2
0
x2＋3x－4=0
－4
1
－3
－4
x2－5x＋6=0
2
3
5
6
x2＋px＋q=0
－p
q
二、探究新知
(一)根与系数的关系
学生根据表格中的两根先计算出两根之和。
教师提问：观察表格中算出的两根之和，与方程的系数有什么关系？
学生观察、思考、讨论、汇报。
教师板书：x1+x2＝－p。提问：再观察表格中算出的两根之积，与方程的系数又有什么关系呢？
学生观察、思考、讨论、汇报。
教师提问：这些方程有个共同点是什么？（二次项系数为1）
教师概括：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，（板书：如果方程x2＋px＋p=0有两个实数根x1、x2，那么x1+x2＝－p, x1·x2=q。
学生读一遍。
小试牛刀
学生练习：口答，说出下列各方程两根之和与两根之积（大屏幕）
1、x2－7x－2=0 2、x2＋3x=0 3、x2－x=2
教师提问：刚才我们得到了一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系，那么这个关系适用于所有的一元二次方程吗？那么，当二次项系数不为1时呢？这时方程两根之和、两根之积与系数有怎样的关系呢？
教师提供两个方程让学生参照刚才的过程探索，发现
1、2x2＋5x－3=0 2、ax2＋bx+c=0(a≠0)
教师提示学生：这里要想得到这两个方程的两根之和与两根之积是不是非要解方程，能不能把这两个方程转化成一次项系数为1的方程再用我们刚才得到的结论从而不用解方程呢？
然后再引导学生把得到的结果与方程的系数进行比较。
学生思考、交流这种情况下方程两根之和与两根之积与系数的关系，然后汇报。
教师概括：两根之和等于－,两根之积等于[板书：如果方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)有两个实数根x1、x2，那么x1+x2＝－, x1·x2=]
教师展示证明过程，告诉学生：一元二次方程根与系数的这种关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理”.
教师提醒学生注意：
1、刚才我们探讨一元二次方程两根之和与两根之积与系数关系的两种表达式都是在方程有实数根（即b2－4ac≥0）的前提下，否则无法求出两根和与两根积，比如方程2x2—x+1=0没有实数根，所以两根之和与两根之积都没有。
2、根与系数关系的这两种表达式是包含的关系，二次项不为1这种情况包含二次项系数为1这种情况，反过来，二次项系数为1这种情况是二次项系数不为1这种情况的特例。
学生读根与系数的关系，记忆。
新知运用
教师出示例1、填空：1、方程x2－4x＋1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
2、方程2x2－3x=4的两根之和是 ，两根之积是 。（大屏幕）学生口答。
大胆尝试
1、填空：方程2x2＋3x－1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
2、选择：关于x的方程x2－2x＋m=0的两根之积为0,则m＝（ ）。
A、2 B、0
C、1 D、不确定
继续前进
例2：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
（1） x12x2＋x1x22 （2）x12＋x22
教师分析，板书第（1）小题，学生完成第（2）小题。
学以致用
若m、n是方程2x2＋4x－6=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
学生独立完成。
三、谈谈收获：
学生汇报本节课的收获。
四：自我检测
1、填空：
（1）方程x2-3x+1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
（2）已知α，β是方程2x2+3x=0的两个根，那么α+β=_____，α·β=_____ 。
2、若方程y2＋by－4=0的两根恰好互为相反数，则b的值为( )。
A、2 B、－2 C、0 D、无法确定
3、已知a、b是方程2x2＋6x+3=0的两个实数根，求下列各式的值：
（1）（a+1)(b+1) (2) (a-b)2
五、作业
已知α、β是方程2x2＋6x＋3=0的两个实数根，求下列各式的值。
（1）＋ （2）（α－2）（β－2） （3）α2＋β2 （4）＋
一元二次方程根与系数的关系（1）
教学目标:
1、学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系，能不解方程直接说出方程两根之和与两根之积，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
2、学生经历观察，实践、猜想、证明等数学活动过程，感受从特殊到一般的认知规律及转化思想，发展推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
教学重点：理解、掌握一元二次方程根与系数的关系并会初步运用。
教学难点：对二次项系数不为1的一元二次方程根与系数关系的探究。
教学过程：
一、温故知新
1、一元二次方程的一般形式是[ax2＋bx＋c=0 (a≠0)]，它的两根分别是x1＝(),
x2＝()。
2、学生解方程，并把结果填进表格内（大屏幕）
方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2－2x=0
0
2
2
0
x2＋3x－4=0
－4
1
－3
－4
x2－5x＋6=0
2
3
5
6
x2＋px＋q=0
－p
q
二、探究新知
(一)根与系数的关系
学生根据表格中的两根先计算出两根之和。
教师提问：观察表格中算出的两根之和，与方程的系数有什么关系？
学生观察、思考、讨论、汇报。
教师板书：x1+x2＝－p。提问：再观察表格中算出的两根之积，与方程的系数又有什么关系呢？
学生观察、思考、讨论、汇报。
教师提问：这些方程有个共同点是什么？（二次项系数为1）
教师概括：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，（板书：如果方程x2＋px＋p=0有两个实数根x1、x2，那么x1+x2＝－p, x1·x2=q。
学生读一遍。
小试牛刀
学生练习：口答，说出下列各方程两根之和与两根之积（大屏幕）
1、x2－7x－2=0 2、x2＋3x=0 3、x2－x=2
教师提问：刚才我们得到了一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系，那么这个关系适用于所有的一元二次方程吗？那么，当二次项系数不为1时呢？这时方程两根之和、两根之积与系数有怎样的关系呢？
教师提供两个方程让学生参照刚才的过程探索，发现
1、2x2＋5x－3=0 2、ax2＋bx+c=0(a≠0)
教师提示学生：这里要想得到这两个方程的两根之和与两根之积是不是非要解方程，能不能把这两个方程转化成一次项系数为1的方程再用我们刚才得到的结论从而不用解方程呢？
然后再引导学生把得到的结果与方程的系数进行比较。
学生思考、交流这种情况下方程两根之和与两根之积与系数的关系，然后汇报。
教师概括：两根之和等于－,两根之积等于[板书：如果方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)有两个实数根x1、x2，那么x1+x2＝－, x1·x2=]
教师展示证明过程，告诉学生：一元二次方程根与系数的这种关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理”.
教师提醒学生注意：
1、刚才我们探讨一元二次方程两根之和与两根之积与系数关系的两种表达式都是在方程有实数根（即b2－4ac≥0）的前提下，否则无法求出两根和与两根积，比如方程2x2—x+1=0没有实数根，所以两根之和与两根之积都没有。
2、根与系数关系的这两种表达式是包含的关系，二次项不为1这种情况包含二次项系数为1这种情况，反过来，二次项系数为1这种情况是二次项系数不为1这种情况的特例。
学生读根与系数的关系，记忆。
新知运用
教师出示例1、填空：1、方程x2－4x＋1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
2、方程2x2－3x=4的两根之和是 ，两根之积是 。（大屏幕）学生口答。
大胆尝试
1、填空：方程2x2＋3x－1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
2、选择：关于x的方程x2－2x＋m=0的两根之积为0,则m＝（ ）。
A、2 B、0
C、1 D、不确定
继续前进
例2：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
（1） x12x2＋x1x22 （2）x12＋x22
教师分析，板书第（1）小题，学生完成第（2）小题。
学以致用
若m、n是方程2x2＋4x－6=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
学生独立完成。
三、谈谈收获：
学生汇报本节课的收获。
四：自我检测
1、填空：
（1）方程x2-3x+1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
（2）已知α，β是方程2x2+3x=0的两个根，那么α+β=_____，α·β=_____ 。
2、若方程y2＋by－4=0的两根恰好互为相反数，则b的值为( )。
A、2 B、－2 C、0 D、无法确定
3、已知a、b是方程2x2＋6x+3=0的两个实数根，求下列各式的值：
（1）（a+1)(b+1) (2) (a-b)2
五、作业
已知α、β是方程2x2＋6x＋3=0的两个实数根，求下列各式的值。
（1）＋ （2）（α－2）（β－2） （3）α2＋β2 （4）＋