(共18张PPT)
等比数列前n项和（一）
复习回顾：等比数列的有关概念
1. 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
2.等比数列 的通项公式为
3.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
国际象棋的传说
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。
假设千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界小麦年产量为6亿t。根据以上数据判断国王能不能实现他的诺言？
思考：
(1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
(2)国王需要给发明者多少粒小麦？
问题探究
若 为等比数列，那么等比数列前n项和：
由等比数列通项公式：
那么上式就可以转化为 ：
公式推导
将以上两个式子相减
错位相减法
当q=1时，等比数列的前n项和是什么？
完善公式
观察数列2，2，2，2，2，2，2，2……
问题1：该数列是不是等比数列？
是
问题2：公比是多少？能不能用之前的公式求其前n项和？
q=1，不能用之前的公式求和
问题3：当公比为1时，等比数列前n项和如何求解？
Sn=n×a1
回顾思考：
(1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
(2)国王需要给发明者多少粒小麦？
约为7000亿吨，国王无法实现它的诺言
探求等比数列求和的方法
问题：已知等比数列 , 公比q 求：
思考：
合 作 探 究
（错位相减法）
当q≠1时
两式相减，得
当q=1时，Sn=
此式相邻两项有何关系？
当q=1时
思路1
（利用定义）
由等比定理，得
等比数列定义：
与 什么关系？
与 什么关系？
比例式连等的形式能否变成和的形式？怎样变？
思路2
(利用 )
思路3
公式辨析
注意：1.对公比q的分类讨论；
2. 公式中的n为项数。
n
×
×
运用新知
例1：求下列等比数列前8项的和：
能否运用q≠1时的另一个公式进行计算？
巩固提高
练习1：
练习2：
方法1：
S6=189
Sn=21
方法2：
例 2、 等比数列{an}中，S2=7,S6=91,求S4．
解：当q=1时，不满足上面条件，
由题设有
(2)÷(1)得：
解得 (舍去)．
将q2=3代人(1)得
典 例 精 析
本节课主要学习了等比数列的前n项和公式
及其简单应用.
1、知识小结
由特殊到一般 、错位相减法、分类讨论思想、方程思想等
2、思想方法小结
归 纳 小 结
1.必做题
课本P51页习题A组1、2、3
2.拓展题
课后作业
根据等比数列前n项和公式完成反馈检测练习。(共12张PPT)
一、温故知新：
1、等差数列定义：
an－an-1=d(d为常数)
d>0单调递增
d<0单调递减
d=0常数列
2、等差数列单调性：
二、课题引入：
某细胞分裂模型
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1，2，4，8，…… ①
一般地，如果一个数列从第二项起每
一项与它的前一项的比等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 。
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？
如果是,a必须满足什么条件？
(1) a=0，它只是等差数列。
(2) a≠0，它既是等差数列又是等比数列。
1.定义：
注：对定义的认识
1.等比数列的首项不为0, 即a1≠0。
2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
3.公比不为0，即q≠0。
数学语言：an+1:an=q (q≠0的常数)。
2.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an
a2/a1=q
a3/a2=q
a4/a3=q
…
an/an-1=q
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，
即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它
就是等比数列｛an｝的通项公式。
这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1
所以 an=a1qn-1
1.叠乘法（累乘法）
a2=a1q
a3=a2q=a1q2
a4=a3q=a1q3
…
an=a1qn-1
2.不完全归纳法
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0 ）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是： ＿＿＿＿＿＿
an=2n－1
上式还可以写成
可见，表示这个等比数列
的各点都在函数
的图象上，如右图所示。
0 1 2 3 4 n
an
8
7
6
5
4
3
2
1
·
·
·
·
1.在等比数列 中,
例题讲解
是
开始
A=1
n=1
A=1/2A
n=n+1
n>5
输出A
结束
否
例题讲解
2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗
３．一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18，求它的第１项和第２项．
(分析：要求第１项和第２项，必先求公比q，可利用方程的思想进行求解.)
解：
用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
解得
因此，
答：这个数列的第1项与第2项分别是(共12张PPT)
名 师 课 件
2.5 等比数列前n项和
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
1.等比数列的概念
2.等比数列通项公式及性质
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究一 等比数列前n项和与前（n+1）项和的关系
●活动一 引经据典,从生活出发:
重点知识★
相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到放完64个格子为止.请给我足够的粮食来实现上述要求.”你认为国王有能力满足发明者上述要求吗
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究一 等比数列前n项和与前（n+1）项和的关系
●活动二 迎难而上,列出算式:
重点知识★
第n个格子中要放 粒麦粒, .将64个格子中放的麦粒总数记为 ,即 ,利用等比数列通项公式得
●活动三 化繁为简,简化计算
观察发现,计算式右边的每一项的2倍即是其后一项,因此
将 与 两式相减后得到:
这个数超过了 ,假定千粒麦子质量为40克,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨,国王根本无能力满足发明者的要求.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究二 由特殊到一般,推导等比数列前n项和公式
●活动一 引桥构建,列出计算式:
重点、难点知识★ ▲
等比数列 中,前n项和记为 ,
●活动二 观察特点,类比实例:
将
与
两式相减后得到:
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动一 初步运用,夯实基础:
重点、难点知识★ ▲
例1 求等比数列1,2,4,…,第五项到第十项的和.
详解:
所以从第五项到第十项的和为1008.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动二 对比提升,能力提升:
重点、难点知识★ ▲
例2 一个等比数列前n项和为 前2n项之和 ,求
详解:由题意知：
故有
知 成公比为 的等比数列,故知
,所以 .
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动二 对比提升,能力提高
重点、难点知识★ ▲
例3 给出下面的数表序列:
其中表n（n=1,2,3,…）有n行,表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍,记表n中所有的数之和为 ,例如
则
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究三 利用等比数列前n项和公式解决相应问题
●活动二 对比提升,能力提高
重点、难点知识★ ▲
例3.详解:根据数表,可知表n中,有n行数字.
第一行有1个数字,和为
第二行有2个数字2,该行的数字之和为
第三行有3个数字 ,该行的数字之和为 ,
第n行有n个数字 ,该行数字之和为 ,
所以表n中所有数字之和为
两式相减可得:
所以
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
等比数列 中共有 五个量,知道其中3个量就可以求出其余两个量.在公式
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
1.等比数列前n项和的证明过程是在等式两边同乘以公比后作差.
3. 成公比为 的等比数列.
2.求等比数列前n项和时应注意讨论公比q是否等于1.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
点击“随堂训练”
选择“《等比数列前n项和》随堂检测”
配套课后作业:
《等比数列前n项和》基础型
《等比数列前n项和》能力型
《等比数列前n项和》探究型
《等比数列前n项和》自助餐(共12张PPT)
名 师 课 件
2.4 等比数列
（第1课时）
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
1.等差数列概念.
2.等差数列通项公式及推导.
检测下预习效果:
点击“随堂训练”
选择“《等比数列（第1课时）》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究一 类比法得出等比数列定义
●活动一 回顾旧知,夯实基础:
数学语言表达式: 或
d均为常数.
重点知识★
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示．
之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究一类比法得出等比数列定义
●活动二 探索规律,发现新知:
重点知识★
类比等差数列,观察以下几个数列:
2,4,8,16,32…
1,0,1,0,1,0,…
1,1,1,1,1…
1,-1,1,-1,1,-1…
想一想:它们都有怎样的规律
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究一 类比法得出等比数列定义
●活动三 新旧整合,得出结论:
重点知识★
结合活动一与二,试着给出等比数列的定义.
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式: 或
q均为非零常数.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究二 类比法得出等比数列通项公式并证明
●活动一 温故知新,迎难而上:
重点、难点知识★ ▲
回忆等差数列,写出通项公式.
●活动二 类比旧知,得出新知:
在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式
通项公式: .
推广:
只需确定首项与公比即可得到通项公式 : .
推广: , 公比均为非零常数.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究二 类比法得出等比数列通项公式并证明
●活动三 思维谨慎,扎实前进:
重点、难点知识★ ▲
能否试着给出等比数列通项公式的证明
●活动四 夯实基础,用于探索:
在等差数列中,公差大于0,数列递增;小于0时,数列递减.那么在等比数列中也有类似性质吗
借助定义, q为非零常数,列出（n-1）个式子,累乘后得到等比数列通项公式.
首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究三 等比数列相关问题及相应解决思路
●活动一 初步运用:
重点、难点知识★ ▲
例1 等比数列 中, ,则n=________.
例2 等比数列 中, ,若对正整数n都有 ,则公比q的取值范围
6
解:由 得
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
问题探究三 等比数列相关问题及相应解决思路
●活动二 能力提升:
重点、难点知识★ ▲
例1 等差数列 中, 构成公比为q的等比数列 ,则q=________.
例2 在正项等比数列 中, , , 则
_______.
1
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示．
（2）等比数列通项公式: ;推广:
数学语言表达式: 或
q均为非零常数.
重难点突破
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式.
（2）公比q≠0这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的各项,各项不为0的常数数列既是等差数列也是等比数列;至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定.
（3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.
（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
点击“随堂训练”
选择“《等比数列（第1课时）》随堂检测”
配套课后作业:
《等比数列（第1课时）》基础型
《等比数列（第1课时）》能力型
《等比数列（第1课时）》探究型
《等比数列（第1课时）》自助餐(共18张PPT)
2.4等比数列(一)
一尺之棰,日取其半,万世不竭.
对于数列②从第2项起,每一项与它前一项的比等于
2
观察思考:
核心问题一：等比数列的定义
① 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 ;
2
1
三个数列有什么共同特点？
③ 10 , 102 , 103 , 104 , 105 , 106 … .
对于数列①从第2项起,每一项与它前一项的比等于
对于数列③从第2项起,每一项与它前一项的比等于
10
② 1, , , , , , … ;
4
1
2
1
8
1
16
1
32
1
每个微信用户将这条信息发送给10个朋友,第9次能够传播多少人
如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫做等 数列．这个常数叫做等 数列的 ，
通常用 表示.
q
公 比
等 数列的定义：
第2项
同一个常数
比
比
比
比
核心问题一：等比数列的定义
（4） 4 , 0 , 4 , 0 , ….
0 0
（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
不是等比数列
判断下列数列是否是等比数列，如果是，说出首项和公比;如果不是，说出理由:
（3） 3 , -9 , 27 , -81 , …;
a1= 3 , q = -3
小试牛刀
思考：有既是等差数列又是等比数列的数列吗？
（1） , , , …;
8
1
2
1
32
1
128
1
a1= , q =
2
1
4
1
8 , 32
不是等比数列
核心问题一：等比数列的定义
如果等比数列{an}首项是a1,公比是q,
那么{an}通项公式如何表示？
（3） 3 , -9 , 27 , -81 , …;
a1= 3 , q = -3
（1） , , , …;
8
1
2
1
32
1
128
1
a1= , q =
2
1
4
1
核心问题二：等比数列的通项公式
an=a1qn-1
an= ×( )n-1
2
1
4
1
an= 3×(-3)n-1
（4） 4 , 0 , 4 , 0 , ….
（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
判断下列数列是否是等比数列，如果是，说出首项和公比;如果不是，说出理由:
小试牛刀
不是等比数列
不是等比数列
思考：有既是等差数列又是等比数列的数列吗？
★叠乘法★
…
这n-1个式子相乘得
所以an=a1qn-1
n-1个
=q,
a2
a1
=q,
a3
a2
=q,
a4
a3
an
=q,
an-1
=qn-1,
an
a1
a2
a1
a3
a2
a4
a3
an
an-1
…
=qn-1,
等比数列{an}首项是a1,公比是q .
核心问题二：等比数列的通项公式
例1:在等比数列{an}中,公比为q,
例题分析
(1)a1 =1,an =2an-1(n≥2),求{an}的通项公式;
(2)a1 = ,an =27, q=3,求n;
1
3
核心问题二：等比数列的通项公式
(3)an = 3n,判断 , 27是否是{an}中的项.
1
9
定义:
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G ,b
成等比数列,那么G叫做a与b的 .
练习:
a1 =32,a3 =8,则a2 = .
等比中项
G2 =ab
=
a
G
G
b
在等比数列{an}中,
核心问题三：等比中项
±16
例题分析
例2:已知 a , -2 , b , -8 , c 五个数
成等比数列 , 求 a , b , c 的值.
变式训练
核心问题三：等比中项
已知 , , , , 五个数成等比数列 , 求 a , b , c 的值.
定义
中项
等比
课堂小结
通项
公式
已知数列{an }满足
则{an }的通项公式为
a1＝1，2an＋1＝an(n≥1),
an =( )n-1
2
1
课堂竞赛
an =3n或an =3(-3)n-1
已知等比数列{an }中，a1＝3，a3＝27，
则{an }的通项公式为
课堂竞赛
两数的等比中项是（ ）
5
+2
与
5
-2
A.
B.
1
2
C
.
D
．
±1
-1
1
C
课堂竞赛
在等比数列中,a1＝ , an＝ , q＝ ,
则项数n为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2
3
2
3
27
8
C
课堂竞赛
若
a ,
2
a
＋
2 , 3
a
＋
3
成等比数列，则实数
a
的值是
-4
课堂竞赛
已知等比数列
{
a
n
}
的公比为正数，且
a
3
·
a
9
＝
2
a
2
5
，
a
2
＝
1
，
则
a
3
等于
(
)
A.
1
2
B.
2
2
C
.
2
D
．
2
C
课堂竞赛
(风险题)
课后作业
书面作业：课本P47 A组 2，3 ；
预习作业：等比数列有哪些性质？
