(共17张PPT)
日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的
不等关系，如：
长、短
大、小
轻、重
高、矮
问题情境
【说一说】请同学们举几个与不等关系相关的生活实例
文字语言
转化
文字语言 数学语言 文字语言 数学语言
大于 至多
小于 至少
大于等于 不少于
小于等于 不多于
一、新课讲解——不等关系
数学语言（建立数学模型）
≤
≥
≥
≤
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子 叫不等式。
不等式的定义：
【思考】：如何表示不等关系？
>
<
≥
≤
用不等式表示
1、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：
________
0
【小试牛刀】实际问题 数学问题
一、用不等式（组）来表示不等关系
【例题1】问题1、设点A与平面 的距离为d，B为平 面 上的任意一点，则d与AB关系？
问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于
20万元呢？
d
问题3、 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
【分析】：设截得500mm的钢管x根，截得600mm的 钢管y根
1、会用不等式（组）来表示实际问题中的不等关系；
2、数学思想：转化的思想。
【小结归纳】：
一、用不等式（组）来表示不等关系
已知对于任意两个实数a、b的大小可以比较，那么：
符号“ ”表示“等价于”，即可以互相推出。
作差比较法
理论依据
a-b＞0 a＞b;
a-b＝0 a＝b
a-b＜0 a＜b;
【思考】如何比较两个实数（代数式）的大小？
即利用作差法，判断其差的符号。
提公因式、因式分解、配方、通分等
作差
变形
定号
结论
【小结归纳】：
1、作差法比较大小步骤：
【注】这既是比较大小（证明不等式）的基本方法，
也是推导不等式性质的基础。
二、两个实数（代数式）大小的比较
【例题2】 当x>2时，比较x3与2x2-x+2的大小
2、数学思想：
分类讨论的思想（注意定义域）。
性质1 a>b
性质2 a>b，b>c
性质3 a>b a＋c b＋c
性质4 a>b，c>0 ac bc 或
a>b，c<0
性质5 a>b，c>d，则a+c b+d.
ba>c（传递性）
> (可加性)
>
ac（同向不等式的可加性，不等号方向不变）
>
三、不等式的基本性质：
性质6 a>b>0，c>d>0 ac bd.
>
（正数同向不等式可相乘）
证明：
> （乘方法则）
性质7 a>b>0，n∈N，n≥1 an bn
性质8 a>b>0，n∈N，n≥2
> （开方法则）
【练习】利用不等式性质判断对错
B
②
【练习】利用不等式性质判断对错
【注意】：一题多解——利用性质或特殊值法
（化繁为简）
四、不等式性质的应用——证明不等式
【注意】：紧扣基本性质证明问题。
在运用性质时，注意变形前后不等号的方向。
【例题3】
四、不等式性质的应用——证明不等式
四、不等式性质的应用——求取值范围
【课堂总结】
1、用不等式(组)来表示不等关系；
2、作差法比较两个实数或代数式的大小（步骤）；
3、不等式的8条性质及推导（注意易错点）；
4、不等式性质的应用——证明不等式、求范围等（紧扣性质）。
1、转化的思想：实际问题转化为数学问题(建立数学模型)；
2、类比的思想：等式的性质类比不等式性质；
3、讨论的思想：分类讨论（注意定义域）。
一、知识方面：
二、数学思想方面：
【作业布置】：
课本P63 练习A组1、2、3
课本P63 练习B组2、3(共18张PPT)
3.1 不等关系与不等式
（二）
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
3. 比较两个代数式的大小——作差比较法
→判断符号
作差
→变形
→得出结论
证明：
性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。
性质1：如果a>b，那么bb.
证明：
（传递性）
这个性质也可以表示为c性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：
性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
结论：不等式中的任何一项都可以改变符号后移到不等式另一边（移项法则）
性质3：如果a>b，则a+c>b+c.
证明：
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c，又因为c>d，
所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性
得a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.
性质7：
性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同号.
性质8：
性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.
以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据
1.对于实数 判断下列命题的真假
(1)若 则
(5)若 则
(3)若 则
(4)若 则
假
(2)若 则
真
假
假
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证 .
＞
证明：因为a > b >0,
于是
即
由 c < 0 , 得 ,
即
所以 ab >0,
>0.
思考？
能否用作差法证明 ？
例2.应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证： ；
证明：
（1）因为ab>0，所以
又因为a>b，所以
即
因此
（2）已知a>b>0，0证明：因为0又因为a>b>0，所以
即
1. 已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2） ；（3） 成立的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
A
2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( )
A．a-d>b-c B．
C．a+d>b+c D．ac>bd
C
练习
3. 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是 ( )
A．ab>ac B．(a-b)∣c-b∣>0
C．a∣c∣>b∣c∣ D．∣ab∣>∣bc|
B
18(2)若－3因为－4所以－16<(a－b)c2<0
5.
求:
的取值范围.
已知:函数
解：因为f(x)=ax2－c,
所以
解之得
所以f(3)=9a－c=
因为
所以
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
还有其它解法吗
提示:整体构造
利用对应系数相等
本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割断它们之间的联系
注意:
不等式的性质 内 容
对称性
传递性
加法性质
乘法性质
指数运算性质
倒数性质
要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.
关于不等式性质的学习要注意
紧扣基本性质证明问题.
小结(共15张PPT)
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。
杭州湾跨海大桥效果图
引入新课：
通过以上图片，我们可以了解到，在现实世界和日常生活中, 存在着大量的不等关系，那么，在数学中，应该如何表示这种不等关系呢？
（1）上图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________.
40
v≤40
1.在数学中用不等式表示不等关系
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%，用不等式组可以表示为：
________________
练习1：用不等式表示下面的不等关系：
1.a与b的和是非负数；
2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”.
问题1：设点A与平面 的距离为d , B为平面上的任意一点，则d与两点间距离|AB|是什么关系？
A
B
o
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
—————————-万本，
分析：若杂志的定价为 x 元，则销售量减少
因此，销售总收入为：
————————————万元,
用不等式表为：
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格.按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x 根，截得600mm的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍；
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
要同时满足上面三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
+
0
y
0
x
y
x
3
4000
y
600
x
500
练习2：某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外的x人 ）决定承担这笔费用（y元） . 若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问怎样用不等式表示上述关系？
如果a-b是正数，则a>b；如果a>b，则a-b为正数；
如果a-b是负数，则a如果a-b 等于零，则a=b；如果a=b，则a-b 等于零;
2. 实数大小的比较
例1．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)
= x2－2x +2
因为 (x－1)2≥0，
因此 x2－x > x－2.
练习3：比较(a+3) (a-5) 与 (a+2) (a-4)的大小.
(a+3) (a-5) < (a+2) (a-4)
= (x－1)2 +1
所以 (x－1)2+1>0，
即 (x2－x)－(x-- 2)>0，
… … … …作差
… … … …变形
… … … …判断符号
… … … …确定大小
小结 1. 建构数学
实际问题：不等关系
数学问题：不等式
抽象
概括
刻画
注意：在解决的时候要先读懂题意，找清不等词所联系的量，然后用适当的不等号连接起来，对含有多个不等关系的要用不等式组的形式表示，注意不重不漏。
2.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差
→变形
→判断符号
→得出结论
变形目的：使变形后的结果易于判断符号.变形时可采用因式分解、配方等方法