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专题8.2 函数与数学模型
A组 基础巩固
1．（2021·河南信阳·高一期中）由于采取有效的防控措施，我国很快控制了新冠病毒的传播，工厂复工复产，收到很好的经济效益．某厂今年上半年的两个季度生产总值持续增加．第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设平均增长率，利用题干中的关系列出方程，求出结果
【详解】
设平均增长率为（），则有，解得，或（舍去）．
故选：D．
2．（2021·江苏·高一期中）药物治疗作用与血液中药物浓度（简称血药浓度）有关，血药浓度C（t）（单位mg/ml）随时间t(单位：小时)的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为mg/ml，2小时后测得血药浓度为mg/ml，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为mg/ml时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为()（ ）小时
A．3.0 B．3.5 C．3.7 D．4.2
【答案】C
【分析】
先根据题意得到方程组，求出与，进而得到关系式，再代入，求出第二次注射与第一次注射的间隔时间t约为多少
【详解】
由题意得：，两式相除，得：，把代入，解得：，所以，令得：，解得：，由换底公式得：，所以
故选：C
3．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（ ）
A．50 B．53 C．60 D．66
【答案】A
【分析】
根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以，整理得
所以，由于为非零常数，
所以.
故选：A
4．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了（ ）个“半衰期”.（参考数据）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设生物组织内原有的碳含量为，经过n个半衰期后含量为，根据题意建立不等式求解即可.
【详解】
由题意可设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个半衰期才能不被测到碳，
则，即，
所以，，，
所以.
故选：B
5．（2021·福建省福州第一中学高一期中）某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设年增长率为，由题意可得，从而即可求解.
【详解】
解：设年增长率为，由题意可得，即，
所以，解得，
所以投入科研资金的年均增长率约为，
故选：A.
6．（2021·福建省福州第一中学高一期中）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近视满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．8 D．6
【答案】D
【分析】
由已知模型列出不等式后，取对数变形求解．
【详解】
由已知，显然，
，两边取自然对数有：，
，所以，．
的最小值为6．
故选：D．
7．（2021·江苏·盐城中学高一期中）2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行.基本再生数与代间隔T是流行病学基本参数.其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】
结合题意首先求出的值，进而设累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，得到方程，求解即可得到结果.
【详解】
把，代入，则，即，
所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，则，故，
故选：B.
8．（2021·北京·牛栏山一中高三月考）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为，函数的图象如图所示．如果商场规定顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的图象过点，求得函数的解析式，令，求得的值，即可求得结果.
【详解】
根据函数的图象，可得函数的图象过点，
代入函数的解析式，可得，解得，所以，
令，可得或，
解得或，
所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是.
故选：A.
9．（2021·全国·高一课时练习）美妙的声音无处不在，各种噪音也会时时影响人们的生活，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB）．对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设dB的声音强度为，dB的声音强度为，则是的（ ）
A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【分析】
由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，再计算出倍数．
【详解】
解：由题意，得，则有．同理得，所以．
故选：B
10．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为（k为正常数，为原污染物数量）．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A．10小时 B．4小时 C．2小时 D．少于1小时
【答案】B
【分析】
根据前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，求得函数关系式，然后再由规定排放时污染物的残留含量不得超过1%求解．
【详解】
解：因为前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，
已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为，
所以，即，
解得，
所以，
又因为规定排放时污染物的残留含量不得超过1%，
所以，即，
解得，
所以要按规定排放废气，至少还需要过滤小时，
故选：B
11．（2021·湖南·长沙市明德中学高一期中）某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为___________元.
【答案】150
【分析】
对函数关系式配方，利用二次函数的性质判断即可
【详解】
因为，
所以当时，y取最大值.
故答案为：150
12．（2021·江苏·泰州中学高一期中）太阳光通过一块普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的．设太阳光中原来的紫外线的强度为，通过x块普通玻璃后紫外线强度为y，则．要达到上述型号的防紫外线玻璃同样的过滤效果，至少需要的普通玻璃块数为________（参考数据：）
【答案】11
【分析】
根据题意，取对数可得，即，即可求出.
【详解】
根据题意有，则，
两边同时取常用对数得，即，
因为，所以，
因为，故至少需要的普通玻璃块数为11.
故答案为：11.
13．（2021·全国·模拟预测）北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．在所有航天工程中，火箭都起着非常重要的作用，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中（单位：千米/秒）表示火箭发动机的喷射速度，m（单位：吨）表示火箭装载的燃料质量，M（单位：吨）表示火箭自身（除燃料外）的质量．若某型号的单节火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭的最大速度增量v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则该火箭装载的燃料质量m与火箭自身质量M的比值约为______．（）
【答案】3.85
【分析】
把相关数据代入公式，解方程即可．
【详解】
由题意知，，则，解得：．
故答案为：3.85
14．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155
【答案】5
【分析】
根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.
【详解】
因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,
x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，
由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，
所以，两边取对数得， ，
，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.
故答案为：5
15．（2021·江苏·金陵中学高一期中）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从_________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．（参考数据：）
【答案】2026
【分析】
第n年包装垃圾为，解不等式即得解.
【详解】
第n年(2021为第一年)包装垃圾为，
令，解得
所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．
故答案为：2026
16．（2021·全国·高一单元测试）某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝）
【答案】83.0．
【分析】
根据一台机器发出的噪声声强级求出I，进而求出两台机器发出的噪声声强级.
【详解】
根据题意，，则两台相同的机器一同运转时，发出的噪声声强级为（分贝）
故答案为：83.0.
17．（2021·北京市十一学校高一期中）已知在十一食堂，一碗面的成本为5元，售价为元，每天可以卖出碗，经过长期研究发现，二者之间存在函数关系，若要在食堂卖面的利润最高，则一碗面的售价应该定为________.
【答案】
【分析】
设食堂卖面的利润为S，有，根据二次函数的性质可求得答案.
【详解】
解：设食堂卖面的利润为S，则
，
当时，S取得最大值，
故答案为：.
18．（2021·河北张家口·高一期中）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润最大化，每件销售价为____________元．
【答案】
【分析】
销售价格为每件元，销量为，建立销售价格和利润的函数关系式，然后再由二次函数的性质求最大值即可求解.
【详解】
设销售价定为每件元，利润为元，则销量为，
由可得：，
利润为
，
所以当销售价格为每件元时，每天所赚的利润最大，
故答案为：.
19．（2021·北京丰台·高一期中）甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论：
① 当时，乙总走在最前面；
② 当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；
③ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③
【分析】
根据题意，可知甲、乙、丙三个物体的路程对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数，当和时，代入计算即可判断①；根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象，结合图象即可判断②；根据指数函数的增长速度先慢后快的特征，即可判断③；从而可得出结果.
【详解】
解：已知甲、乙、丙三个物体的路程关于时间的函数关系式，
分别为，，，
可知它们相对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数，
当时，，当时，，
可知当时，乙不总是走在最前面，故①不正确；
根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象，
当时，，则甲、乙、丙三个物体的路程相等，
由图象可知当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；故②正确；
由于指数函数的增长速度先慢后快，
当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，
所以如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲，故③正确.
故答案为：②③.
B组 能力提升
20．（2021·福建·厦门一中高一期中）如图，某河塘浮萍面积（y（m2）与时间（月）的关系式为，下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．浮萍每月的增长率都为200%
C．第6个月时，浮萍面积会超过200m2
D．若浮萍面积蔓延到10m2，20m2，40m2所需时间分别 为，则
【答案】BCD
【分析】
通过点坐标得到，浮萍每月增加的面积不相等，A错误，每月增长率为，B正确，当时，，C正确，利用对数运算得到D正确，得到答案.
【详解】
函数过点和，故，，解得，，故.
函数为曲线型函数，故浮萍每月增加的面积不相等，A错误；
每月增长率为，B正确；
当时，，C正确；
，故，同理，，
，D正确.
故选：BCD.
21．（2021·全国·高一课时练习）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
【答案】AC
【分析】
根据函数图像依次分析各选项即可得答案.
【详解】
由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
22．（2021·浙江省桐庐中学高一期中）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（ ）．
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
【答案】AD
【分析】
利用度指数、对数的运算性质逐一判断即可得出选项.
【详解】
因为，所以，故A正确；
因为，所以B错误；
因为，，所以C错误，D正确．
故选：AD
23．（2021·全国·高一课时练习）在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
则下列说法正确的是（ ）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
【答案】BD
【分析】
根据图象特征即可判断.
【详解】
因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5min每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则BD正确．
故选：BD.
24．（2021·全国·高一课时练习）甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
【答案】ACD
【分析】
甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；设的坐标为，由题得，则有，解可得，所以选项C正确；当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
【详解】
根据题意，甲一共加工的时间为分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，
设的坐标为，
在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，
则有，
在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，
则，
则有，解可得；
即点的坐标是，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为个，
所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；
当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
故选：ACD
25．（2021·山西·高一期末）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关：当每月投入的研发经费不高于16万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B．要再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D．要想获得最大利润，还需要再投入研发经费1万元
【答案】BC
【分析】
配方二次函数即可求得最大利润，结合均值不等式求得利润率最大值．
【详解】
当时，，
故当时，获得最大利润为，B正确；
由研发利润率
当且仅当即时，研发利润率取得最大值2，C正确．
故选：BC
26．（2021·广东珠海·高一月考）在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量.已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为万元，已知当产量不足80千件时，（万元）；当产量不小于80千件时，万元，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完.
（1）求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润的解析式；
（2）求产量为多少千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，并求出最大利润.
【答案】
（1）；
（2）产量为70千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，最大利润为1450万元.
【分析】
(1)根据给定条件利用利润等于销售收入减去成本，再分段计算列式即可求出的解析式.
(2)利用(1)的函数式，求出每一段上的函数最大值，再比较即可作答.
（1）
依题意，当时，，
当时，，
所以利润的解析式为：.
（2）
由(1)知，当时，，当且仅当时，取“=”，
当时，，当且仅当，即时取“=”，
而，于是得当时，，
所以产量为70千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，最大利润为1450万元.
27．（2021·湖南师大附中高一期中）近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入也大量增加．长沙某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元．设该企业一年内生产该产品万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低，已知每万台产品的销售收入为万元，满足：
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数关系式；（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？
【答案】
（1）
（2）30万台，最大利润为2270万元
【分析】
（1）由已知条件，根据利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本即可建立年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数关系式；
（2）根据（1）所得分段函数，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案.
（1）
解：当时，，
当时，，
所以，
（2）
解：当时，，
则函数在上单调递增，故当时，取得最大值，且最大值为2220；
当时，
，
当且仅当，即（负值舍去）时等号成立，此时取得最大值，且最大值为2270，
因为，
所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元.
28．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）
【答案】
（1）；.
（2）公司最大利润为9千万，此时生产芯片投入的资金为4千万.
【分析】
(1)结合已知条件和图像分别求解即可；(2)根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可.
（1）
(i)不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，
从而，故；
(ii)、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，
由图像可知，的图像过点，即，解得，
故所求函数关系式为.
（2）
由题意可知，，
由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值9.
29．（2021·全国·高一课时练习）如图，用长为30m的篱笆．围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，且花圃的一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的一边AB为，面积为，求y与x的函数解析式．
【答案】，
【分析】
由面积公式结合图形求解即可
【详解】
花圃的一边AB为，面积为，
则，
依题意，解得，
所以，
30．（2021·山东菏泽·高三期中）已知生产某种产品需投入成本万元（不含促销费用），且产品的销售价格定为元/件.若该种产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，为正常数）.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润=销售收入—促销费—投入成本）
（2）当促销费用投入多少万元时，生产该产品的利润最大？
【答案】
（1）
（2）当时，促销费用投入2万元，利润最大；当时，促销费用投入万元，利润最大.
【分析】
（1）根据利润公式结合已知条件即可列出函数表达式；
（2）利用基本不等式结合对勾函数的性质即可求解.
（1）
解：由题意知，①
因为，即
将代入①化简得：
.
（2）
解：，
当且仅当，即时，上式取等号.
当时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当时，由对勾函数的性质可知：在上单调递减
所以在上单调递增，
即时，函数有最大值
所以促销费用投入a万元时，生产该产品的利润最大.
综上，当时，促销费用投入2万元，利润最大；
当时，促销费用投入万元，利润最大.
31．（2021·江苏省镇江中学高一期中）今年某电商平台利用“双十一”对某品牌豆浆机进行促销，经前期调查测算，该品牌豆浆机在“双十一”期间的销售量x万台与其在这个期间的促销费用万元近似满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该豆浆机的销售量是1万台．为更好迎接“双十一”销售高峰，电商平台需租用仓库囤货及聘用管理人员，需固定投入6万元，每台豆浆机进货价300元，电商平台将每台豆浆机的销售价格定为每台豆浆机平均成本的1.5倍（豆浆机成本包括固定投入和购买豆浆机的费用），设该电商平台今年“双十一”促销此品牌豆浆机的利润为y（万元），它关于促销费用t（万元）的函数为．（利润=销售总额-所有费用之和）
（1）求k的值以及函数的解析式；
（2）该电商平台今年“双十一”投入的促销费用多少万元时，利润最大？
【答案】
（1），
（2）该电商平台今年“双十一”投入的促销费用为万元时，利润最大.
【分析】
（1）由题意把，代入即可求出k，求出每件产品的销售价格，由利润等于销售总额减去所有费用之和，即可得到数的解析式；
（2）利用基本不等式求最值即可得解.
（1）
由题意可知，当时，
，解得
每件产品的销售价格为元，且
所以利润
所以函数的解析式：
（2）
，，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以该电商平台今年“双十一”投入的促销费用为万元时，利润最大.
32．（2021·全国·高一课时练习）设银行一年期定期储蓄年利率为，若存款到期不取出继续留存于银行，则银行自动将本金及本期利息之和（本利和）自动转存一年期定期储蓄．
（1）设本金为a元，本利和为y，写出y关于存入年数x的函数关系式；
（2）银行通常以大额定期储蓄浮动利率吸引居民储蓄．以某银行为例，10万元及以上的大额定期储蓄一年期定期储蓄年利率为2.75%，每满一年自动转存；三年期定期储蓄年利率为3.8%，按单利计算，即满一年产生的利息下一年不计息．现某人有20万元，准备存入银行三年，问该人选择哪一种方式存款，3年后获利息较多？多多少元？（精确到1元）
【答案】
（1）；
（2）选择三年期定期储蓄存款，3年后获得利息较多，多5842元
【分析】
（1）根据题设等量关系列出等式即可；
（2）计算出两种方式的获息，再比较大小即可.
（1）
由题意，；
（2）
选择三年期定期储蓄，3年后的利息为（万元）（元）；
选择一年期定期储蓄，每满一年自动转存，3年后的利息为（万元）（元）．
（元）．
所以，选择三年期定期储蓄存款，3年后获得利息较多，多5842元.
33．（2021·福建福州·高一期中）如图，已知中，，点P从B点沿线段BC运动到C点，过P做BC的垂线L，与折线B-A-C交于M点，记直线L右侧阴影部分的多边形为Ω，设BP=4x，Ω的面积为，Ω的周长为.
（1）和的解析式；
（2）记，求的最大值.
【答案】
（1），
（2）1
【分析】
（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长；
（2）求出F（x），分，两种情况，求出每种情况下的最大值，看谁更大即可.
（1）
做△ABC的高AD，AB＝AC＝10，BC＝16，则AD＝6，
，设垂线段PM长为h，
当，即时，，
，
，
当，即时，，
，
；
，
（2）
当时，，
当且仅当，即时等号成立；
的最大值．
当时，，
当且仅当时等号成立；
故最大值为1.
34．（2021·广西河池·高二月考（理））某开发商用万元购得一块土地，计划在此地块建造单层面积是平方米的楼房一座，由于受规划限制，楼房高度限制在层到层中间，经测算如果所建楼房超过层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）
（1）试写出楼房每平方米平均综合费用关于建造层数的函数关系式；
（2）该楼房应建造多少层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少？若开发商能承受的综合建造费用为每平方米元，则该楼房可以盖多少层？
（注平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用）
【答案】
（1）
（2）应建造15层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少；该楼房最多可以盖20层.
【分析】
（1）根据平均综合费用公式得出函数关系式
（2）利用基本不等式即可求出最值，根据开发商能承受的费用列不等式求解.
（1）
根据平均综合费用公式得
（2）
，
当且仅当，即时等号成立，
即该楼房应建造15层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少
若开发商能承受的综合建造费用为每平方米元，
则，解得
故该楼房最多可以盖20层.
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专题8.2 函数与数学模型
A组 基础巩固
1．（2021·河南信阳·高一期中）由于采取有效的防控措施，我国很快控制了新冠病毒的传播，工厂复工复产，收到很好的经济效益．某厂今年上半年的两个季度生产总值持续增加．第一季度的增长率为，第二季度的增长率为，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·高一期中）药物治疗作用与血液中药物浓度（简称血药浓度）有关，血药浓度C（t）（单位mg/ml）随时间t(单位：小时)的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为mg/ml，2小时后测得血药浓度为mg/ml，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为mg/ml时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为()（ ）小时
A．3.0 B．3.5 C．3.7 D．4.2
3．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（ ）
A．50 B．53 C．60 D．66
4．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了（ ）个“半衰期”.（参考数据）
A． B． C． D．
5．（2021·福建省福州第一中学高一期中）某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·福建省福州第一中学高一期中）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近视满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．8 D．6
7．（2021·江苏·盐城中学高一期中）2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行.基本再生数与代间隔T是流行病学基本参数.其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
8．（2021·北京·牛栏山一中高三月考）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为，函数的图象如图所示．如果商场规定顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高一课时练习）美妙的声音无处不在，各种噪音也会时时影响人们的生活，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB）．对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设dB的声音强度为，dB的声音强度为，则是的（ ）
A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍
10．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为（k为正常数，为原污染物数量）．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A．10小时 B．4小时 C．2小时 D．少于1小时
11．（2021·湖南·长沙市明德中学高一期中）某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为___________元.
12．（2021·江苏·泰州中学高一期中）太阳光通过一块普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的．设太阳光中原来的紫外线的强度为，通过x块普通玻璃后紫外线强度为y，则．要达到上述型号的防紫外线玻璃同样的过滤效果，至少需要的普通玻璃块数为________（参考数据：）
13．（2021·全国·模拟预测）北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．在所有航天工程中，火箭都起着非常重要的作用，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中（单位：千米/秒）表示火箭发动机的喷射速度，m（单位：吨）表示火箭装载的燃料质量，M（单位：吨）表示火箭自身（除燃料外）的质量．若某型号的单节火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭的最大速度增量v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则该火箭装载的燃料质量m与火箭自身质量M的比值约为______．（）
14．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155
15．（2021·江苏·金陵中学高一期中）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从_________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．（参考数据：）
16．（2021·全国·高一单元测试）某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝）
17．（2021·北京市十一学校高一期中）已知在十一食堂，一碗面的成本为5元，售价为元，每天可以卖出碗，经过长期研究发现，二者之间存在函数关系，若要在食堂卖面的利润最高，则一碗面的售价应该定为________.
18．（2021·河北张家口·高一期中）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润最大化，每件销售价为____________元．
19．（2021·北京丰台·高一期中）甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论：
① 当时，乙总走在最前面；
② 当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；
③ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号是___________．
B组 能力提升
20．（2021·福建·厦门一中高一期中）如图，某河塘浮萍面积（y（m2）与时间（月）的关系式为，下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．浮萍每月的增长率都为200%
C．第6个月时，浮萍面积会超过200m2
D．若浮萍面积蔓延到10m2，20m2，40m2所需时间分别 为，则
21．（2021·全国·高一课时练习）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
22．（2021·浙江省桐庐中学高一期中）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（ ）．
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
23．（2021·全国·高一课时练习）在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
则下列说法正确的是（ ）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
24．（2021·全国·高一课时练习）甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
25．（2021·山西·高一期末）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关：当每月投入的研发经费不高于16万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B．要再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D．要想获得最大利润，还需要再投入研发经费1万元
26．（2021·广东珠海·高一月考）在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量.已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为万元，已知当产量不足80千件时，（万元）；当产量不小于80千件时，万元，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完.
（1）求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润的解析式；
（2）求产量为多少千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，并求出最大利润.
27．（2021·湖南师大附中高一期中）近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入也大量增加．长沙某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元．设该企业一年内生产该产品万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低，已知每万台产品的销售收入为万元，满足：
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数关系式；（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？
28．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金）
29．（2021·全国·高一课时练习）如图，用长为30m的篱笆．围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，且花圃的一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的一边AB为，面积为，求y与x的函数解析式．
30．（2021·山东菏泽·高三期中）已知生产某种产品需投入成本万元（不含促销费用），且产品的销售价格定为元/件.若该种产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，为正常数）.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润=销售收入—促销费—投入成本）
（2）当促销费用投入多少万元时，生产该产品的利润最大？
31．（2021·江苏省镇江中学高一期中）今年某电商平台利用“双十一”对某品牌豆浆机进行促销，经前期调查测算，该品牌豆浆机在“双十一”期间的销售量x万台与其在这个期间的促销费用万元近似满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该豆浆机的销售量是1万台．为更好迎接“双十一”销售高峰，电商平台需租用仓库囤货及聘用管理人员，需固定投入6万元，每台豆浆机进货价300元，电商平台将每台豆浆机的销售价格定为每台豆浆机平均成本的1.5倍（豆浆机成本包括固定投入和购买豆浆机的费用），设该电商平台今年“双十一”促销此品牌豆浆机的利润为y（万元），它关于促销费用t（万元）的函数为．（利润=销售总额-所有费用之和）
（1）求k的值以及函数的解析式；
（2）该电商平台今年“双十一”投入的促销费用多少万元时，利润最大？
32．（2021·全国·高一课时练习）设银行一年期定期储蓄年利率为，若存款到期不取出继续留存于银行，则银行自动将本金及本期利息之和（本利和）自动转存一年期定期储蓄．
（1）设本金为a元，本利和为y，写出y关于存入年数x的函数关系式；
（2）银行通常以大额定期储蓄浮动利率吸引居民储蓄．以某银行为例，10万元及以上的大额定期储蓄一年期定期储蓄年利率为2.75%，每满一年自动转存；三年期定期储蓄年利率为3.8%，按单利计算，即满一年产生的利息下一年不计息．现某人有20万元，准备存入银行三年，问该人选择哪一种方式存款，3年后获利息较多？多多少元？（精确到1元）
33．（2021·福建福州·高一期中）如图，已知中，，点P从B点沿线段BC运动到C点，过P做BC的垂线L，与折线B-A-C交于M点，记直线L右侧阴影部分的多边形为Ω，设BP=4x，Ω的面积为，Ω的周长为.
（1）和的解析式；
（2）记，求的最大值.
34．（2021·广西河池·高二月考（理））某开发商用万元购得一块土地，计划在此地块建造单层面积是平方米的楼房一座，由于受规划限制，楼房高度限制在层到层中间，经测算如果所建楼房超过层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）
（1）试写出楼房每平方米平均综合费用关于建造层数的函数关系式；
（2）该楼房应建造多少层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少？若开发商能承受的综合建造费用为每平方米元，则该楼房可以盖多少层？
（注平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用）
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