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2021-2022学年上学期第八章 函数应用单元测试卷（A卷 基础巩固）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版2019必修一 第八单元 集函数应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先算出，再求交集即可.
【详解】
由题意得所以 又，
所以.
故选：C.
2．命题“任意实数”的否定是（ ）
A．任意实数 B．存在实数
C．任意实数 D．存在实数
【答案】B
【分析】
根据含全称量词的命题的否定求解.
【详解】
根据含量词命题的否定，
命题“任意实数”的否定是存在实数，
故选：B
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由函数的解析式可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．
【详解】
函数 满足（2），（3），且函数是增函数
∴
根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是，
故选：B
4．当时， 在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.
【详解】
由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
5．角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数定义求解即可.
【详解】
因为角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：D
6．已知，，，则a b c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据对数函数以及指数函数单调性比较大小即可.
【详解】
则
故选：C
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线
C．的一个零点为 D．在区间的最小值为1
【答案】D
【分析】
根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.
【详解】
函数，周期为，故A错误；
函数图像的对称轴为，，，
不是对称轴，故B错误；
函数的零点为，，，
所以不是零点，故C错误；
时，，所以，即，所以，故D正确.
故选：D
8．方程的根所在区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，因为，所以答案A不正确；因为，所以答案B不正确；因为，所以答案C不正确；因为，所以答案D正确，应选答案D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．下列函数中，选出在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
根据基本初等函数的单调性及复合函数的单调性直接求解即可.
【详解】
定义域为，函数在定义域内不单调，故A错误；
的定义域为R，由指数函数性质可知函数在定义域上单调递增，故B正确；
因为单调递增，单调递减，所以在定义域内单调递减，故C错误；
的定义域为，函数化简得，在定义域内单调递增，故D正确.
故选：BD
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
由两边都是正数的不等式可以平方，不等号方向不变可判断A，根据不等式两边同乘以一个负数，正数的性质，即可判断答案BCD.
【详解】
因为，所以，可得，故A错误；
因为，所以两边同乘以负数，可得，故B错误；
因为，所以两边同乘以负数，可得，故C正确；
因为，所以两边同乘以正数，可得，故D正确.
故选：CD.
11．具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①；②；③；④，满足“倒负”变换的函数是（ ）
A．① B．③ C．② D．④
【答案】BC
【分析】
利用题目中的新定义，对各个函数进行判断是否具有，判断出是否满足“倒负”变换，即可求解.
【详解】
对于①中，函数，可得，
不满足“倒负”变换的函数；
对于②中，函数，可得，
满足“倒负”变换的函数；
对于③中，当时，，；
当时，，；
当时，，，
满足“倒负”变换的函数.
对于④中，函数，可得，不满足“倒负”变换的函数.
综上可得②③符合题意.
故选：BC
12．下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（ ）
A．f(x)=|x| B．f(x)=x-|x|
C．f(x)=x+1 D．f(x)=-x
【答案】ABD
【分析】
根据题意满足f(2x)=2f(x)，依次验证即可.
【详解】
在A中，f(2x)=|2x|=2|x|，2f(x)=2|x|，满足f(2x)=2f(x)；
在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x)；
在C中，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，不满足f(2x)=2f(x)；
在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x).
故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数的表示法，属于基础题.
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．幂函数的图象经过点，则_____________.
【答案】
【分析】
先代入点的坐标求出幂函数，再计算即可.
【详解】
幂函数的图象经过点，设，
，
解得故，
所以.
故答案为： .
14．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】（0，1]．
【分析】
先作出函数f（x）图象，根据函数有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y＝a有三个交点，结合图象即可得出结果．
【详解】
由题意，作出函数的图象如下：
因为函数有3个零点，
所以关于x的方程f（x）﹣a＝0有三个不等实根；
即函数f（x）的图象与直线y＝a有三个交点，
由图象可得：0＜a≤1．
故答案为：（0，1]．
【点睛】
本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想是求解的关键．
15．若，则___________.
【答案】
【分析】
根据诱导公式结合题意得，即可得解.
【详解】
由题意得.
故答案为：.
16．设函数且，对于，，在区间内至少有一个零点，则符合条件的实数的一个值是________.
【答案】内的任何一个数均可
【分析】
根据题意，求得，其中，根据二次函数的性质，分、和三种情况讨论，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数且，
可得，即，其中，
又由
若，可得，解得；
若，可得，则，则，符合题意；
若，可得，，
所以，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：内的任何一个数均可.
【点睛】
有关函数零点的判定方法及策略：
（1）直接法：令，有几个解，函数就有几个零点；
（2）零点的存在定理法：要求函数在区间上连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；
（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数的零点个数.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）若，求；
（2）命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）求解A,B，根据交集、补集运算即可；
（2）由题意转化为,建立不等式求解即可.
【详解】
（1），
，
解得，
所以,
当时，由可得，
解得，
所以，，
所以
（2）由解得，
即，
因为命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，
所以，
所以，且等号不同时成立，解得，
即实数m的取值范围为
【点睛】
关键点点睛：根据充分条件、必要条件的意义，转化为集合间的包含、真包含关系，是解题的关键，属于中档题.
18．已知函数在区间上的最大值为6，
（1）求常数m的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再利用三角函数的性质即可求解.
（2）代入可得，从而求出，再利用诱导公式即可求解.
【详解】
（1）
，
因为，则，
所以，
解得.
（2），即，
解得，
，，
所以，
，
又，
所以.
19．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，丽水市某村施行“封村”行动.为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站.供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？
（2）现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【答案】（1）当左右两面墙的长度为5时，报价最低为43200元；（2）.
【分析】
（1）设甲工程队的总造价为元，推出，利用基本不等式求解最值即可；
（2）由题意对任意的，恒成立．即恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可．
【详解】
（1）设甲工程队的总造价为元，
则，．
当且仅当，即时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为5米时，甲工程队的报价最低为43200元．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立．
即，从而恒成立，
令，，，
又在，为单调增函数，
故当时，．
所以．
【点睛】
方法点睛：求函数的最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
20．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若关于的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先化简函数得，再利用三角函数的图象和性质求解；
（2）转化得到在区间上恰有两个不同的实数根，再利用数形结合分析求解.
【详解】
（1）解：.
∵，∴，
∴，∴的值域是.
（2）∵，
∴，
∴或，
即或，
当时，因为，所以.
所以在区间上恰有两个不同的实数根，
由图像可知得.
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法（直接画出函数的图象分析求解）；（3）方程+图象法（令得到，再分析的图象得解）.
21．设函数，.
（1）若在上是单调函数，求的取值范围；
（2）求在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分别讨论当和当时的单调性，最终求出答案；
（2）对进行分类讨论，从而求出答案.
【详解】
（1）当时，因为在上是增函数，在上是减函数，所以不符；
当时，由，得.
综上，；
（2）①当时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，且在处连续，
∴.
②当时，由（1）知在上是增函数，在上是减函数，
∴.
③当时，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
∴.
④当时，在上是减函数，
∴
⑤当时，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
∴.
⑥当时，在上是减函数，在上是增函数，
∴.
综上，.
【点睛】
本题涉及分类讨论的思想，在分类讨论的时候要细心，要全面，分类讨论之后一定要总结.
22．函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数的值.（2）用定义证明在上是增函数；
（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）
【答案】（1）， （2）见解析 (3)单调减区间为；
当时，；当时，.
【详解】
本题主要考查了奇函数的性质的应用，f（0）=0，利用该条件可以简化基本运算，函数单调性的定义的应用．
①由函数f（x）是奇函数可得f（0）=0可求b，由 可求a，进而可求f（x）
②由①可得f(x)= ，利用单调性的定义设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)作差，变形定号下结论得到．
（3）在上一问的基础上可知，函数的最值．
解：（1）∵是奇函数，∴∴ ∴故 又 ∵， ∴ ∴
（2）任取，
∵ ∴，，，， ∴即∴在上是增函数.
(3)单调减区间为；当时，；当时，.
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2021-2022学年上学期第八章 函数应用单元测试卷（A卷 基础巩固）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版2019必修一 第八单元 集函数应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“任意实数”的否定是（ ）
A．任意实数 B．存在实数
C．任意实数 D．存在实数
3．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
4．当时， 在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则a b c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线
C．的一个零点为 D．在区间的最小值为1
8．方程的根所在区间是
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．下列函数中，选出在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①；②；③；④，满足“倒负”变换的函数是（ ）
A．① B．③ C．② D．④
12．下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（ ）
A．f(x)=|x| B．f(x)=x-|x|
C．f(x)=x+1 D．f(x)=-x
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．幂函数的图象经过点，则_____________.
14．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是_______.
15．若，则___________.
16．设函数且，对于，，在区间内至少有一个零点，则符合条件的实数的一个值是________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）若，求；
（2）命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18．已知函数在区间上的最大值为6，
（1）求常数m的值；
（2）若，且，求的值.
19．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，丽水市某村施行“封村”行动.为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站.供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？
（2）现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
20．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若关于的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数的取值范围.
21．设函数，.
（1）若在上是单调函数，求的取值范围；
（2）求在上的最大值.
22．函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数的值.（2）用定义证明在上是增函数；
（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）
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