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2021-2022学年上学期第七章 三角函数单元测试卷（B卷 能力提升）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版（2019）必修第一册 第七章 三角函数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知扇形OAB的圆心角为，其面积是2cm2则该扇形的周长是cm．
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【详解】
扇形的面积公式为
2．已知角的终边上一点的坐标为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由任意角的三角函数定义先求得该点到原点的距离，再由的定义求得．
【详解】
解：角α的终边上一点的坐标为， 它到原点的距离为r=1，
由任意角的三角函数定义知：，
故选B．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B
【详解】
因为，且==，
所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B
4．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
根据题意得到或，计算得到答案.
【详解】
，则
函数有最小值也有最大值
则或
故选：
【点睛】
本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.
5．函数的部分图像如下图所示，其中，，，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据过点，可得，根据，可得，再根据周期的范围，可得的取值范围，进而可得的值，求得，则即可求出.
【详解】
解：由图可知，
因为，且点在递增曲线段上，
，
，
，
，
，，
又由图知：，
，
，
，
，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据三角函数图像得函数解析式，关键要发现周期的范围，是一道中档题.
6．已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
求出命题为真时的取值，根据集合之间的关系可得结论．
【详解】
，则，；而只有，
因此为假，为真，∴p是q的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．
7．点从点出发，沿着单位圆周顺时针运动弧长到点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标.
【详解】
点从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，
，
，
故选：C.
8．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为（ ）(参考数据：)
A．1.612米 B．1.768米 C．1.868米 D．2.045米
【答案】B
【分析】
根据弧长公式求出圆心角为直角，再根据勾股定理可求得弦长.
【详解】
由题得：“弓”所在的弧长为：；，
所以其所对的圆心角；
∴两手之间的距离.
故选：B.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．下列函数，最小正周期为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
结合周期性的定义，对每个选项判断是否成立，从而可选出正确答案.
【详解】
解:A：当时，，最小正周期为，所以A不正确;
B：，因为，B正确；
C：，因为，C不正确；
D：，，
所以D正确.
故选:BD.
10．函数落在区间的所有零点之和不为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ACD
【分析】
根据给定函数分析它的对称中心，然后讨论函数在存在两个零点即可作答.
【详解】
函数的图象是中心对称图形，其对称中心为，在、都递增，
函数中，由得，则的图象关于对称，
由得，即在每一个区间上都是递增的，
所以的图象关于点对称，且在区间及上都递增，
而，，于是得在区间及上各有一个零点，
由对称性得函数落在区间的两个零点之和为2，即B正确，ACD不可能.
故选：ACD
11．下列命题不正确的有（ ）
A．函数在定义域内单调递增
B．若，则成立
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为
【答案】ABD
【分析】
由正切函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B；由特称命题的否定判断C；由函数的奇偶性判断D.
【详解】
对于选项A：因为在其定义域内不具有单调性，故A不正确；
对于选项B：若，则，故B不正确；
对于选项C：命题“，”的否定是“，”，故C正确；
对于选项D：当时，，又，所以当时，. 故D不正确.
故选：ABD.
12．已知函数有下列结论，其中正确的是（ ）
A．的周期为 B．的图象关于直线对称
C．的最小值为 D．在上与直线有三个交点
【答案】BCD
【分析】
依题意将函数解析式转化为分段函数，再画出函数图象，数形结合即可判断；
【详解】
解：因为，所以，故的最小正周期为，故A错误；
因为，所以关于对称，故B正确；
令，即，解得；
所以，函数图象如下所示，所以的最小值为，故C正确；结合函数图象可得在上与直线有三个交点，故D正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查余弦函数图象的应用，解答的关键是画出函数图象，数形结合分析问题；
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．函数零点的个数为______．
【答案】
【分析】
令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数.
【详解】
令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
14．已知sin＝，则cos＝________．
【答案】
【详解】
由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，
即cos＝，
所以cos＝cos＝，故答案为.
15．下列命题中，①若，则角为第三、四象限角；②；③函数是周期为的奇函数；④是的一个对称中心.其中正确的命题序号有________.
【答案】②③④
【分析】
角的终边可能落在y轴负半轴上，故①错误；由同角三角函数的平方关系代入化简可知②正确；，由的奇偶性与周期性可判断③正确；由可知④正确.
【详解】
①若，则角为第三、四象限角或终边在y轴负半轴；
②，正确；
③函数，是R上的奇函数且周期为，正确；
④因为，所以是的一个对称中心，正确.
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，三角函数诱导公式，属于基础题.
16．已知函数，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
若对任意的，都存在，使得成立，等价于，分别求出两个函数的最小值，可得，从而可求出实数的取值范围
【详解】
解：若对任意的，都存在，使得成立，等价于，
则，
令，则，得，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
因为函数在定义域内为增函数，
所以在上递减，
所以，
所以只需，即
解得或，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数求最值问题，解题的关键是若对任意的，都存在，使得成立，转化为，然后利用导数求出的最小值，利用单调性求出的最小值，进而可得，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若，，，.
（1）求的值；
（2）求值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【详解】
试题分析：（I）由，结合角的范围得,由即可得解；
（II）由，结合角的范围得，由即可得解.
试题解析：
(Ⅰ)由，得.
因为，所以.
.
(Ⅱ)由，得.
因为，所以.
.
点睛：这个题目考查了三角函数中的配凑角，诱导公式的应用，给值求值的题型.
一般这种题目都是用已知角表示未知角，再根据两角和差公式得到要求的角，注意角的范围问题，角的范围通常是由角的三角函数值的正负来确定的.
18．已知函数，.
（1）求的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先将函数整理，得到，根据正弦型函数的性质，即可求出结果；
（2）根据题意，得到在 上恒成立，由（1）的结果，即可求出的取值范围.
【详解】
（1）∵
，
又∵，
∴，即，∴；
（2）由在 上恒成立，可得在 上恒成立，
又∵，∴且，结合（1）知，
∴，即的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查求正弦型函数的值域，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记正弦函数的性质，以及辅助角公式和二倍角公式即可，属于常考题型.
19．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的正半轴，终边经过点P（－3，m），且．
（1）求实数m的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得的值.
（2）由（1）求得的值，利用诱导公式化简求得表达式的值.
【详解】
（1）由于角的终边经过点，且，所以，且，从而，即，解得.
（2）由（1）知，所以，所以
.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
20．函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最值并求出相应的值．
【答案】（1），增区间，（2）时，取最小值为-2；当时，取最大值为1.
【分析】
（1）根据图像计算，得到，代入点计算得到解析式，再计算单调区间得到答案.
（2）通过平移得到，再计算得到最值.
【详解】
（1）由图知：，∴，∴，∵，∴，∴，
∵由图知过，∴，
∴，∴，，∴，，
∵，∴，∴.
∵，，∴，，
∴增区间，.
（2），
∵，∴，
∴当，即时，取最小值为-2，
当，即时，取最大值为1.
【点睛】
本题考查了三角函数的图像识别，三角函数的单调性，最值，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.
21．已知函数（其中，，）的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别是和.
（1）求函数的解析式和单调递减区间；
（2）先将的图象上每点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，再将其向右平移个单位得到函数的图像，已知，，求的值.
【答案】（1）.单调递减区间是，.（2）或.
【分析】
（1）由最值确定A，相邻两对称轴之间的距离为半个周期推出周期从而可得，特殊点代入函数解析式可求出，根据正弦型函数的单调性令即可求得单调递减区间； （2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，由列出等式得，则或，即可求得x.
【详解】
（1）依题意可知：，，∴，∴，
又由点在图象上，∴，
∴，解得，，
∵，∴，
所以函数的解析式是.
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间是，.
（2）的图象上每点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数，
再将其向右平移个单位得到函数，
由，得，∴，
∴或，
∴或，，
因为，所以或.
【点睛】
本题考查根据的部分图象求解析式，正弦型函数的单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题.
22．海南沿海某次超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．一天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为米，圆心角，施工要求按图中所画的那样，在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求使裁下的钢板面积最大．请你帮助王师傅解决此问题．连接，设，过作，垂足为.
（1）求线段的长度（用来表示）；
（2）求平行四边形面积的表达式（用来表示）；
（3）为使平行四边形面积最大，等于何值？最大面积是多少？
【答案】（1）（2）（3）当时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．
【分析】
（1）先根据题意在中表示，再在中表示即可.
（2）由（1）知和， 由可知，表示平行四边形面积，结合二倍角公式，逆用两角和的正弦公式表示即可.
（3）由（2）结合，求出函数最值即可.
【详解】
解：（1）在中，，，
四边形为平行四边形∥即
在中
所以；
（2），
设平行四边形的面积为，
则
＝
＝
＝
＝
＝；
（3）由于，
所以，
当，即时，
，
所以当时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．
【点睛】
本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式逆用，以及利用三角函数性质求最值，属于基础题.
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
高一数学试题 第1页（共4页） 高一数学试题 第2页（共4页）绝密★启用前|满分数学命制中心
2021-2022学年上学期第七章 三角函数单元测试卷（B卷 能力提升）
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏教版（2019）必修第一册 第七章 三角函数。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知扇形OAB的圆心角为，其面积是2cm2则该扇形的周长是cm．
A．8 B．6 C．4 D．2
2．已知角的终边上一点的坐标为，则的值为
A． B． C． D．
3．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
4．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
5．函数的部分图像如下图所示，其中，，，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
6．已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．点从点出发，沿着单位圆周顺时针运动弧长到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为（ ）(参考数据：)
A．1.612米 B．1.768米 C．1.868米 D．2.045米
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．下列函数，最小正周期为的有（ ）
A． B． C． D．
10．函数落在区间的所有零点之和不为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．下列命题不正确的有（ ）
A．函数在定义域内单调递增
B．若，则成立
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为
12．已知函数有下列结论，其中正确的是（ ）
A．的周期为 B．的图象关于直线对称
C．的最小值为 D．在上与直线有三个交点
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．函数零点的个数为______．
14．已知sin＝，则cos＝________．
15．下列命题中，①若，则角为第三、四象限角；②；③函数是周期为的奇函数；④是的一个对称中心.其中正确的命题序号有________.
16．已知函数，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为___________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若，，，.
（1）求的值；
（2）求值.
18．已知函数，.
（1）求的值域；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的正半轴，终边经过点P（－3，m），且．
（1）求实数m的值；
（2）求的值．
20．函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式和单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最值并求出相应的值．
21．已知函数（其中，，）的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别是和.
（1）求函数的解析式和单调递减区间；
（2）先将的图象上每点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，再将其向右平移个单位得到函数的图像，已知，，求的值.
22．海南沿海某次超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．一天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为米，圆心角，施工要求按图中所画的那样，在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求使裁下的钢板面积最大．请你帮助王师傅解决此问题．连接，设，过作，垂足为.
（1）求线段的长度（用来表示）；
（2）求平行四边形面积的表达式（用来表示）；
（3）为使平行四边形面积最大，等于何值？最大面积是多少？
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