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专题7.2 三角函数的概念
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
考点二 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
考点三 三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的概念
例1．（1）、（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）若是第四象限角，则点在第（ ）象限.
A．第四象限 B．第三象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【答案】C
【分析】
根据给定条件确定角的范围，再求得与值的符号即可判断作答.
【详解】
因是第四象限角，即，则，
当k是奇数时，是第二象限角，，点在第三象限，
当k是偶数时，是第四象限角，，点在第四象限，
所以点在第三、四象限.
故选：C
（2）、若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵sina=,且a为第四象限角,∴，
则，故选：D.
【变式训练1-1】、（2021·上海市建青实验学校高一期中）已知的终边经过点，则_________
【答案】
【分析】
根据三角函数的定义直接求解即可.
【详解】
因为，所以，
因此，
故答案为：
【变式训练1-2】 （2021·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角函数的定义，列出方程，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，可得，
根据三角函数的定义，可得且，解得.
故选：A
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知角的终边上一点，且，求值.
【答案】或.
【分析】
根据任意角的三角函数的定义得到方程，解得即可；
【详解】
解：依题意有：即：
解得：或
即或
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知角终边上有一点，且（），试求与的值.
【答案】答案见解析
【分析】
根据正弦函数的定义求出值，然后再由余弦函数、正切函数的定义计算．
【详解】
点到坐标原点的距离，由三角函数的定义，
得，解得，，
当时，，，
当时，，.
重难点题型突破2 诱导公式
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用诱导公式可求得结果.
【详解】
，
故选：B.
（2）、cos225°=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三角函数诱导公式可知：
故选C.
（3）、（2021·全国·高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用诱导公式求解.
【详解】
因为，
所以，
故选：D
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由，再结合诱导公式化简求值即可得答案.
【详解】
解：因为
所以
故选：C
【变式训练3-2】、已知=，则的值等于( )
A． B．－
C． D．±
【答案】Ａ
【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ
重难点题型突破3 同角三角函数公式的应用
例4．（1）．（2021·广东·汕头市澄海中学高一阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
由题可得，即求.
【详解】
∵，
∴.
故选：D
（2）、（2021·江西·贵溪市实验中学高三月考）已知，求的值.
【答案】
【分析】
由已知可得，利用诱导公式化简即可求解.
【详解】
因为，
所以，
∴ .
【变式训练4-1】．（2022·江苏·高三专题练习）已知角满足，则表达式的取值可能为（ ）
A．-2 B．-1或1 C．2 D．-2或2或0
【答案】AC
【分析】
讨论为奇数和为偶数两种情况利用诱导公式化简可求.
【详解】
当为奇数时，原式；
当为偶数时，原式.
∴原表达式的取值可能为或2.
故选：AC
【变式训练4-2】．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知，
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）3；（2）-4.
【分析】
（1）根据诱导公式即可求解；
（2）根据诱导公式化简结合（1）的结论求值.
【详解】
（1）由题：，所以，；
（2）
例5．（2021·河北·高一阶段练习）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）分子分母同除以，即可求出，从而求出；
（2）分母看作1, ，分子分母同除以可得含的式子，代入求值即可.
（1）
因为，
所以
解得，
故.
（2）
.
【变式训练5-1】．（2021·北京市第二十二中学高三阶段练习）已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据诱导公式化角,并约分可得.
（2）由诱导公式可得，代入数值可得的值.
（1）
.
（2）
因为，所以，
所以 .
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一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
考点二 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
考点三 三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的概念
例1．（1）、（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）若是第四象限角，则点在第（ ）象限.
A．第四象限 B．第三象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
（2）、若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1-1】、（2021·上海市建青实验学校高一期中）已知的终边经过点，则_________
【变式训练1-2】 （2021·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知角的终边上一点，且，求值.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知角终边上有一点，且（），试求与的值.
重难点题型突破2 诱导公式
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、cos225°=（ ）
A. B. C. D.
（3）、（2021·全国·高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、已知=，则的值等于( )
A． B．－
C． D．±
重难点题型突破3 同角三角函数公式的应用
例4．（1）．（2021·广东·汕头市澄海中学高一阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
（2）、（2021·江西·贵溪市实验中学高三月考）已知，求的值.
【变式训练4-1】．（2022·江苏·高三专题练习）已知角满足，则表达式的取值可能为（ ）
A．-2 B．-1或1 C．2 D．-2或2或0
【变式训练4-2】．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知，
（1）求的值.
（2）求的值.
例5．（2021·河北·高一阶段练习）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【变式训练5-1】．（2021·北京市第二十二中学高三阶段练习）已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
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