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2021-2022学年上学期第八章 函数应用单元测试卷（B卷 能力提升）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版2019必修一 第八单元 集函数应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：集合，而，所以，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求函数值判断即可求解
【详解】
∵函数在上连续且单调递增，
且，
，
∴，
∴函数的零点所在的区间为.
故选：C．
【点睛】
本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题.
3．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性转化不等式为，再利用单调性得到，解不等式即可.
【详解】
易见函数，是R上的递增函数，故是R上增函数.
又，满足，即是奇函数，故即，
故，即，所以实数a的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：
（1）是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可；
（2）是偶函数，图像关于y轴对称，利用偶函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可.
4．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．
【详解】
画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．
故选：B．
【点睛】
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
6．若函数，则不等式f(x+1)>2的解集为（ ）
A．(-2，4) B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分类讨论，代入解析式，利用指数函数和对数函数的单调性可解得结果.
【详解】
当，即时，不等式f(x+1)>2化为，解得，故；
当，即时，不等式f(x+1)>2化为，所以，
即，解得，
综上所述：不等式f(x+1)>2的解集为.
故选： B
【点睛】
关键点点睛：分类讨论，代入解析式是解题关键.
7．方程的解所在区间是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.
【详解】
∵,
∴,,，,∴,
∵函数的图象是连续的,
∴函数的零点所在的区间是.
故选C
【点睛】
本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.
8．已知函数，若.且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出的图象，数形结合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案
【详解】
的图象如下：
因为.且
所以且
所以，所以
所以
当且仅当，即时等号成立
故选：B
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】BD
【分析】
根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.
【详解】
解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，，故正确；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；
对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；
故选：
【点睛】
本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
10．定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（ ）
A．-2 B．6 C．4 D．-4
【答案】AC
【分析】
根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．
【详解】
在，上的最大值为5，
所以由，解得或，
所以时，，
所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，
当时，即时，，此时解得，符合题意；
当时，即时，，此时解得，符合题意；
故或4，
故选：AC
11．若函数f(x)的定义域为D，对于，且，都有，则称函数f(x)为“凸函数”下列函数是“凸函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据“凸函数”的定义判断．
【详解】
下列函数f(x)的定义域为D，，且，
若，则，A不是凸函数；
若，则，B是凸函数；
若，要证，只要证，令，，即要证，只要证，即证，这显然成立．即成立，C是凸函数，
若，
则
，不妨设，则，，
所以，，D是凸函数，
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是用新定义去判断，证明相应的不等式成立即可．证明不等式的方法有：基本不等式、分析法、作差法．
12．已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且对于，当且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
首先根据函数图像的对称性判断出奇偶性，然后结合单调性的定义，判断出函数的单调性.根据单调性和奇偶性化简不等式，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
f(x)关于y轴对称，即f(x)为偶函数，
又当时，＜0成立，
∴f(x)在(-∞，0）上为减函数，则f(x)在(0,+∞）上为增函数，
∵，∴|2ax|<|2x2+1|,即4a2x2<4x4+4x2+1,即4x4+(4-4a2)x2+1>0恒成立，
令t=x2,(t≥0),∴4t2+(4-4a2)t+1>0在[0,+∞)恒成立，令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,
∴当t=时，即-1≤a≤1时，f(t)在[0,+∞)上为增函数，∴f(t)min≥f(0)=1>0符合题意，
当t=时，即a<-1或a>1时，应满足(4-4a2)2-16<0,解得,
所以此时a的取值范围为,
综上，故AC符合题意 .
故选：AC
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知sin＝，则cos＝________．
【答案】
【详解】
由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，
即cos＝，
所以cos＝cos＝，故答案为.
14．函数零点的个数为______．
【答案】
【分析】
令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数.
【详解】
令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
15．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【分析】
由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得关于的不等式，解不等式即可.
【详解】
解：
当且仅当，即且时取等号.
恒成立，则解得即
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.
16．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
由分段函数的性质画出函数草图，讨论不同值域区间内解的个数，再结合题设函数有6个零点，确定对应的值域区间，利用二次函数的性质，列不等式组求参数b的范围.
【详解】
作出的函数图象如下：
设，则当或时，方程只有1解，
当时，方程有2解，
当时，方程有3解，
当时，方程无解．
∵关于的函数有6个不同的零点，
∴关于的方程在上有两解，
∴，解得．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：根据分段函数的解析式，应用数形结合法判断不同值域区间上对应x的个数，再由关于的二次函数零点的个数确定的值域区间，应用二次函数性质求参数范围.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知全集为，集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.
①；②；③.
【答案】（1）（2）选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是是充分不必要条件.
【分析】
（1）解出集合，根据补集的定义求出，由，得到关于的不等式，解得；
（2）由（1）知的充要条件为，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】
解：（1）集合，
所以，
集合，
若，且，
只需，
所以.
（2）由（1）可知的充要条件是，
选择①，且，则结论是不充分不必要条件；
选择②， ，则结论是必要不充分条件；
选择③， ，则结论是充分不必要条件.
【点睛】
本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.
18．若，，，.
（1）求的值；
（2）求值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【详解】
试题分析：（I）由，结合角的范围得,由即可得解；
（II）由，结合角的范围得，由即可得解.
试题解析：
(Ⅰ)由，得.
因为，所以.
.
(Ⅱ)由，得.
因为，所以.
.
点睛：这个题目考查了三角函数中的配凑角，诱导公式的应用，给值求值的题型.
一般这种题目都是用已知角表示未知角，再根据两角和差公式得到要求的角，注意角的范围问题，角的范围通常是由角的三角函数值的正负来确定的.
19．已知定义域为的函数．
（1）判断并证明该函数在区间上的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在，上递增，证明见解析；（2）；（3）或．
【分析】
（1）函数在上递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）推得函数为奇函数，且为增函数，转化为在恒成立，讨论对称轴与区间的关系，可得所求范围；
（3）运用单调性可得，即，转化为二次方程有且只有一解，结合二次函数性质，可得所求范围．
【详解】
（1）函数在上递增，证明如下：
任取，，且，
，
因为，，，所以，，，
可得，即
可得在上递增；
（2）函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数；
由（1）在上递增，所以为上的增函数，
由，可知，
即，即在恒成立，
设，对称轴为
当，即时，在上递增，，解得：；
当，即时，在上递减，在上递增，，解得：，此时无解.
综上可得，求实数的取值范围是．
（3）方程可得，
因为在上递增，所以，
可得有且仅有一个实数解，即方程在上有且仅有一个根，
①当，即，方程的实数根为，符合题意；
②当，即，方程有两个不等的实数根，记为，不妨设
1)若，代入方程得，解得或
当时，方程的两个根为，不符合题意，舍去；
当时，方程的两个根为,，符合题意；
2)若，设，则，得
综合①②，可知实数的取值范围是或．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别,考查学生的转化思想和运算能力、推理能力，属于稍难题．
20．已知函数.
（1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值；
（2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）1或-1；（2）.
【分析】
（1）令，则，由的取值范围求出的取值范围，对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的值；
（2）依题意函数在上有唯一的零点，令，又，，对分三种情况讨论，最后取并集；
【详解】
解：因为，
令，则，
（1）因为，所以，所以，
当，即m≥0时，此时当t=-2，即时，y取最大值，
即4+2m+2=8，解得m=1，满足；
当，即时，此时当t=2时，即x=4时，y取最大值，
即4-2m+2=8，解得m=-1，满足.所以实数m的值为1或-1.
（2）因为x∈(1，2)，所以，
因为函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，且在(1，2)是增函数，
所以函数在(0，1)上有唯一的零点，
令g(t)=t2-mt+2，因为g(0)=2，g（1）=3-m，
①当g（1）=3-m<0，即m>3时，满足题意
②当g（1）=3-m=0，则m=3时，此时g(t)=t2-3t+2，
令g(t)=t2-3t+2=0，解得t=1或t=2，不满足；
③当g（1）=3-m>0时，且此时无解；
综上，实数m的取值范围为(3，+∞).
【点睛】
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
21．已知函数为奇函数，其中a为常数.
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的最大值；
（3）若关于x的不等式在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）最大值为；（3）.
【分析】
（1）根据奇函数的性质可得，代入解析式求出a=2，再根据验证即可求解.
（2）令，，方程转化为在上有解，求出的取值范围即可求解.
（3）将不等式转化为，令，，可得令，根据函数的单调性可得，解不等式即可求解.
【详解】
（1）因为函数为奇函数，且定义域为R，
所以，解得a=2.
此时，
所以，
所以函数f(x)为奇函数.
所以函数y=f(x)的解析式为.
（2）令，因为x∈[-1，1]，所以
在[-1，1]上有解,
在[-1，1]上有解,
在上有解，
因为，，
所以，所以实数k的最大值为.
（3）设，则，
即f(x1)>f(x2)，所以函数在R上单调递减，
因为，，
所以
，
(*)
令，则由x∈[-2，2]，得，
令，
则结合题设及(*)，得，，
所以，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
22．已知函数，在时最大值为1和最小值为0.设.
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）就、、分类讨论后可求的值.
（2）令，则原不等式等价于在上恒成立，参变分离后可求的取值范围.
（3）令，则原方程等价于在有两个不同的实数解，利用根分布可求的取值范围.
【详解】
解：（1）∵函数，在时最大值为1和最小值为0.
∴（i）当时，不符合题意；
（ii）当时，由题意得对称轴为，在单调增，
∴，∴；
（ⅲ）当时，由题意得对称轴为，在单调减，
∴，∴，，不符合题意，
综上：；
（2）当，令，
∴在上恒成立，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
又当时，最小值为，∴；
（3）令，
∴当时，方程有两个根；当时，方程没有根.
∵关于x的方程有四个不同的实数解，
∴关于s的方程在有两个不同的实数解，
∴在有两个不同的实数解，
∴，∴.
综上：关于x的方程有四个不同的实数解时，.
【点睛】
方法点睛：对于指数不等式的恒成立问题或对数方程的有解问题，我们可以通过换元把它们转化为一元二次不等式的恒成立问题（可用参变分离来求参数的取值范围）或一元二次方程的解的问题（可用根分布来处理）.
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
高一数学试题 第1页（共4页） 高一数学试题 第2页（共4页）绝密★启用前|满分数学命制中心
2021-2022学年上学期第八章 函数应用单元测试卷（B卷 能力提升）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版2019必修一 第八单元 集函数应用。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，则不等式f(x+1)>2的解集为（ ）
A．(-2，4) B．
C． D．
7．方程的解所在区间是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数，若.且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
10．定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（ ）
A．-2 B．6 C．4 D．-4
11．若函数f(x)的定义域为D，对于，且，都有，则称函数f(x)为“凸函数”下列函数是“凸函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且对于，当且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知sin＝，则cos＝________．
14．函数零点的个数为______．
15．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
16．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知全集为，集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.
①；②；③.
18．若，，，.
（1）求的值；
（2）求值.
19．已知定义域为的函数．
（1）判断并证明该函数在区间上的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．
20．已知函数.
（1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值；
（2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围.
21．已知函数为奇函数，其中a为常数.
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的最大值；
（3）若关于x的不等式在恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数，在时最大值为1和最小值为0.设.
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围.
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