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专题8.1 二分法与求方程的近似值
A组 基础巩固
1．（2021·四川·东辰国际学校高一月考）函数在下列哪个区间有零点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据零点存在性定理可得结果.
【详解】
因为函数的图象连续不断，且，
，，
，
根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内.
故选：C
2．（2021·河北·邢台一中高一月考）方程的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】
因为函数、均为上的增函数，故函数在上也为增函数，
因为，，，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：C.
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三月考（文））函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由零点存在性定理判断即可.
【详解】
解：，，
根据零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是
故选：C.
4．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高一期中）已知定义在[－3，3]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示，则只有唯一的x值与之对应的y的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．[0，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】C
【分析】
当直线y＝m与函数图像只有一个交点时，m的范围即为本题所求﹒
【详解】
解：由图像可知，当－3≤x≤0时，1≤y≤3；当0＜x≤3时，y≥0．所以y的取值范围是[0，＋∞)．
当0≤m＜1或m＞3时，直线y＝m与f(x)有一个交点，如图：
故选：C
5．（2021·湖南省岳阳县第一中学高一期中）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.
【详解】
∵f（1）<0，f（1.5）>0，
∴在区间（1，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点
又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B
6．（2021·江苏南京·高一期中）函数的零点为（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【答案】C
【分析】
令，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：令，解得或，所以函数的零点为：1和3.
故选：C．
7．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期中）函数的图象如图所示，则函数的零点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数的图象和零点的定义，即可得出答案.
【详解】
解：根据函数的图象，可知与轴的交点为，
所以函数的零点为2.
故选：B.
8．（2021·北京四中高三期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可.
【详解】
对于A选项，，所以 没有零点，
从而没有“折点”，故A不符合题意；
对于B选项，当时，，
因为 单调递增，所以在上有零点，
又因为是偶函数，所以在上有零点，
从而 存在“折点”，故B符合题意；
对于C选项， 因为，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值，
在处取得极小值，
而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；
对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；
故选：B
9．（2021·广东珠海·高一月考）函数，方程有3个实数解，则k的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
根据给定条件将方程的实数解问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.
【详解】
方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点，
因当时，在上单调递减，在上单调递增，，
当时，单调递增，取一切实数，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：
由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点，方程有3个解，
所以k的取值范围为.
故答案为：
10．（2021·江苏·赣榆一中高一月考）若关于的方程有两个正实数根， 则实数的取值范围是_____
【答案】
【分析】
令，由题设及二次函数的性质可得，即可求的取值范围.
【详解】
由题设，令，则，
∴，可得.
故答案为：.
11．（2021·江苏淮安·高三期中）设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
结合一元二次方程根的分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】
令，
依题意关于的方程有两实数根，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
12．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）设函数（）．若函数恰有两个不同的零点，，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
求出的解析式和根，代入，化简式子求其范围即可．
【详解】
当时，令，可得(因为，所以舍去)
所以|，
在上是减函数，所以．
故答案为：．
13．（2021·全国·高一单元测试）函数和图象的交点是______.
【答案】（0，0）和（1，1）
【分析】
直接联立方程组，求出交点坐标即可.
【详解】
由题意列方程组：，解得：或，
即函数和图象的交点是和.
故答案为：（0，0）和（1，1）
14．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点是______．
【答案】
【分析】
令后可求函数的零点.
【详解】
令，则，故或或，
故答案为：.
15．（2021·全国·高一课时练习）若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
设，，得到，只需满足，解得答案.
【详解】
设，，，即，
设，，故只需满足：，解得.
故答案为：.
16．（2021·全国·高一单元测试）已知，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
首先确定分段函数的解析式；分别在在存在一个零点和无零点两种情况下，将问题转化为在上的解的个数问题，结合的单调性可确定的范围.
【详解】
；
①当在存在一个零点时，，解得：；
此时在上有且仅有一个零点，即方程在上有且仅有一个解，
在上单调递减，；
若在上有两个不同的零点，则；
②当在上不存在零点时，；
此时在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的解，
在上单调递减，方程在不能有两个不同的解；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
17．（2021·全国·高一课时练习）若方程有两个不等的实根，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】
令，令，方程有两个不等的实根，即函数在上有两个不同的零点，则有，从而可得出答案.
【详解】
解：，即，
令，函数在上递增，
则,
令，
因为方程有两个不等的实根，
则函数在上有两个不同的零点，
则，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
18．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，若它在区间中仅有一个零点，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
由函数在区间中仅有一个零点可得，或时,方程在内有一个解,或时,方程在内有一个解,解不等式求实数m的取值范围.
【详解】
∵ 函数在区间中仅有一个零点，
∴ ，或时,方程在内有一个解,或时,方程在内有一个解,
当可得 ，
∴ ，
当时，，方程可化为，其解为或，不满足要求，
当时，，方程可化为，其解为或，不满足要求，
∴ 实数m的取值范围是，
故答案为：.
19．（2021·福建省福州第一中学高一期中）已知函数满足，若方程有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________.
【答案】或
【分析】
令，则方程转化为，
作出函数的图象，由题意，原问题等价于有两个大于1的不等实数根，根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.
【详解】
解：令，则方程转化为，
作出函数的图象如下图所示，
由题意，方程有四个不相等的实数根，即有两个大于1的不等实数根，
令，
则解得或，
则实数m的取值范围为或，
故答案为：或.
20．（2021·四川·德阳五中高一月考）已知函数，若关于x的方程 f（x） = a有四个不同的解，且，则的取值范围是 _________
【答案】(-3，3]
【分析】
作出函数的图象，由图可知；，进而化简
，利用函数的单调性求出它的取值范围即可.
【详解】
作出函数的图象，
由图可知，，
当时，或，则，
所以，
令，则函数在上为增函数，
所以，即的取值范围为.
故答案为：
21．（2021·上海·复旦附中高一期中）设函数，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】
设，由得，利用数形结合可得，当时，与有4个交点，再结合，即得.
【详解】
设，，则时，，
设，则，
函数图象如图所示，，
当时，与有4个交点，此时两者的交点最多，设交点横坐标为，
由图可知，
又，若，有一个解，，有两个解，
∴当与有4个交点，且交点横坐标均大于时，函数的零点最多，
∴即.
故答案为：.
22．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数的零点个数是___________.
【答案】4
【分析】
先考虑函数在上的零点，再根据函数的奇偶性可求函数的零点个数.
【详解】
因为当时，，
故在上的零点为，
因为为偶函数，故在上的零点的个数为4，
故答案为：4.
23．（2021·福建·浦城县教师进修学校高一期中）已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【分析】
求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
∵，
∴ ，
∵函数y=f(x) g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x) g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2 x) b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2 x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2 x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，
故答案为:.
B组 能力提升
24．（2021·重庆一中高一期中）(多选题)若方程有且只有一解，则的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】CD
【分析】
画出的图象，由此求得的可能取值.
【详解】
画出的图象如下图所示，由图可知或.
所以CD选项符合.
故选：CD
25．（2021·黑龙江·哈九中高一期中）（多选题）函数的一个零点所在的区间不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用零点存在性定理判断零点所在的区间，进而确定不可能的区间即可.
【详解】
由题设，函数单调递增，，
，
，
，
，
，
综上，零点所在的区间不可能是、、.
故选：ACD
26．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．函数的零点是，
B．且
C．不等式的解集是
D．已知，则的最大值为1
【答案】CD
【分析】
根据零点的定义可知A错误；根据基本不等式可知B错误；由分式不等式的解法可知C正确；由基本不等式可知D正确．
【详解】
对A，由零点的定义可知，函数的零点是或，A错误；
对B，且，但是当时，且也可以使不等式成立，所以B错误；
对C，，C正确；
对D，，当且仅当时取等号，D正确．
故选：CD．
27．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）（多选题）对于定义域为R的函数，若存在非零实数，使得函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”，则下列函数中，存在界点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】
根据题意，依次分析4个选项中函数得零点的情况，结合“界点”的定义综合分析即可得出答案.
【详解】
解：对于A，令，解得或，则区间上的任意一个非零实数都是函数的一个“界点”，故A选项存在界点；
对于B，因为，所以函数，无零点，故B选项不存在界点；
对于C，，则有，又，则函数存在界点，故C选项存在界点；
对于D，，
当时，令，解得或，则区间上的任意一个非零实数都是函数的一个“界点”，故D选项存在界点.
故选：ACD.
28．（2021·全国·高一课时练习）［多选题］已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
124.4 33 24.5
则函数在区间上的零点可能有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】BCD
【分析】
利用零点存在定理判断.
【详解】
解：依题意，，，，
根据零点存在性定理可知在区间，，上各至少含有一个零点，
故函数在区间上的零点至少有3个．
故选：BCD．
29．（2021·湖南师大附中高一期中）（多选题）已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．函数有唯一零点
D．函数是増函数
【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性可得函数解析式，再结合函数的图象即得.
【详解】
根据题意，函数是奇函数，其定义域为R，则，
当时，则，则，
又由为奇函数，
则，
∴，
如图可得函数的图象，
所以选项ACD正确.
故选：ACD.
30．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）（多选题）设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
【答案】ABD
【分析】
A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.
【详解】
A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；
B：时，方程无解，则，正确；
由解析式可得其函数图象如下图示：
令，开口向上且对称轴为，
若，则，即，有以下情况：
1、，：
此时，令，则在上有一个零点，
∴，可得，
2、，，由A知：.
综上：，故C错误；
若，由函数的性质及图象知：必有，.
此时，，，
所以，，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.
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专题8.1 二分法与求方程的近似值
A组 基础巩固
1．（2021·四川·东辰国际学校高一月考）函数在下列哪个区间有零点（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·河北·邢台一中高一月考）方程的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三月考（文））函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高一期中）已知定义在[－3，3]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示，则只有唯一的x值与之对应的y的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．[0，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)
5．（2021·湖南省岳阳县第一中学高一期中）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
6．（2021·江苏南京·高一期中）函数的零点为（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
7．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期中）函数的图象如图所示，则函数的零点为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·北京四中高三期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·广东珠海·高一月考）函数，方程有3个实数解，则k的取值范围为___________.
10．（2021·江苏·赣榆一中高一月考）若关于的方程有两个正实数根， 则实数的取值范围是_____
11．（2021·江苏淮安·高三期中）设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是___________.
12．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）设函数（）．若函数恰有两个不同的零点，，则的取值范围是_______．
13．（2021·全国·高一单元测试）函数和图象的交点是______.
14．（2021·全国·高一课时练习）函数的零点是______．
15．（2021·全国·高一课时练习）若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围是___________.
16．（2021·全国·高一单元测试）已知，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是________．
17．（2021·全国·高一课时练习）若方程有两个不等的实根，则实数m的取值范围是______．
18．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，若它在区间中仅有一个零点，则实数m的取值范围是_______．
19．（2021·福建省福州第一中学高一期中）已知函数满足，若方程有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________.
20．（2021·四川·德阳五中高一月考）已知函数，若关于x的方程 f（x） = a有四个不同的解，且，则的取值范围是 _________
21．（2021·上海·复旦附中高一期中）设函数，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为______．
22．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数的零点个数是___________.
23．（2021·福建·浦城县教师进修学校高一期中）已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.
B组 能力提升
24．（2021·重庆一中高一期中）(多选题)若方程有且只有一解，则的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．3
25．（2021·黑龙江·哈九中高一期中）（多选题）函数的一个零点所在的区间不可能是（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．函数的零点是，
B．且
C．不等式的解集是
D．已知，则的最大值为1
27．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）（多选题）对于定义域为R的函数，若存在非零实数，使得函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”，则下列函数中，存在界点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2021·全国·高一课时练习）［多选题］已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
124.4 33 24.5
则函数在区间上的零点可能有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
29．（2021·湖南师大附中高一期中）（多选题）已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．函数有唯一零点
D．函数是増函数
30．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）（多选题）设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
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