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专题8.2 函数与数学模型
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 一次函数与二次函数模型
1、（1）．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论
知识点二 指数增长模型与对数增长模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
【特别提醒】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
三、题型突破
重难点题型突破1 一次函数、二次函数模型
例1．（1）、（2021·福建福州·高一期中）若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.己知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（ ）
A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间
【答案】B
【分析】
由题意列出关系式，并解不等式.
【详解】
设售价为，利润为，
则，
由题意，
即，
解得，
即售价应定为元到元之间，
故选：B.
（2）、（2021·浙江浙江·高一期末）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令解不等式可得答案.
【详解】
根据题意可得，解得，
则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.
故选：A.
【变式训练1-1】．（2021·黑龙江·大庆实验中学高一月考）依法纳税是每个公民应尽的义务.根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，个人综合所得税根据全年应纳税所得额和税率来确定，计算公式为：个人综合所得税=全年应纳税所得额×税率；全年应纳税所得额的计算公式为：全年应纳税所得额=全年综合所得收入额-基本减除费用(六万元)-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除；
税率（见下表）：
级数 全年应纳税所得额 税率（%）
1 不超过36000元的 3
2 超过36000元至144000元的部分 10
3 超过144000元至300000元的部分 20
4 超过300000元至420000元的部分 25
5 超过420000元至660000元的部分 30
6 超过660000元至960000元的部分 35
7 超过960000元的部分 45
若小陈全年缴纳的个人综合所得税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除总计为50000元，则小陈全年综合所得收入额为___________.（单位：元）
【答案】186250
【分析】
根据给定信息探求出小陈全年应纳税所得额在36000元到144000之间，设小陈全年综合所得收入额为x元，列出方程求解即得.
【详解】
若小陈全年应纳税所得额恰好为36000元，则应缴纳个税为，
若小陈全年应纳税所得额恰好为144000元，则应缴纳个税为，
因，则小陈全年应纳税所得额在36000元到144000元之间，
设小陈全年综合所得收入额为x元，则，
即，解得，
所以小陈全年综合所得收入额为186250元.
故答案为：186250
【变式训练1-2】．（2021·辽宁·大连八中高一期中）（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【答案】BCD
【分析】
根据题意依次计算每个选项的车费或行驶距离得到答案.
【详解】
出租车行驶2km，乘客需付费元，A错误；
出租车行驶10km，乘客需付费元，B正确；
某人乘出租车行驶5km两次的费用为元，乘出租车行驶10km一次的费用为元，C正确；
当行驶8公里时，费用为，，，，D正确.
故选：BCD.
重难点题型突破6 指数函数、对数函数与模函数模型
例2．（1）、（2021·北京市第一六一中学高一期中）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在的保鲜时间是8小时；
②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．①③④
【答案】B
【分析】
根据时，保鲜时间是16小时，求出，根据解析式计算可知①正确；
根据当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，可知②错误；计算出在某日上午10时购买了该食品的保鲜时间可知③④不正确.
【详解】
由题意可得，当时，保鲜时间是16小时，即，解得，
∴，
所以当x=6时，t=8，
故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；
②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少，故错误；
③到了此日11时，温度超过10度，此时保鲜时间不超过2小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，
故正确的结论的序号为：①④，
故选：B
（2）、（2022·浙江·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
【答案】A
【分析】
药在血液中以每小时的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．
【详解】
设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则，，，，
．
故选：A．
例3．（2021·天津·高一期末）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
【分析】
（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可；
（2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；
【详解】
解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；当x≥40，100x∈N时，
综上，
（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900.综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
【点睛】
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
例4．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，设茶水温度从85℃开始，经过分钟后的温度为℃，且满足
（1）求常数的值；
（2）经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到1分钟）.
【答案】
（1）；
（2）7分钟.
【分析】
(1)根据给定条件，将代入即可计算得解.
(2)由(1)的结论，将代入并借助对数计算即可得解.
（1）
依题意，当时，，于是得，解得，
所以常数的值是.
（2）
由(1)知，当时，，
当时，，即，两边取对数得，
，因此，(分钟)
所以刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感.
例5．（2022·上海·高三专题练习）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.
（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；
（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将化为：，然后将代入中求解即可；
（2）将代入得，然后进行指对互化求解的值.
【详解】
解：因为，所以，
当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，将代入得：
；
（2）令，即，得，解得.
例6．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售亘p（万只）与投入广告费x（万元）之问的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则m的最大值是多少？
（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
【答案】
（1）
（2）当投入万元广告费时，该产品可获最大年利润，最大年利润为万元.
【分析】
（1）首先求得，代入可得销售额，根据年利润销售价销售额产品成本广告费，可构造不等式求得；
（2）根据年利润销售价销售额产品成本广告费可得，将配凑成符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.
（1）
当投入广告费为万元时，销售量为万只，
，解得：，
，
则当时，；
现每只产品的销售价为，
，
解得：，即的最大值为；
（2）
由（1）知：；
当时，现每只产品的销售价为，
\
（当且仅当，即时取等号），
当投入万元广告费时，该产品可获最大年利润，最大年利润为万元.
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专题8.2 函数与数学模型
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 一次函数与二次函数模型
1、（1）．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论
知识点二 指数增长模型与对数增长模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
【特别提醒】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
三、题型突破
重难点题型突破1 一次函数、二次函数模型
例1．（1）、（2021·福建福州·高一期中）若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.己知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（ ）
A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间
（2）、（2021·浙江浙江·高一期末）已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．（2021·黑龙江·大庆实验中学高一月考）依法纳税是每个公民应尽的义务.根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，个人综合所得税根据全年应纳税所得额和税率来确定，计算公式为：个人综合所得税=全年应纳税所得额×税率；全年应纳税所得额的计算公式为：全年应纳税所得额=全年综合所得收入额-基本减除费用(六万元)-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除；
税率（见下表）：
级数 全年应纳税所得额 税率（%）
1 不超过36000元的 3
2 超过36000元至144000元的部分 10
3 超过144000元至300000元的部分 20
4 超过300000元至420000元的部分 25
5 超过420000元至660000元的部分 30
6 超过660000元至960000元的部分 35
7 超过960000元的部分 45
若小陈全年缴纳的个人综合所得税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除总计为50000元，则小陈全年综合所得收入额为___________.（单位：元）
【变式训练1-2】．（2021·辽宁·大连八中高一期中）（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
重难点题型突破6 指数函数、对数函数与模函数模型
例2．（1）、（2021·北京市第一六一中学高一期中）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在的保鲜时间是8小时；
②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．①③④
（2）、（2022·浙江·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
例3．（2021·天津·高一期末）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
例4．（2021·上海市嘉定区第二中学高三月考）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，设茶水温度从85℃开始，经过分钟后的温度为℃，且满足
（1）求常数的值；
（2）经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到1分钟）.
例5．（2022·上海·高三专题练习）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（为自然对数的底）.
（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：）结果精确到0.1）；
（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到0.1）.
例6．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售亘p（万只）与投入广告费x（万元）之问的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．
（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.25万元，则m的最大值是多少？
（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？
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