(共34张PPT)
6.1.1 向量的概念
第六章
2021
课标阐释
1.理解向量的有关概念及向量的表示方法.(数学抽象)
2.理解共线向量、相等向量的概念.(数学抽象)
3.正确区分向量平行与直线平行.(数学抽象)
4.能够正确理解向量的含义及相关概念并解决相应的问题.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
如图,民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班.每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们的位移是不同的.
在数学上位移就是一种向量,向量就是本节乃至本章我们要学习的内容.
【知识点拨】
知识点一:向量的概念及表示
1.向量
概念 既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)
表示 用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为,此时向量的大小用||表示
代数 表示 印刷时,通常用加粗的斜体小写字母来表示向量,书写时,用带箭头的小写字母来表示向量
2.标量
只有大小的量称为标量.例如,年龄、身高、长度、面积、体积、质量等.
名师点析 1.向量与标量的辨析
向量与标量的区别:向量有方向,而标量没有方向;标量与标量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
2.有向线段与向量的区别和联系
区别 从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此,这是两个不同的量.在空间中,有向线段是固定的线段,而向量是可以自由平移的
联系 有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段
微思考
位移与距离(路程)有怎样的区别
提示 位移只与质点的起(始)点和终点的位置有关,与其实际运动的路线无关;而路程与它行走的路线有关.
微练习
下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案 C
解析 ②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.
知识点二:与向量有关的概念
名称 定义 记法
向量的模(或长度) 向量的大小称为向量的模(或长度) |a|
零向量 始点和终点相同的向量 0
单位向量 模等于1的向量 —
相等向量 大小相等、方向相同的向量 a=b
向量共线 或平行 两个非零向量的方向相同或相反 规定:零向量与任意向量平行 a∥b
0∥a
名师点析 1.对0、单位向量的理解
(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与始点重合.
(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时
表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
(3)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
(4)在平面内,将所有单位向量的始点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
2.对向量平行的理解
(1)向量平行(共线)时,向量所在的直线平行或重合.
(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等.
(3)任一向量a都与它本身是平行向量.
微思考
若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系
提示 若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.
微判断
(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.( )
(2)任意两个单位向量都相等.( )
×
×
×
微练习
A.相等的向量
B.平行的向量
C.有相同起点的向量
D.模相等的向量
答案 D
课堂篇 探究学习
探究一
向量的有关概念
例1有下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;
③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;
④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误.
反思感悟 1.判断两个向量相等应从两个方面入手:
(1)是否大小相等;
(2)是否方向相同.
2.零向量和单位向量
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同.
变式训练1给出下列命题:
①两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;
④若a=b,b=c,则a=c.
其中所有真命题的序号为 .
答案 ②③④
解析 两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故①不正确.
单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故②正确.
③④显然正确.故所有真命题的序号为②③④.
探究二
向量的表示及应用
例2(1)如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出 个向量.
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),
用直尺和圆规画出下列向量:
反思感悟 向量的两种表示方法
(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.
(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母表示向量,如
变式训练2一架飞机从点A向西北方向飞行200 km 到达点B,再从点B向正东方向飞行100 km到达点C,再从点C向正东方向飞行100 km到达点D,求飞机从点D飞回点A的位移.
探究三
相等向量与共线向量
分析所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合;(2)长度是边长为2的正方形的对角线.
反思感悟 (1)寻找相等向量要把握住向量的两要素:大小和方向,相等向量必须二者都相同才成立.同时,向量是可以平移的,相等向量的起点并不一定要相同.
(2)对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的模大小无关,故寻找非零共线向量时,只需判断两向量所在的直线是否平行或重合.
变式训练3设点O为正八边形ABCDEFGH的中心,如图,以图中字母为始点或终点,分别写出:
当堂检测
1.下列说法错误的是( )
A.零向量与任一向量平行
B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.零向量的长度为0
D.方向相反的两个非零向量必不相等
答案 B
2.下列结论正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
答案 C
3.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100 米,则此人位移的方向是( )
A.南偏东60° B.南偏东45°
C.南偏东30° D.南偏东15°
答案 C
答案 2(共37张PPT)
6.1.2 向量的加法
第六章
2021
课标阐释
1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律.(数学抽象)
2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行加法运算.(数学抽象、直观想象)
3.理解数的加法与向量的加法的联系与区别.(逻辑推理)
4.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.(直观想象)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
“马走日”是中国象棋中“马”的走法,是指“马”走一步时只能是从一个“日”字形棋格的一个顶点跳到与之对角的顶点.我们可以用从出发点到目的点的有向线段来表示马走了“一步”.即“马”每走一步可以用一个向量来表示.那么想要让“马”从棋盘上的一个点走到它所在位置左侧的相邻点,应该如何实现呢
【知识点拨】
知识点一:向量加法的定义及求和法则
特别地,对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.
2.向量求和的法则
名师点析 对向量加法的两种法则的理解
1.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向量共线时,平行四边形法则便不再适用.
2.向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
3.向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
名师点析 解决向量模的问题的两种方法
1.依据图形特点,适当运用三角形法则或平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系.
2.利用向量形式的不等式“||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|”求解时,一定要注意等号成立的条件.
微思考
(1)物理学中,位移的合成与分解遵循什么法则
提示 位移的合成与分解,都遵循平行四边形法则.
(2)两个不共线向量相加是模相加吗
提示 不是.因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加.由其几何意义知,两个向量的加法应满足求和法则.
(3)任意两个非零向量相加都可以用向量加法的平行四边形法则吗
提示 不一定.当两个向量共线时不能用向量加法的平行四边形法则.
微练习1
微练习2
已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则|a+b+c|的最大值为 .
答案 9
解析 ∵|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,
∴所求最大值为9,当且仅当a,b,c同向时取得最大值.
知识点二:向量加法的运算律
1.交换律:a+b= b+a .
2.结合律:(a+b)+c= a+(b+c) .
名师点析 对向量加法的运算律的理解
1.向量的加法与实数加法类似,都满足交换律和结合律,当向量a,b中至少有一个为零向量时,交换律和结合律依然成立.
2.由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行.例如:(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
微练习
下列各式不一定成立的是( )
A.a+b=b+a
B.0+a=a
D.|a+b|=|a|+|b|
答案 D
知识点三:多个向量相加
已知n个向量,依次把这n个向量首尾相接,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量称为这n个向量的和向量.
名师点析 对多个向量相加的理解
(1)多个向量相加是向量加法的三角形法则的推广,是由求两个向量的和推广到求多个向量的和,强调的也是“首尾相连”.
(2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时,各向量的和为0.
微练习
化简下列各式:
课堂篇 探究学习
探究一
向量加法运算法则的应用
例1(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
(2)①如图甲所示,求作向量a+b;
②如图乙所示,求作向量a+b+c.
分析(1)由平行四边形的性质得到有关的相等向量,并进行代换,然后用三角形法则化简;(2)用三角形法则或平行四边形法则画图.
(方法二)平行四边形法则:如图所示,
反思感悟 1.向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相连”,其和向量为“起点指向终点”的向量;利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”,其和向量为共起点的“对角线”向量.
探究二
向量加法运算律的应用
例2化简下列各式:
分析根据向量加法的交换律使各向量首尾连接,再运用向量加法的结合律调整后相加.
反思感悟 解决向量加法运算问题时的两个关键点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点字母、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列式子:
探究三
求与向量的模有关的问题
例3已知|a|=3,|b|=5,则向量a+b模长的最大值是 .
答案 8
解析 ∵|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a与b同向时取得最大值,∴|a+b|的最大值为8.
方法总结模的最值问题的解法
运用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行求解.
延伸探究 本例中a+b模长的最小值是 .
答案 2
解析 ∵|a+b|≥||a|-|b||=5-3=2当且仅当a与b反向时取得最小值,
∴|a+b|的最小值为2.
当堂检测
答案 A
2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
答案 C
4.设a,b都是单位向量,则|a+b|的取值范围是 .
答案 [0,2]
解析 a,b同向时,|a+b|取最大值2,
a,b反向时,|a+b|取最小值0,
a,b不共线时,|a+b|在(0,2)之间,
所以|a+b|的取值范围是[0,2].(共26张PPT)
6.1.3 向量的减法
第六章
2021
课标阐释
思维脉络
1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义.(数学抽象)
2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.(直观想象)
3.能够作出两个向量的差向量.(直观想象)
4.通过向量加减法的运算及简单应用,提高数学运算能力.(数学运算)
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
一架飞机由北京飞往上海,然后再由上海返回北京,我们把北京记作A点,上海记作B点,那么这辆飞机的位移是多少 怎样用向量来表示呢
【知识点拨】
1.向量的减法
(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作 x=a-b .
2.相反向量
(1)定义:给定一个向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作-a .
(2)性质:
①对于相反向量有:a+(-a)=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.
③零向量的相反向量仍是零向量.
名师点析 对向量减法的理解
(1)在用三角形法则作两个向量的差向量时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可.
(2)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算,即a-b=a+(-b).
微判断
(1)若a+b=0,则a,b互为相反向量,反之也成立.( )
(2)若a-b=a,则b=0.( )
(3)若a-b=-b,则a=0.( )
(4)若a=b,则a-b=0.( )
(5)当向量a,b起点重合时,向量a-b可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.( )
(6)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.( )
√
√
√
×
√
×
课堂篇 探究学习
探究一
向量的减法运算
反思感悟 向量减法运算的常用方法
探究二
向量减法的几何意义及简单应用
例2如图所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
分析利用几何意义法与定义法作出a+b-c的图.
反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路
1.可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
2.也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
变式训练2如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
探究三
求模的范围
反思感悟 向量a,b的模与a-b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,应用此结论时要注意等号成立的条件.
当堂检测
A.a-b B.b-a C.b+a D.-a-b
答案 D
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
答案 D
答案 2(共36张PPT)
6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算
第六章
2021
课标阐释
1.了解数乘向量的概念并理解数乘运算的几何意义.(数学抽象)
2.理解并掌握数乘向量的运算律,会进行向量的数乘运算.(数学运算)
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理)
4.会利用向量的加法、减法与数乘进行线性运算.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
在疾风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到雷声 这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量,光速的大小约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.
上述情境中涉及的速度之间有什么关系
【知识点拨】
知识点一:数乘向量
1.数乘向量的定义
一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:
(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下:
①当λ>0时,与a的方向 相同 ;
②当λ<0时,与a的方向 相反 .
(2)当λ=0或a=0时,λa= 0 .
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
2.数乘向量的定义说明,如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
3.数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
名师点析 对数乘向量的理解
1.实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.
2.若λa=0,则λ=0或a=0.
3.对于非零向量a, 表示a方向上的单位向量.
微判断
(1)对于任意的向量a,总有0a=0.( )
(2)当λ>0时,|λa|=λa.( )
(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.( )
×
×
×
微练习
已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a和向量2a-3b.
解 作法如图所示.
知识点二:向量的运算律
1.λ(μa)= (λμ)a .
2.λa+μa= (λ+μ)a .
3.λ(a+b)= λa+λb .(其中λ,μ∈R)
名师点析 向量的运算律的理解
要清楚数乘向量与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.
微练习
已知λ,μ∈R,下列关系正确的是( )
A.若λ=0,则λa=0 B.若a=0,则λa=0
C.|λa|=|λ|a D.λ(μ+a)=λμ+λa
答案 B
解析 根据数乘向量的定义知,λa仍为一向量,其模|λa|=|λ||a|,∴A,C均不正确;∵向量a与实数μ相加没有意义,∴λ(μ+a)=λμ+λa是一个不存在的式子, ∴D不正确.
知识点三:向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.
名师点析 对向量的线性运算的理解
1.已知某些向量,而要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题过程.
2.解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方法通常为代入消元法、加减消元法.
微练习
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
答案 B
课堂篇 探究学习
探究一
数乘向量的概念
例1(1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( )
A.|a|=|b| B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反
(2)若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则实数x的取值范围为 .
分析利用数乘向量的定义解题.
解析 (1)∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.
∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.
反思感悟 数乘向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解 (1)真命题.∵2>0,
∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
∵-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.
∴-2a与5a反向,且|-2a|= |5a|.
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.0a=0,0与任一向量共线.
探究二
向量的线性运算
例2化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
解 (1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.
反思感悟 数乘向量运算的方法总结
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
探究三
用已知向量表示未知向量
分析先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示.
反思感悟 已知向量表示未知向量的策略
用图形中的已知向量表示未知向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形间的关系,将未知向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.
探究四
三点共线问题
分析利用向量共线条件解答.
反思感悟 用向量共线的条件证明三点共线的方法
证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
当堂检测
答案 C
答案 A
答案 3
4.若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,m,n是未知向量,则m= ,n= .
