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专题7.1 角与弧度
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
三、题型突破
重难点题型突破1 任意角与弧度制
例1．（1）、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期末）若，则它是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】
根据象限角的定义判断．
【详解】
因为，所以是第三象限角．
故选：C．
（2）、（2021·北京市第四十三中学高一期中）将化为弧度制的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据角度和弧度的换算公式即可得到答案.
【详解】
．
故选：B.
【变式训练1-1】、（2021·湖北·高三月考）如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先确定当时针指向，分针指向时，时针与分针的夹角，减掉分针指向时，时针由向移动的弧度即可得到结果.
【详解】
表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为.
故选：B.
【变式训练1-2】、（2021·云南·高一期末）若角θ=120°，则角θ对应的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据弧度数和度的关系，直接求解.
【详解】
.
故选：A.
【变式训练1-3】、的角化为角度制的结果为__________， 的角化为弧度制的结果为__________．
【答案】
【解析】由题意得， ， .
重难点题型突破2 扇形的弧长与面积公式
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即得解
【详解】
令圆锥底面半径为，则，因此
圆锥的高为：
圆锥的体积
故选：B
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面展开图的面积及圆锥的体积，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题
（2）、（2022·江苏·高三专题练习）（多选题）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．2 D．或
【答案】AC
【分析】
根据弧长公式和面积公式即可求解.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为 ，则，
∴解得 或，则或1.
故选：AC．
【变式训练2-1】、（2021·河北·邢台一中高一月考）（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．与的终边相同
B．小于的角是锐角
C．若为第二象限角，则为第一象限角
D．若一扇形的中心角为，中心角所对的弦长为，则此扇形的面积为
【答案】AD
【分析】
利用终边相同的角的概念可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断BC选项的正误；利用扇形的面积公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为，所以，与的终边相同，A对；
对于B选项，不是锐角，B错；
对于C选项，取，则为第二象限角，但为第三象限角，C错；
对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，
因此，该扇形的面积为，D对.
故选：AD.
【变式训练2-2】、（2021·上海·高一课时练习）扇形的周长是，圆心角是，则扇形的面积是多少？
【答案】.
【分析】
根据扇形的弧长公式和题设条件，求得扇形所在圆的半径为，结合扇形的面积公式，即可求解.
【详解】
设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，
因为扇形的周长是，可得，解得，
所以扇形的面积为.
重难点题型突破3 扇形的面积拓展
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）有一圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示.已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（ ）
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸 C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
【答案】A
【分析】
根据给定条件求出圆O半径，借助扇形面积、三角形面积即可计算出阴影部分面积.
【详解】
连接OC，依题意，OC必过弦AB中点D，设圆O半径为r，寸，则，如图，
在直角三角形OAD中，，即，解得寸，
则，即，则，
则有扇形OAB的面积(平方寸) ，三角形OAB的面积(平方寸) ，
所以阴影部分面积为(平方寸) .
故选：A
（2）．（2021·全国·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2
【答案】B
【分析】
根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
【详解】
依题意，弦(m)，矢(m)，
则弧田面积=(m2)，
所以弧田面积约是9m2.
故选：B
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专题7.1 角与弧度
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
三、题型突破
重难点题型突破1 任意角与弧度制
例1．（1）、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期末）若，则它是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
（2）、（2021·北京市第四十三中学高一期中）将化为弧度制的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、（2021·湖北·高三月考）如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2021·云南·高一期末）若角θ=120°，则角θ对应的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】、的角化为角度制的结果为__________， 的角化为弧度制的结果为__________．
重难点题型突破2 扇形的弧长与面积公式
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·江苏·高三专题练习）（多选题）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．2 D．或
【变式训练2-1】、（2021·河北·邢台一中高一月考）（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．与的终边相同
B．小于的角是锐角
C．若为第二象限角，则为第一象限角
D．若一扇形的中心角为，中心角所对的弦长为，则此扇形的面积为
【变式训练2-2】、（2021·上海·高一课时练习）扇形的周长是，圆心角是，则扇形的面积是多少？
重难点题型突破3 扇形的面积拓展
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）有一圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示.已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（ ）
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸 C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
（2）．（2021·全国·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2
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