长春市绿园区 2021—2022学年度上学期期末考试
九年级数学参考答案及评分标准
阅卷说明：
1．评卷采分最小单位为 1 分，每步标出的是累计分．
2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分．
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．A．2．A．3．C．4．B．5．B．6．A．7．B．8．B．
二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
2 1
9． ．10． ．11．1000(1 x)2x 1 1210 ．12．3．13． ．14．4．
2 4
三．解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）
15．解： 12 9 3
2 3 3 （4 分）
3 ． （6 分）
16．解： 2x2 4x 3 5 ，
移项得 2x2 4x 2 0 ，
二次项系数化为 1，得 x2 2x 1，
配方，得 x2 2x 1 1 1， （3 分）
即 (x 1)2 2， （4 分）
开方得 x 1 2 ，
x 1 2 ， x 1 2 ． （6 分） 1 2
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17．解：画树状图为：
（4 分）
6 1
∴P(一次摸出的两个球都是红球) ． （6 分）
12 2
18．解：设小道路的宽为 x m．依题意得： （1 分）
(32 x)(20 x) 540， （3 分）
解之得 x1 2 ， x2 50（不符合题意，舍去） （6 分）
答：小道宽为 2 m． （7 分）
19．解：（1）解：由顶点 2( 2,2) ，可设关系式为： y a(x 2) 2， （1 分）
将点 2( 1,3)代入上式可得： ( 1 2) a 2 3，解得 a 1， （3 分）
∴此二次函数的关系式为 y (x 2)2 2． （4 分）
（2）点 P(1,9)不在这个二次函数的图象上． （5 分）
理由： 当 时， y (1 2)2 x 1 2 11 9， （7 分）
点 P(1,9)不在这个二次函数的图象上． （8 分）
20．解：（每图 3 分，答案不唯一，以下答案供参考）
（6 分）
25
21．解：（1） tan32.6 ,0.64, x, x. （4 分）
16
25
（2）由题意得，CC CE C E x x 20 ， （5 分）
16
320
解得： x . （6 分）
9
（3）36.8． （8 分）
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22．【探究】证明： DPB 是 APD的外角，
DPB A PDA，即 DPC CPB A PDA，
A DPC，
PDA CPB， （1 分）
又 A B ， （2 分）
DAP∽ PBC ， （3 分）
PD AP
， （4 分）
PC BC
PD 4， PC 8， BC 6，
4 AP
，
8 6
解得：AP 3； （5 分）
20
【拓展】4 或 ． （9 分）
3
23．解：（1）4 2t （2 分）
（2） PQ / /AB
CP CQ
CA CB
4 2t t
（4 分）
4 3
6
t ． （5 分）
5
（3）∵EF 垂直平分 PQ，△PEQ 是等腰三角形，
∴∠EPG=45°．
在△ PCQ 中，
CQP CPQ 45 ，
∴CP=CQ．
4 2t t， （7 分）
4
t ． （8 分）
3
3 17
（4） t 或 t ． （10 分）
2 10
第 3 页（共 4 页）
24．解：（1）2． （2 分）
（2）将 2A( 3,0) ，点 B(1,0)代入 y ax bx 2得：
9a 3b 2 0
， （4 分）
a b 2 0
2
a
解得 3 ， （6 分）
4b
3
2 2 4 y x x 2 ．
3 3
2 4 2 8
（3） y x2 x 2 (x 1)2 ，
3 3 3 3
抛物线开口向下，对称轴为直线 x 1．
8
当 x 1时，y 取最大值为 ， （8 分）
3
3 ( 1) 1 ( 2) ，
2 4
当 x 3时， y 取最小值 32 3 2 8 ． （10 分）
3 3
5 4
（4） 3 m 或 2 m ． （12 分）
2 3
第 4 页（共 4 页）2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（ ）
A． B． C．3 D．5
2．若sinα，则锐角α＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
3．若3x＝4y，则（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
5．若点（3，a）、（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
6．在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC，AC＝3，则AD＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分母有理化： ．
10．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 ．
11．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6m，则线段DE＝ cm．
13．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积比为 ．
14．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为yx2，当水面的宽度AB为16m时，水面离桥拱顶的高度OC为 m．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：2x2﹣4x+3＝5．
17．在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
18．如图，学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
19．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
20．图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的2×7的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，△ABC即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．
要求：①所画三角形都与△ABC相似，且相似比不等于1．
②所画的两个三角形不全等.
21．“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双体日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A仰角为32.6°．
信息二：在D′处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得DD′＝20米，点D、D′、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：sin32.6°＝0.54，cos32.6°＝0.84，tan32.6°＝0.64．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在Rt△ACE中，
（填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），
∴ （填0.54、0.84或0.64）．
设AE＝x米，
则CE＝ （用含x的代数式表示）米，C′E＝ （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 （精确到0.1）米．
22．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°，易证△DAP∽△PBC（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC，若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长.
23．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ．作线段PQ的垂直平分线交折线AC﹣CB于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长度为 ．
（2）当PQ与AB平行时，求t的值．
（3）当△PEG是等腰三角形时，求t的值．
（4）当CG时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 ．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
