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专题7.3 三角函数的图像与性质
一、考情分析
二、考点梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z)
三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
例1、（1）、（2021·全国·高三专题练习）函数的定义域是___________.
【变式训练1-1】、（2021·新疆·巴楚县第一中学高三月考（文））函数的定义域为___________.
例2、（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2021·山西英才学校高一阶段练习）设函数，，则是( )
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值
1、三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．
例3、（1）．（2020·上海高一课时练习）函数，当_________时有最小值，最小值是___________.
（2）．（2021·全国·高一单元测试）在上的值域为________．
【变式训练3-1】（2021·全国·高一课时练习）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式训练3-2】、（2021·西藏昌都市第一高级中学高二期中）函数，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，取最大值 B．在区间单调递增
C．在区间单调递减 D．的一个对称轴为
例4．（2021·浙江临海市回浦中学高一阶段练习）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）若，求的值域.
【变式训练4-1】、（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））已知函数.
（1）求出该函数的单调递减区间；
（2）当时，的最小值是，最大值是，求实数a，b的值.
重难点题型突破3 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）
1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
2.函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
例5、（1）．（2021·全国·高一课时练习）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）.
A． B． C． D．
（2）．（2021·陕西·高新一中高二月考（理））若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】．（2021·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2021·山西吕梁·高三月考（理））把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
重难点题型突破4 三角函数的应用
例6．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】、如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破5 三家函数的综合应用
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知函数（，，）在一个周期内的图象如图.
（1）求的解析式；
（2）若函数与的图象关于直线对称，求的解析式.
例8．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）设，且，求的值.
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专题7.3 三角函数的图像与性质
一、考情分析
二、考点梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z)
三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
例1、（1）、（2021·全国·高三专题练习）函数的定义域是___________.
【答案】（）
【分析】
根据题意，可知，结合三角函数的图像与性质，数形结合即可求解.
【详解】
要使函数有意义，
必须且只需，即，
由的图象（如图1-87所示）可知，使的取值区间是（）；
由的图象（如图1-88所示）可知，
使的取值区间是（）.
∵是的真子集，
∴函数的定义域为（）.
故答案为：（）.
【变式训练1-1】、（2021·新疆·巴楚县第一中学高三月考（文））函数的定义域为___________.
【答案】，
【分析】
由根式的性质可得，再根据余弦函数的性质求的范围，即可知函数的定义域.
【详解】
由题设，，即.
∴，.
∴函数的定义域为且.
故答案为：，.
例2、（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出，从而得到函数解析式，再利用特殊角的三角函数值可求的值.
【详解】
因为最小正周期为，，故，故，
所以，
所以，
故选：C.
【变式训练2-1】、（2021·山西英才学校高一阶段练习）设函数，，则是( )
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】B
【分析】
根据余弦型函数的图像与性质即可判断求解.
【详解】
∵f(x)定义域为R，f(－x)＝f(x)，∴f(x)是R上偶函数；
f(x)最小正周期T＝，
故选：B.
重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值
1、三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．
例3、（1）．（2020·上海高一课时练习）函数，当_________时有最小值，最小值是___________.
【答案】
【解析】当时，即，
可得，此时取得最小值；此时，最小值为；
故答案为： ； .
（2）．（2021·全国·高一单元测试）在上的值域为________．
【答案】
【分析】
由，可得，结合余弦函数的性质即可求解．
【详解】
解：，
，
即，即，
故答案为：．
【变式训练3-1】（2021·全国·高一课时练习）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
当时，函数取得最大值，则，可得即可算最小值．
【详解】
由题意，知当时，函数取得最大值，则，所以，所以，又，所以，
故选：A.
【变式训练3-2】、（2021·西藏昌都市第一高级中学高二期中）函数，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，取最大值 B．在区间单调递增
C．在区间单调递减 D．的一个对称轴为
【答案】C
【分析】
根据函数，利用正弦函数的性质逐项判断.
【详解】
因为函数，
A.当时，，故A错误；
B.因为，则，所以在区间不单调，故B错误；
C. 因为，则，所以在区间单调递减，故C正确；
D.因为 ，故D错误；
故选：C
例4．（2021·浙江临海市回浦中学高一阶段练习）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）若，求的值域.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据正弦型函数周期的计算公式，即可求得函数的最小正周期；
（2）令，即可求得函数的单调递增区间；
（3）由，求得，结合正弦函数的性质求得其的最值，即可得到函数的值域.
（1）
解：由题意，函数，
根据正弦型函数周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.
（2）
解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（3）
解：由函数，
当，可得，
结合正弦型函数的性质得：
当时，即时，函数取得最大值，最大值为；
当时，即时，函数取得最小值，最大值为，
所以函数的值域为.
【变式训练4-1】、（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））已知函数.
（1）求出该函数的单调递减区间；
（2）当时，的最小值是，最大值是，求实数a，b的值.
【答案】
（1），
（2），
【分析】
(1)利用整体代入法即可求解的单调减区间；(2)结合，利用正弦函数的性质求出的取值范围，然后结合已知条件求解即可.
（1）
结合已知条件和正弦函数性质，由，，
解得，，
故函数的单调递减区间为，.
（2）
令，
∵，∴，
∴由正弦函数性质得，，
故，，
由，解得.
重难点题型突破3 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）
1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
2.函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
例5、（1）．（2021·全国·高一课时练习）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据图象求出，然后得到的解析式，然后可得答案.
【详解】
由题意得，，即，
把点代入方程可得，
所以，即
因为，所以，
∴，
因为，所以函数的一个对称中心为，
故选：C.
（2）．（2021·陕西·高新一中高二月考（理））若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的最小正周期为，可得，令，分析即得解
【详解】
由题意，函数的最小正周期为，
故
即
令
即
令，可得，故A正确；
BCD选项中，不存在与之对应，故错误
故选：A
【变式训练5-1】．（2021·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由三角函数平移变换可得平移后函数为，根据对称性得到，结合可得所求最小值.
【详解】
将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
【变式训练5-2】、（2021·山西吕梁·高三月考（理））把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】
根据正弦函数图像的性质和特点求解.
【详解】
把函数的图象向左平移个单位长度得到，
再将所得图象向上平移1个单位长度得到，
则，A错.
，B错.
在上单调递增，解得，C错.
的图象对称，得，当时，. D对.
故选：D.
重难点题型突破4 三角函数的应用
例6．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得.
【详解】
，，，；
最小正周期，，即，
，，，
又，，.
故选：B.
【变式训练6-1】、如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由图象可得，函数的最小正周期为，，
将点的坐标代入函数的解析式，且函数在附近递增，
所以，，则，得，
，所以，当时，，因此，.
故选：D.
重难点题型突破5 三家函数的综合应用
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知函数（，，）在一个周期内的图象如图.
（1）求的解析式；
（2）若函数与的图象关于直线对称，求的解析式.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据图象可得的振幅、周期和图象过点，然后可得答案；
（2）利用算出答案即可.
（1）
由题意，知，，故，
∵图象过点，∴，
∵，∴，
∴；
（2）
∵与的图象关于直线对称，
∴
例8．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）设，且，求的值.
【答案】（1），对称中心坐标为；（2）.
【分析】
（1）由函数图象得，，解之求得，，再由，求得，代入点，求得解析式，根据可求得对称中心坐标；
（2）由（1）得，代入可求得.
【详解】
解：（1）由函数图象可知，，则，，，即，
所以，从而函数，
对代入解析式得，，
又，故，所以函数解析式为；
由得，
所以对称中心坐标为；
（2）因为，
所以，又，从而，
所以即.
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