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专题7.4 三角函数应用
一、考情分析
考点1 三角函数模型的建立程序
考点2 解答三角函数应用题的一般步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．
（1）审题
三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
（2）建模
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．
（3）解模
利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．
（4）结论
将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．
要点诠释：
实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
二、题型突破
例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m，最高点距地面135m，运行一周大约30min，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min时他距地面大约为（ ）
A．95m B．100m C．105m D．110m
【答案】C
【分析】
设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间（分钟）的函数关系为，根据已知条件求出，再求得解.
【详解】
设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间（分钟）的函数关系为，
由题意可知，，，所以，
即.
又因为，
解得，故，
所以，
所以.
故选：C
（2）、（2021·重庆江津·高一开学考试）如图，某大楼AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或坡比），山坡坡面上点E处有一休息亭.某数学兴趣小组测得山坡坡脚C与大楼水平距离米，与休息亭距离米，并从E点测得大楼顶部点的仰角为，点A，B，C，D，E在同一平面内，则大楼AB的高度约为（ ）
（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
A．89.0米 B．74.2米 C．74.0米 D．59.2米
【答案】A
【分析】
过点分别作底面，，然后根据题意分别求出，最后相加即可求出答案.
【详解】
如图，过点作底面垂线，于，
因为斜坡CD的坡度，所以
设，，在中，，即，
解得，则，
所以，
因为在E点测得大楼顶部点的仰角为，
所以
,
故选：A
（3）、（2021·江苏·盐城中学高一月考）三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图。由题意得，从而可得，给等式两边平方化简后得，从而可求出，而，进而可求得答案
【详解】
由题意得，因为，
，
所以，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
，
故选：D
（4）、（2021·福建·模拟预测）（多选题）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【答案】ABC
【分析】
根据题意求出点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
【详解】
设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得
故．故D错误；
对于A，令，即，解得：，故A正确；
对于B，令，代入，解得：，故B正确；
对于C，令，代入，解得：，故C正确．
故选：ABC
【变式训练1-1】、（2021·江苏·高一专题练习）某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点的距离表示成的函数，则__________，其中．
【答案】
【分析】
设函数解析式为，由题意代值可得解.
【详解】
设函数解析式为，
由题意易知，
当时，，得；
当时，，
可得，所以，
故答案为：
【变式训练1-2】、（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，则点P第一次到达最高点需要的时间为（ ）
A．7 B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】
设点离水面的高度为，根据题意求出，再令可求出结果.
【详解】
设点离水面的高度为，
依题意可得，，，
所以，
令，得，得，，
得，，
因为点P第一次到达最高点，所以，
所以.
故选：D
【变式训练1-3】、（2021·浙江·高一期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，则（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【分析】
设大正方形的边长为，则由已知条件可得小正方形的边长为，设为，在在中，由勾股定理得， ，可求得，所以
【详解】
解：设大正方形的边长为，
因为，所以，得，
所以小正方形的边长为，
所以，
设为，则，
在中，由勾股定理得，
所以，
解得或（舍去），
所以
故选：B
【变式训练1-4】、（2021·全国·高一专题练习）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________．
【答案】20. 5
【分析】
由题意得,,解得，，故，再计算时的函数值即可.
【详解】
解：据题意得，
解得，
所以
令得
故答案为：20. 5
例2．（2020·上海静安·高一期末）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.
（1）求的值；
（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.
【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是.
【解析】
（1）图知：，因为，
所以，解得：.
（2）.
所以，这段时间水深的最大值是.
例3．（2021·江苏·高一课时练习）下表是某地一年中10d（天）的白昼时间.
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日
白昼时间/h 5.59 10.23 12.38 16.39 7.26
日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日
白昼时间/h 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13
（1）以日期在365d（天）中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出这些数据的散点图；
（2）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系；
（3）用（2）中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间.
【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据所给数据将日期转化为实数，画出散点图；
（2）不妨设白昼时间与日期序号之间的函数关系是，依题意求出，，，，即可得到函数解析式；
（3）易知7月8日时，代入（2）中函数解析式，计算可得；
【详解】
解：（1）根据已知横坐标依次为1,59,80,117,172,226,266,298,325，散点图如下所示：
（2）不妨设白昼时间与日期序号之间的函数关系是，则，，，所以，即，且当时，解得，所以
（3）易知7月8日时，所以
故该地7月8日的白昼时间约为
例4．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
【答案】（1）；（2）至或至.
【分析】
（1）根据数据，可得，由，可求，从而可求函数的表达式；
（2）由题意，水深，即，从而可求t的范围，即可得解；
【详解】
解：（1）根据数据，可得，
，，
，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，，1，
，或，；
所以，该船在至或至能安全进港．
收集数据
画散点图
选择函数模型
检验
求函数模型
用函数模型解决实际问题
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专题7.4 三角函数应用
一、考情分析
考点1 三角函数模型的建立程序
考点2 解答三角函数应用题的一般步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．
（1）审题
三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
（2）建模
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．
（3）解模
利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．
（4）结论
将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．
要点诠释：
实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
二、题型突破
例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮．已知其旋转半径为60m，最高点距地面135m，运行一周大约30min，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10min时他距地面大约为（ ）
A．95m B．100m C．105m D．110m
（2）、（2021·重庆江津·高一开学考试）如图，某大楼AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或坡比），山坡坡面上点E处有一休息亭.某数学兴趣小组测得山坡坡脚C与大楼水平距离米，与休息亭距离米，并从E点测得大楼顶部点的仰角为，点A，B，C，D，E在同一平面内，则大楼AB的高度约为（ ）
（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
A．89.0米 B．74.2米 C．74.0米 D．59.2米
（3）、（2021·江苏·盐城中学高一月考）三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
（4）、（2021·福建·模拟预测）（多选题）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【变式训练1-1】、（2021·江苏·高一专题练习）某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点的距离表示成的函数，则__________，其中．
【变式训练1-2】、（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，则点P第一次到达最高点需要的时间为（ ）
A．7 B． C．6 D．5
【变式训练1-3】、（2021·浙江·高一期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，则（ ）
A． B．
C．2 D．3
【变式训练1-4】、（2021·全国·高一专题练习）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________．
例2．（2020·上海静安·高一期末）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.
（1）求的值；
（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.
例3．（2021·江苏·高一课时练习）下表是某地一年中10d（天）的白昼时间.
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日
白昼时间/h 5.59 10.23 12.38 16.39 7.26
日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日
白昼时间/h 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13
（1）以日期在365d（天）中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出这些数据的散点图；
（2）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系；
（3）用（2）中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间.
例4．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
收集数据
画散点图
选择函数模型
检验
求函数模型
用函数模型解决实际问题
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