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2021-2022学年上学期第七章 三角函数单元测试卷（A卷 基础巩固）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版（2019）必修第一册 第七章 三角函数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为1，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B． C． D．
5．已知角的终边上一点，则（ ）
A．a B． C． D．
6．将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知4个函数:①;②;③;④的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为
A．①④②③ B．③②④① C．①④③② D．③①④②
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数说法正确的有（ ）
A．图象关于点对称 B．最小正周期为
C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
10．记函数的图象为，函数的图象为，则（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到；
B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到
C．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到
D．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到
11．设函数，，则（ ）
A．的最小正周期可能为 B．为偶函数
C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增
12．下列选项不正确的是（ ）
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是
B．函数在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数和函数有相同的定义域与值域
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知都是锐角，，，则_________；
14．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
15．已知，则_______．
16．已知锐角满足，则______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
18．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若关于的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数的取值范围.
19．函数（其中）的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象．当时，求的最大值和单调递减区间．
20．某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：
月份（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产量（W） 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294
产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④．（各式中均有，）．
（Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；
（Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好．
21．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
22．设函数，，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记的最大值为M，
①求M；
②求证：．
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2021-2022学年上学期第七章 三角函数单元测试卷（A卷 基础巩固）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版（2019）必修第一册 第七章 三角函数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据诱导公式计算求解即可.
【详解】
解：
故选：D
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意得，故，进而根据正切的和角公式计算即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以
故选：D
3．若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，由同角三角函数基本关系，先求出，，再由两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，则，
因为，，
所以，，
则.
故选：C.
4．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为1，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据已知条件求出噪音的声波曲线，即可求解.
【详解】
已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为1，周期为，初相为，可得
所以噪音的声波曲线为，
所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为，
故选：D.
5．已知角的终边上一点，则（ ）
A．a B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数定义求解即可.
【详解】
因为角的终边上一点，
所以，
故选：B
6．将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】
平移函数图象后得，根据与重合可求解.
【详解】
函数的图像向左平移2个单位长度后可得，
，
与函数的图象重合，
由，
所以时，即时图象重合，且最小.
故选：D
7．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简集合A，B，根据交集运算求解即可.
【详解】
由可得，
解得，
所以，
当时，
又，
所以，
故选：D
8．已知4个函数:①;②;③;④的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为
A．①④②③ B．③②④① C．①④③② D．③①④②
【答案】B
【分析】
分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可.
【详解】
解：①是奇函数，图象关于原点对称；当时，恒成立；
②是奇函数，图象关于原点对称；
③为非奇非偶函数，图象关于原点和轴不对称，且恒成立；
④是偶函数，图象关于轴对称；
则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②.
即对应函数序号为③②④①.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数说法正确的有（ ）
A．图象关于点对称 B．最小正周期为
C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
【答案】BCD
【分析】
由图象可得，进而求得函数解析式，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
由图可知，，且，
，
，，
则，
，，
则，．
又 ，∴，
∴
取，得．
．
对A，当时，，不适合题意，错误；
对B，的最小正周期为，B正确；
对C，当时，，适合题意，C正确；
对D，当时，， 为单调递减函数，D正确；
故选：BCD．
【点睛】
本题考查由的部分图象求函数解析式，考查型函数的性质，是中档题．
10．记函数的图象为，函数的图象为，则（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到；
B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到
C．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到
D．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到
【答案】BC
【分析】
利用函数的图象变换规律对各个选项进行检验即可.
【详解】
对于A， 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到，错误；
对于B， 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，正确；
对于C， 把向左平移个单位长度，得到，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，正确；
对于D， 把向左平移个单位长度，得到，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，错误.
故选：BC.
【点睛】
本题考查函数的图象变换规律，可以先平移变换再伸缩，或先伸缩变换再平移变换，属于基础题.
11．设函数，，则（ ）
A．的最小正周期可能为 B．为偶函数
C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增
【答案】BCD
【分析】
A．分析是否恒成立；B．分析函数定义域，根据的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.
【详解】
A．因为，
所以，所以不一定成立，
所以不恒成立，所以的最小正周期不可能为，故错误；
B．因为的定义域为，关于原点对称；
又因为，
所以为偶函数，故正确；
C．因为，所以，所以
令，记，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可知：的最小值为，取最小值时，故正确；
D．取，所以，所以，
所以，所以，
又因为在上单调递减，且时，，且在时单调递减，
根据复合函数的单调性判断方法可知：在上单调递增，
所以存在使在上单调递增，故正确，
故选：BCD.
【点睛】
思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：
（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；
（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；
（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.
12．下列选项不正确的是（ ）
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是
B．函数在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数和函数有相同的定义域与值域
【答案】ABC
【分析】
A. 既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是，但定义域不一定是；
B.不是整个定义域上的减函数，两个区间必须分开写；
C.狄利克雷函数函数是周期函数，没有最小正周期；
D.求两个函数定义域和值域即可.
【详解】
A. 既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是，但定义域不一定是，也可以是这种.
B. 函数在和上为减函数
C.狄利克雷函数是周期函数，但是没有最小正周期.
D. 的定义域为，值域为
定义域为，值域为
故选：ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知都是锐角，，，则_________；
【答案】
【分析】
根据求解即可.
【详解】
解：因为都是锐角，即，
所以，
因为，，
所以，，
所以
故答案为：
14．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【分析】
根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】
因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】
本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
15．已知，则_______．
【答案】
【分析】
首先利用诱导公式对已知条件化简可得再利用化弦为切可得的值，再利用两角和的正切公式将展开即可求解.
【详解】
即，可得，解得，
所以，
故答案为：
16．已知锐角满足，则______．
【答案】
【分析】
由化简得出，可得出关于的等式，由此可解得锐角的值.
【详解】
，
所以，，
，则，，
所以，，解得.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换公式化简变形得，然后由可求出函数的递增区间，
（2）由（1）可得，由得，从而可求得函数的值域
【详解】
（1）
，
，
由，得，
所以的单调递增区间为，
（2）由（1）得
，
由，得，
所以，即，
所以，
所以的值域为
18．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若关于的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先化简函数得，再利用三角函数的图象和性质求解；
（2）转化得到在区间上恰有两个不同的实数根，再利用数形结合分析求解.
【详解】
（1）解：.
∵，∴，
∴，∴的值域是.
（2）∵，
∴，
∴或，
即或，
当时，因为，所以.
所以在区间上恰有两个不同的实数根，
由图像可知得.
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法（直接画出函数的图象分析求解）；（3）方程+图象法（令得到，再分析的图象得解）.
19．函数（其中）的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象．当时，求的最大值和单调递减区间．
【答案】（1）；（2）；单调递减区间为
【分析】
（1）由三角函数的图象可得，，，求出，，即可求解.
（2）根据三角函数图象的平移变换原则求出，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】
（1）由三角函数的图象可知：，，
即，又，所以，
，
所以，解得，
又，即 ，解得，
即， 解得，所以，
解得，所以.
（2）函数的图象向右平移个单位后，
可得，
当时，则，
当时，即时，，
由，解得，
所以的单调递减区间为
20．某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：
月份（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产量（W） 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294
产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④．（各式中均有，）．
（Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；
（Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好．
【答案】（1）④；（2）见解析；
【分析】
（1）根据数据判断出函数为增函数，但模型④是减函数，所以判断出该函数模型不符合题意；（2）分别列方程组代入求解即可，然后分别计算，再与实际比较选择相差最小的.
【详解】
（1）去掉④，函数模型④是减函数，根据所给数据可推断函数为增函数，所以模型④不符合题意；
（2）由题意，点坐标，①，得，所以，所以，
②，得
所以，所以，
③，得，所以，，
因为与实际作差比较发现，选①与实际差距最大，选③与实际差距最小，所以如果选①③或者②③时，③模型更好；如果选①②时，②模型更好.
21．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据化简原式的分子分母，然后分式上下同除，将原式变形为的表示形式，由此计算出原式的值；
（2）先根据正切的二倍角公式计算出的值，然后根据角的关系：，结合两角和的正切公式求解出的值.
【详解】
（1）因为，所以且，
所以；
（2）因为，所以，
.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的第二问的关键是找到与的之间的关系，从而借助正切的两角和公式、二倍角公式完成求解.
22．设函数，，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记的最大值为M，
①求M；
②求证：．
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．
【分析】
（1）化简得，配方求值域即可；
（2）①设，换元得，分类讨论即可求解；②利用绝对值不等式的性质求出利用做差法与比较大小即可求证.
【详解】
（1）
当时，
因为，
所以
（2）设，，
对称轴为，开口向上，，，
1）当时，，，所以
2）当时，，，所以
3）当时，，，所以
综上所述：
②
当时，
所以
当时，
所以
当时，，所以
综上所述：所以
【点睛】
关键点点睛：证明时，先求出的最大值是解题关键，应用绝对值不等式的性质，可求出，然后分类利用作差法比较大小即可，属于难题.
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