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专题7.3 三角函数的图像与性质
A组 基础巩固
1．（2021·山西英才学校高一阶段练习）（ ）
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个闭区间上为增函数
【答案】C
【分析】
利用正切函数的性质即得.
【详解】
函数是周期函数，在每一个开区间上为增函数，但在整个定义域上不是单调函数.
故选：C.
2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）设函数，下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期是
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在上单调递减
【答案】B
【分析】
根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：因为，所以函数的最小正周期，故A错误；
当时，所以函数关于对称，故B正确；
因为，所以当时，故不是的零点，故C错误；
当，所以，因为函数在上不单调，所以在上不单调，故D错误；
故选：B
3．（上海市奉贤区2022届高三一模数学试题）下列函数中为奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据常见函数的奇偶性及单调性，逐项判断即可.
【详解】
对A，因为指数函数为非奇非偶函数，A错误；
对B，函数为偶函数，且在上不单调，B错误；
对C，正弦函数是奇函数，但在R上不单调，C错误；
对D，幂函数为奇函数，且在R上是增函数，D正确.
故选：D.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据图象可得的周期，振幅和过，即可求出其解析式，然后可得平移后的解析式，然后根据对称性求出答案即可.
【详解】
设的最小正周期为，由图知，，
∴，∴，∴，
将代入，得，又，∴，∴，
将的图象向左平移，所得函数的解析式为：
，
∵的图象关于直线对称，∴（），
∴（），∵，∴的最小值为，
故选：C.
5．（2021·全国·高一课时练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接根据三角函数的有界性得到答案.
【详解】
，故，故，
故选：B.
6．（2021·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【分析】
根据余弦函数单调性，解不等式得到答案.
【详解】
，令，
解得，.
故选：B.
7．（2021·江苏·高一单元测试）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的非奇非偶函数
D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【分析】
利用诱导公式化简，由此判断函数的奇偶性以及最小正周期.
【详解】
，
故f(x)是最小正周期为2π的奇函数．
故选：A
8．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依题意可得，即，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：由题意知，.
令，得.当时，，即图象的一条对称轴方程为.
故选：C
9．（2020·北京·清华附中高一期末）下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
对于D，，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；
故选：D．
10．（2020·上海·位育中学高一期中）函数的的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
将给定函数变形成，再借助正弦函数单调性列不等式求解即得.
【详解】
函数，由得：
，
所以函数的的单调递减区间是：.
故选：B
11．（2021·全国·高三阶段练习（文））函数的部分图像如图所示，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据图象所过点，结合图象求出，再由平移得到，根据正弦型函数的单调性求解即可.
【详解】
由图象过点，可得，
即，
结合图象知，，即，
所以，
令,
解得，，
即函数的单调增区间为，
故选：C
12．（山西省运城高中教育发展联盟2022届高三上学期12月阶段性检测文科数学试题）已知函数在上单调递增，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
由的取值范围，求出，再根据的范围及函数的单调性，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：当时，
又，所以，所以，解得即.
故答案为：
13．（2021·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是__________
【答案】
【分析】
利用正切型函数的周期公式可求得结果.
【详解】
函数的最小正周期是.
故答案为：.
14．（2021·全国·高一课时练习）已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则_______.
【答案】
【分析】
根据图象求出、、，然后可得答案.
【详解】
由图象可知，，，∴，由，
得，，解得，，
∵，∴，∴.
故答案为：
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知对任意都有，则等于________．
【答案】
【分析】
由给定等式可得图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.
【详解】
因对任意都有，则直线是图象的一条对称轴，
所以.
故答案为：
16．（2021·四川·射洪中学高一阶段练习）以下关于函数的结论：
①函数的图象关于直线对称；
②函数的最小正周期是；
③若，则；
④函数在上的零点个数为20．
其中所有正确结论的编号为______．
【答案】①②④
【分析】
利用正弦型函数的对称性可判断①，由正弦型函数的周期可判断②，由可得，或，可判断③，由得，可判断④.
【详解】
对于①，当时，，故函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，函数的最小正周期是，②正确；
对于③，，即，
∴，或，
∴，或，如时，，③错误；
对于④，由得，，则由可得，，所以函数在上的零点个数为20，④正确.
故答案为：①②④.
B组 能力提升
17．（2021·浙江临海市回浦中学高一阶段练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的一条对称轴方程是 B．的一个对称中心是
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】AC
【分析】
令求解函数对称轴即可判断A，B选项；分别计算，的解析式即可判断C,D选项.
【详解】
解：对于A，B选项，令，解得，所以当时，的一条对称轴方程是，故不是对称中心，故A选项正确，B选项错误；
对于C选项，，是偶函数，故C选项正确；
对于D选项，，是非奇非偶函数，故D选项错误.
故选：AC
18．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）已知，关于的下列结论中正确的是( )
A．的一个周期为
B．在单调递减
C．的一个零点为
D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】
根据余弦型函数的图像与性质即可逐项判断求解﹒
A：余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，周期为；
B：余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的减区间由ωx＋φ∈[]，k∈Z求得；
C：余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的零点由ωx＋φ=，k∈Z求得；
D：余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ=，k∈Z求得.
【详解】
的最小正周期为，则的一个周期为，故A选项对；
当时，f(x)单调递减，
解得，，当k＝0时，即可判断f(x)在上不单调，故B选项错；
的零点为，解得，，当k＝1时，即可判断C选项对；
的对称轴为，解得，，当k＝3时，即可判断D选项对；
故选：ACD.
19．（2021·江苏南通·高三期中）（多选题）已知把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据题意，结合三角函数的平移变换，以及诱导公式，即可求解.
【详解】
根据题意，得，故A对，B错；
因为，所以，故C对，D错.
故选：AC.
20．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）（多选题）函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在区间上的零点之和为
【答案】AB
【分析】
利用图象求得函数的解析式，可判断AB选项的正误；计算的值，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D选项的正误.
【详解】
由题图可知函数的最小正周期为，则，
所以，，把代入得，则，得，
，，则AB选项均正确；
，当时，，不满足对任意的都有，C错误；
，，
则共有个零点，不妨设为、、、，且，
则，，
两式相加，整理得，
故的所有零点之和为，D错误，
故选：AB.
21．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知函数
（1）求函数在上的所有零点之和；
（2）求的单调递减区间.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，即，再令，根据的取值范围，求出的取值范围，则函数的零点转化为与的交点，画出函数图象，结合函数图象及函数的对称性，计算可得；
（2）首先解三角不等式求出函数的定义域，即可求出内函数的单调递增区间，再根据对数函数的性质及复合函数的单调性计算可得；
（1）
（1）
令，
令，，∴，∴.
作在上图象知与有四个交点，
记其横坐标从小到大依次为，，，，则，，
所以，
所以
（2）
解：令
，所以
解得，即函数的定义域为
由解得，
令，当时，关于单调递增；
在上单调递减，∴在上单调递减.
故所求函数的单调递减区间为.
22．（2021·江苏淮安·高三期中）函数的部分图象如图：
（1）求解析式；
（2）写出函数在上的单调递减区间.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
（1）
由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
（2）
由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
23．（2021·全国·高一课时练习）函数（，，）的一段图象（如图所示）.
（1）求函数解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】
（1）
（2），
（3）最大值为、最小值为
【分析】
（1）由图象可得的周期，过点，，即可求出答案；
（2）解出不等式即可得到答案；
（3）由可得，然后根据正弦函数的知识可得答案.
（1）
设函数的周期为，则由图知，∴，
∴，∴，
将点代入得，
∴，，∴，，∵，∴，
∴，将点代入得，∴，
∴；
（2）
由，可得，，
∴函数的单调增区间为，；
（3）
∵，∴，∴，
当时，当时，
故在区间上的最大值为、最小值为
24．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期中）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数的最大值以及取最大值时对应的x的集合．
【答案】
（1），；
（2），．
【分析】
（1）利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间；
（2）利用正弦函数的性质，分析计算作答．
（1）
解：因函数，，则最小正周期，
由得，
所以的单调增区间是.
（2）
解：依题意，当时，，此时，，即，
所以，此时．
25．（2019·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知函数（，，），图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，.
（1）求的解析式和周期.
（2）当时，求的值域.
【答案】
（1），周期为
（2）
【分析】
（1）由题知，，，解方程即可得答案；
（2）根据整体代换求解函数的值域即可.
（1）
解：∵函数（，，）图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，，
∴，∴，.
又∵；
，
∴，.
∵为函数一个最高点，
，，，，
由，则.
综上所述，，周期为.
（2）
解：∵时，，
∴，
∴，
∴时，值域为.
26．（2021·江苏南京·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像.若为函数的一个零点，求的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）、根据图像，求出，，，即可求出函数的解析式;
（2）、先根据图像变换求出的解析式，再由题意可知，求出的表达式，即可求出的最大值.
（1）
由图像知，.
又，，，,，
将点代入，,,，
又，,.
（2）
,，
又为函数的一个零点，，，
，，.故时，的最大值为.
27．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期末）函数.
（1）用五点作图法画出函数一个周期的图象，并求函数的振幅、周期、频率、相位；
（2）此函数图象可由函数怎样变换得到.
【答案】
（1）答案见解析
（2）答案见解析．
【分析】
（1）由分别等于，计算描点作图，并由三角函数性质求解．
（2）根据三角函数图象变换规则作答．
（1）
列表：
0
0 2 0 －2 0
描点连线（如图）：
振幅：2，周期，频率，相位：．
（2）
把的图象向右平移个单位，然后图象上所有点的的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得图象的解析式为．
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专题7.3 三角函数的图像与性质
A组 基础巩固
1．（2021·山西英才学校高一阶段练习）（ ）
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个闭区间上为增函数
2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）设函数，下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期是
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在上单调递减
3．（上海市奉贤区2022届高三一模数学试题）下列函数中为奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高一课时练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
7．（2021·江苏·高一单元测试）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的非奇非偶函数
D．最小正周期为的偶函数
8．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·北京·清华附中高一期末）下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·上海·位育中学高一期中）函数的的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·全国·高三阶段练习（文））函数的部分图像如图所示，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
12．（山西省运城高中教育发展联盟2022届高三上学期12月阶段性检测文科数学试题）已知函数在上单调递增，则的取值范围为___________.
13．（2021·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是__________
14．（2021·全国·高一课时练习）已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则_______.
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知对任意都有，则等于________．
16．（2021·四川·射洪中学高一阶段练习）以下关于函数的结论：
①函数的图象关于直线对称；
②函数的最小正周期是；
③若，则；
④函数在上的零点个数为20．
其中所有正确结论的编号为______．
B组 能力提升
17．（2021·浙江临海市回浦中学高一阶段练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的一条对称轴方程是 B．的一个对称中心是
C．是偶函数 D．是奇函数
18．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）已知，关于的下列结论中正确的是( )
A．的一个周期为
B．在单调递减
C．的一个零点为
D．的图象关于直线对称
19．（2021·江苏南通·高三期中）（多选题）已知把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数图象，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）（多选题）函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在区间上的零点之和为
21．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知函数
（1）求函数在上的所有零点之和；
（2）求的单调递减区间.
22．（2021·江苏淮安·高三期中）函数的部分图象如图：
（1）求解析式；
（2）写出函数在上的单调递减区间.
23．（2021·全国·高一课时练习）函数（，，）的一段图象（如图所示）.
（1）求函数解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值.
24．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期中）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数的最大值以及取最大值时对应的x的集合．
25．（2019·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知函数（，，），图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，.
（1）求的解析式和周期.
（2）当时，求的值域.
26．（2021·江苏南京·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像.若为函数的一个零点，求的最大值.
27．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期末）函数.
（1）用五点作图法画出函数一个周期的图象，并求函数的振幅、周期、频率、相位；
（2）此函数图象可由函数怎样变换得到.
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