2021-2022学年湖南省郴州市九年级（上）联考数学试卷（12月份）（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省郴州市九年级（上）联考数学试卷（12月份）
一、单选题（共24分）
1．（3分）把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为　　
A． B． C． D．
2．（3分）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元．下列所列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们平均成绩都是9环，方差分别是，，，，从成绩稳定上看，你认为谁去最合适　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）若直线与反比例函数的图象交于点，则反比例函数的图象还必过点　　
A． B． C． D．
5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈尺，1尺寸），则竹竿的长为　　
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
6．（3分）在直角三角形中，，，则的值是　　
A． B． C． D．
7．（3分）反比例函数图象上有三个点，，，，，，其中，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是　　
A．， B． C．， D．
二、填空题（共24分）
9．（3分）已知反比例函数是常数，的图象有一支在第二象限，那么的取值范围是　　．
10．（3分）一元二次方程的两根为，，则的值为　　．
11．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成的像的高度应为　 　．
12．（3分）如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 　　．
13．（3分）如图，在反比例函数图象上，轴于，则的值为 　　．
14．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　　．
15．（3分）在中，若、满足，则　　．
16．（3分）如图，矩形的顶点，在轴上，且关于轴对称，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象分别与，交于点，，若，，则等于　　．
三、解答题（共82分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：，，，，，．
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
19．（6分）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出向下平移4个单位长度得到的△，点的坐标是　　；
（2）以点为位似中心，在网格内画出△，使△与位似，且位似比为，点的坐标是　　．
20．（8分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至处时，测得该岛位于正北方向海里的处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我处的鱼监船前往处护航，已知位于处的北偏东方向上，位于的北偏西的方向上，求，之间的距离．
21．（8分）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
22．（10分）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？
23．（8分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
（1）问题：方程的解是，　　，　　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，在轴上，反比例函数的图象分别交，于，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求点的坐标．
25．（10分）如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，四边形是梯形？
（2）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由；
（3）当时，求的值．
26．（12分）如图，已知抛物线经过，及原点，顶点为
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以为边的四边形是平行四边形，求点的坐标．
（3）是抛物线上第一象限内的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、单选题（共24分）
1．（3分）把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【解答】解：原抛物线的顶点为，向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为代入得：，
故选：．
2．（3分）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元．下列所列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当商品第一次降价时，其售价为；
当商品第二次降价后，其售价为．
．故选：．
3．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们平均成绩都是9环，方差分别是，，，，从成绩稳定上看，你认为谁去最合适　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：，
，
甲的成绩稳定，
选甲最合适，
故选：．
4．（3分）若直线与反比例函数的图象交于点，则反比例函数的图象还必过点　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线经过点，
，把这点代入解析式，解得，
则反比例函数的解析式是，四个选项中只有．
故选：．
5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈尺，1尺寸），则竹竿的长为　　
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【解答】解：设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，解得（尺．
故选：．
6．（3分）在直角三角形中，，，则的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：在直角三角形中，，
由于，可设，则，
由勾股定理得，，
，
故选：．
7．（3分）反比例函数图象上有三个点，，，，，，其中，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：反比例函数中，，
此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，
、，
．
故选：．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：四边形是正方形，且，
，
将正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，
，，，，，，
发现是8次一循环，所以余3，
点的坐标为，
故选：．
二、填空题（共24分）
9．（3分）已知反比例函数是常数，的图象有一支在第二象限，那么的取值范围是　　．
【解答】解：反比例函数的图象有一支在第二象限，
，
解得．
故答案为：．
10．（3分）一元二次方程的两根为，，则的值为　 2 　．
【解答】解：一元二次方程的两根为、，
，，
．
故答案为： 2 ．
11．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成的像的高度应为　8　．
【解答】解：
，
又，
．
故答案为：8．
12．（3分）如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 　或　．
【解答】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，，
，图象在轴的下方，所以答案是或．
13．（3分）如图，在反比例函数图象上，轴于，则的值为 　　．
【解答】解：在反比例函数图象上，
，
轴于，
，，
，
故答案为：．
14．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　12　．
【解答】解：解方程，
得，，
第三边，
第三边长为5，
周长为．
15．（3分）在中，若、满足，则　　．
【解答】解：，
，，
，，
，，
则，
故答案为：．
16．（3分）如图，矩形的顶点，在轴上，且关于轴对称，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象分别与，交于点，，若，，则等于　9　．
【解答】解：设点的坐标为，则点坐标为
由图象可知，点，，，，
矩形面积为：
①
代入①式得
解得
故答案为：9
三、解答题（共82分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式
．
18．（6分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：，，，，，．
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
【解答】解：（1）由直方图可得，
，这一组的频数是：，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2），
即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是；
（3）（万人），
答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．
19．（6分）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出向下平移4个单位长度得到的△，点的坐标是　　；
（2）以点为位似中心，在网格内画出△，使△与位似，且位似比为，点的坐标是　　．
【解答】解：（1）如图所示，画出向下平移4个单位长度得到的△，点的坐标是；
（2）如图所示，以为位似中心，画出△，使△与位似，且位似比为，点的坐标是，
故答案为：（1）；（2）
20．（8分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至处时，测得该岛位于正北方向海里的处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我处的鱼监船前往处护航，已知位于处的北偏东方向上，位于的北偏西的方向上，求，之间的距离．
【解答】解：作于，
设海里，
在中，，
则，
在中，，
则
解得，，
答：，之间的距离为海里．
21．（8分）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形为正方形，
，
，
又，正方形的边长为4，
，，
．
22．（10分）为满足市场需求，郴州某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？
【解答】解：（1）由题意得：；
（2），
，，
当时，元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得，
解得，，
抛物线的开口向下，
当时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润，
又，
．
在中，，
随的增大而减小，
当时，，
即超市每天至少销售糕点440盒．
23．（8分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
（1）问题：方程的解是，　　，　　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解．
【解答】解：（1），
，
．
或或．
，，．
故答案为：，1．
（2）方程两边平方，得，
．
．
，．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解为：．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，在轴上，反比例函数的图象分别交，于，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求点的坐标．
【解答】解：（1），，
的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，即的值为6；
（2）设、，
的坐标为，
，．
，
，
解得或（舍去）．
，
．
25．（10分）如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．
（1）为何值时，四边形是梯形？
（2）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由；
（3）当时，求的值．
【解答】解：（1）由题意知，
四边形是梯形，
，
，
，，
，
，
，
当时，四边形是梯形；
（2）存在，
则，
，
，
当的长为时，，
（3），
，
又，
，
即，
，
此时，，
．
．
26．（12分）如图，已知抛物线经过，及原点，顶点为
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以为边的四边形是平行四边形，求点的坐标．
（3）是抛物线上第一象限内的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
将点，，，代入可得：，
解得：．
故函数解析式为：．
（2）当为平行四边形的边时，，，由知：，
由四边形可知在对称轴直线右侧，
则横坐标为1，代入抛物线解析式得．
综上可得点的坐标为：．
（3）存在．
如图：，，
根据勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
假设存在点，使以，，为顶点的 三角形与相似，
设，由题意知，，且，
①若，则，
即，
得：，（舍去）．
当时，，即，，
②若，则，
即：，
得：，（舍去）
当时，，即．
故符合条件的点有两个，分别是，或．