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专题8.1 二分法与求方程的近似值
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 二分法求函数零点的近似值
二分法的概念
对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。[]
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使 。
（2）求区间的中点， 。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点 ）；
若则令（此时零点 ）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
知识点二 函数的零点与方程的根
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .
2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .
3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.
三、题型突破
重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间
例1.（1）、（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）函数的零点所在的大致范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】
判断的单调性，结合零点存在定理即可容易判断零点范围.
【详解】
因为是上的单调增函数，在也是单调增函数，
故可得是上的单调增函数，则该函数至多一个零点；
又，是定义域上的连续函数，
故存在一个零点，且其范围是.
故选：B.
（2）、（2018·广东·佛山实验中学高一月考）下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；
对于D，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选C．
【点睛】
本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件．
（3）、（2021·全国·高一课时练习）已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：
1 2 3 4 5 6 7
23 9 -7 11 -5 -12 -26
函数在区间上的零点至少有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】
利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
函数的图像是连续的，；
；
，
所以在、，之间一定有零点，
即函数在区间上的零点至少有3个.
故选：C
【变式训练1-1】、（2021·广东·汕头市潮师高级中学高一月考）函数零点所在的整区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用零点存在性定理求解即可.
【详解】
因为函数为单调递增函数，且，
所以零点所在的区间是，故选：C．
【变式训练1-2】．（2021·北京八中高一期中）已知函数，在下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点
C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点
【答案】C
【分析】
求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误；
对于B选项，，故得，即函数有三个零点，故错误；
对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误；
故选：C
【变式训练1-3】．（2020·云南昆明八中）用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：
根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_________.
【答案】.
【分析】
根据表格中的数据，得到函数的零点所在区间为，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】
由表格中的数据，可得，，
根据零点的存在定理，可得函数的零点所在区间为，
故函数的零点的近似值为（精确到0.01），
故答案为：.
重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数
例2．（1）、（2021·四川·东辰国际学校高一月考）已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为_______.
【答案】
【分析】
分区间讨论，去掉绝对值，画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a的取值范围．
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
作出函数在区间上的图象如图：
设直线，要使在区间上有个不等实根，
即直线与函数的图象在区间上有个交点，
由图象可知或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
（2）、（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知定义域为R的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为_________.
【答案】2
【分析】
先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和 的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.
【详解】
因为是奇函数，所以，又因为函数 的周期为2，
所以，
在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），
观察图象可知和的图象在 上有五个交点，
而函数在区间 （且）上有至少有5个零点，
所以，所以的最小值为.
故答案为：2.
【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解
【详解】
函数，由，可得，作出和的图象，
由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，
故选：C.
【变式训练2-2】．（2021·湖南省岳阳县第一中学高一期中）已知函数，若存在实数b，使得关于x的方程=b有三个不同的根，则m的取值范围是___________.
【答案】（3，+∞）
【分析】
在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
当m≤0时，组成f(x)的两段函数均为单调函数，因此关于关于x的方程f(x)=b最多只有2个解，不符合题意.
当m>0在同一坐标系中，作y＝f (x)与y＝b的图象．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
所以要使方程f (x)＝b有三个不同的根，
则有4m－m20.
又m>0，解得m>3.
故答案为：（3，+∞）.
重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围
例3．（1）、（2021·上海·高一专题练习）方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
换元成一元二次方程，分类讨论只有一根和有两根情况．
【详解】
令，则方程只有一个正根，
当方程有唯一根时，则，此时根为符合题意；
当方程有一正一负根或一正根和0根时，有，则．
综上所述，或
故选：D
（2）．（2021·云南省玉溪第一中学（文））已知函数（为自然对数的底数），若函数恰好有两个零点，则实数等于___________.
【答案】
【分析】
函数恰好有两个零点等价于方程有两个根，即函数与函数的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数.
【详解】
∵ 函数恰好有两个零点，
∴ 方程有两个根，
∴ 函数与函数的图象有两个交点，
当时，，，
∴ 时，，函数在上为增函数，
时，，函数在上为减函数，
当时，，函数在上为减函数，
由此可得函数的图象如下：
∴ 当时，函数与函数的图象有两个交点，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练3-1】．（2021·重庆八中高三月考）己知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题可得的图像与的图像有2个交点，数形结合即可求出.
【详解】
由题，存在两个零点，等价于的图像与的图像有2个交点，画出的函数图象如下：
由数形结合知，即.
故选：A.
【变式训练3-2】．（2021·陕西高二期末（文））已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
作出函数的图象，得出函数的趋势，由图象可得结论．
【详解】作出函数的图象，如图，
由图象可知当时，的图象与直线有两个交点，即方程有且仅有两个不等的实数根．
故答案为：．
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一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 二分法求函数零点的近似值
二分法的概念
对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。[]
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使 。
（2）求区间的中点， 。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点 ）；
若则令（此时零点 ）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
知识点二 函数的零点与方程的根
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .
2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .
3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.
三、题型突破
重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间
例1.（1）、（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）函数的零点所在的大致范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
（2）、（2018·广东·佛山实验中学高一月考）下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）.
A． B． C． D．
（3）、（2021·全国·高一课时练习）已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：
1 2 3 4 5 6 7
23 9 -7 11 -5 -12 -26
函数在区间上的零点至少有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式训练1-1】、（2021·广东·汕头市潮师高级中学高一月考）函数零点所在的整区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】．（2021·北京八中高一期中）已知函数，在下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点
C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点
【变式训练1-3】．（2020·云南昆明八中）用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下：
根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为_________.
重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数
例2．（1）、（2021·四川·东辰国际学校高一月考）已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为_______.
（2）、（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）已知定义域为R的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为_________.
【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2】．（2021·湖南省岳阳县第一中学高一期中）已知函数，若存在实数b，使得关于x的方程=b有三个不同的根，则m的取值范围是___________.
重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围
例3．（1）、（2021·上海·高一专题练习）方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
（2）．（2021·云南省玉溪第一中学（文））已知函数（为自然对数的底数），若函数恰好有两个零点，则实数等于___________.
【变式训练3-1】．（2021·重庆八中高三月考）己知函数，若存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2021·陕西高二期末（文））已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.
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