2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.4圆周角和圆心角的关系 期末综合复习训练2（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.4圆周角和圆心角的关系 期末综合复习训练2（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 346.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-30 22:19:52 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.4圆周角和圆心角的关系》
期末综合复习训练2（附答案）
1．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
2．如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
4．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．30° B．50° C．70° D．80°
6．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC＝12．若AB＝m（m为整数），则整数m的值的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．﹣1
11．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为 ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ °．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且四边形OABC是平行四边形，则∠D＝ ．
14．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（其中t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的取值范围是 ．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BO，∠DBC＝15°，则∠BDC＝ ．
17．如图，AB是⊙O的直径，P、C是圆周上的点，＝，弦PC交AB于点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若OD＝DC，求∠A的度数．
18．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．
19．如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC+CM．
20．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连接AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE＝BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
参考答案
1．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
2．解：设∠BAD＝x，则∠BOD＝2x，
∵∠BCD＝∠BOD＝2x，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴3x＝180°，
∴x＝60°，
∴∠BAD＝60°，
故选：C．
3．解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．
4．解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线；
在Rt△OAC中，OA＝1，AC＝；
∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°；
∴∠D＝∠AOB＝60°；
∵四边形ADBE是⊙O的内接四边形，
∴∠AEB＝180°﹣∠D＝120°；
因此弦AB所对的圆周角有两个：60°或120°；
故选：D．
5．解：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
6．解：由相交弦定理得：PA PB＝PC PD，
∴DP＝＝＝6．
故选：D．
7．解法一：
∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴＝；
设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；
连接BC，则∠ACB＝90°；
Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x；
在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；
由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，
即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，
整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；
由于x＜，故x＝﹣；
则DE＝5﹣2x＝2．
解法二：连接OD，OC，AD，
∵OD＝CD＝OC
则∠DOC＝60°，∠DAC＝30°
又AB＝7，BD＝5，
∴AD＝2，
在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，
所以DE＝2．
故选：A．
8．解：连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，
∵∠AOC＝80°，
∴的度数是80°，
∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即M为的中点，
∴和的度数都是80°＝40°，
∵＞，
∴40°＜的度数＜80°，
∴20°＜∠CED＜40°，
∴选项C符合题意；选项A、选项B、选项D都不符合题意；
故选：C．
9．解：设AC＝x，则BC＝12﹣x，
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴m2＝x2+（12﹣x）2，
∴m2＝2[（x﹣6）2+36]
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴0＜x＜12，
∴0≤（x﹣6）2＜36，
∴72≤2[（x﹣6）2+36]＜144，
又∵m为整数，
∴当2[（x﹣6）2+36]＝81或2[（x﹣4）2+16]＝100或2[（x﹣4）2+16]＝121时，m为整数9或10或11，
则整数m的值的个数为3个，
故选：C．
10．解：连接AE，
∵以AD为直径的圆交BD于点E，
∴∠AED＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆O上，
连接OE，OC，
则CE≥OC﹣OE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝2，
由勾股定理得，OC＝＝，
∴线段CE长度的最小值为﹣1，
故选：D．
11．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
故答案为90°．
12．解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，
又∵△AOC为等腰三角形，
∴∠5＝∠OCA，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝∠1+∠2＝64°，
∴∠O＝2∠D＝128，
在等腰三角形AOC中，
2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，
∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，
故答案为64．
13．解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠AOC＝∠ABC，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠AOC＝∠ABC，
∴设∠D＝x，则∠ABC＝2x，
∴x+2x＝180°，
解得：x＝60°，
故∠D＝60°．
故答案为：60°．
14．解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，
设圆心O′（3，m），则有32+m2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴圆心O′（3，4），
故答案为：（3，4）．
15．解：连接AP，作射线AD．
由题意得，AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴，
t要最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，
∴P在AD延长线上，
∵A（0，1），D（4，4），
∴，
∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4，
故t的取值范围为：4≤t≤6．
故答案为：4≤t≤6．
16．解：∵AB＝AC＝AD＝BO，
∴点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BAC＝2∠BDC，∠CAD＝2∠DBC＝2×15°＝30°，
设∠BDC＝x，则∠BAC＝2x，
∵BO＝BA，
∴∠BOA＝2x，
∵∠BOA＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝2x﹣30°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣30°）＝75°，
即2x﹣30°+x＝75°，解得x＝35°，
即∠BDC＝35°．
故答案为35°．
17．（1）证明：如图，连接OP．
∵＝，
∴PA＝PC．
在△POA与△POC中，
．
∴△POA≌△POC（SSS）．
∴∠A＝∠C；
（2）解：设∠A＝∠C＝x°，则∠POB＝2∠A＝2x°．
∵OD＝DC，
∴∠DOC＝∠C＝x°．
∴∠POC＝3x°，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠C＝x°，
在△POC中，x+3x+x＝180°
x＝36．
∴∠A＝36°．
18．解：（1）如图1，∠P即为所求：
（2）如图2，∠CBQ即为所求．
19．证明：在MA上截取ME＝MC，连接BE，
∵BM⊥AC，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AB＝BD，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BAD，
而∠ADB＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，
∴∠BEA＝∠BCD，
∵∠BAE＝∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝CD，
∴AM＝AE+EM＝DC+CM．
20．解：（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P＝∠ACB＝∠ABP，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴AE＝BE；
（2）BE＝EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ABP，
∴BE＝AE，∠FAD＝∠AFB，
∴EF＝AE，
∴BE＝EF；
（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF＝∠GBP，∠CPF＝∠BPG＝90°，BP＝PC，
在△PCF和△PBG中，
，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF＝BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA＝∠BCA，
在△BAC和△GAC中，
，
∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG＝AB＝BG，
∴CF＝2AB．
期末综合复习训练2（附答案）
1．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
2．如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
4．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．30° B．50° C．70° D．80°
6．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC＝12．若AB＝m（m为整数），则整数m的值的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．﹣1
11．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为 ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ °．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且四边形OABC是平行四边形，则∠D＝ ．
14．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（其中t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的取值范围是 ．
16．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BO，∠DBC＝15°，则∠BDC＝ ．
17．如图，AB是⊙O的直径，P、C是圆周上的点，＝，弦PC交AB于点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若OD＝DC，求∠A的度数．
18．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．
19．如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC+CM．
20．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连接AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE＝BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
参考答案
1．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
2．解：设∠BAD＝x，则∠BOD＝2x，
∵∠BCD＝∠BOD＝2x，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴3x＝180°，
∴x＝60°，
∴∠BAD＝60°，
故选：C．
3．解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．
4．解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线；
在Rt△OAC中，OA＝1，AC＝；
∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°；
∴∠D＝∠AOB＝60°；
∵四边形ADBE是⊙O的内接四边形，
∴∠AEB＝180°﹣∠D＝120°；
因此弦AB所对的圆周角有两个：60°或120°；
故选：D．
5．解：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
6．解：由相交弦定理得：PA PB＝PC PD，
∴DP＝＝＝6．
故选：D．
7．解法一：
∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴＝；
设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；
连接BC，则∠ACB＝90°；
Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x；
在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；
由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，
即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，
整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；
由于x＜，故x＝﹣；
则DE＝5﹣2x＝2．
解法二：连接OD，OC，AD，
∵OD＝CD＝OC
则∠DOC＝60°，∠DAC＝30°
又AB＝7，BD＝5，
∴AD＝2，
在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，
所以DE＝2．
故选：A．
8．解：连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，
∵∠AOC＝80°，
∴的度数是80°，
∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即M为的中点，
∴和的度数都是80°＝40°，
∵＞，
∴40°＜的度数＜80°，
∴20°＜∠CED＜40°，
∴选项C符合题意；选项A、选项B、选项D都不符合题意；
故选：C．
9．解：设AC＝x，则BC＝12﹣x，
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴m2＝x2+（12﹣x）2，
∴m2＝2[（x﹣6）2+36]
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴0＜x＜12，
∴0≤（x﹣6）2＜36，
∴72≤2[（x﹣6）2+36]＜144，
又∵m为整数，
∴当2[（x﹣6）2+36]＝81或2[（x﹣4）2+16]＝100或2[（x﹣4）2+16]＝121时，m为整数9或10或11，
则整数m的值的个数为3个，
故选：C．
10．解：连接AE，
∵以AD为直径的圆交BD于点E，
∴∠AED＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆O上，
连接OE，OC，
则CE≥OC﹣OE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝2，
由勾股定理得，OC＝＝，
∴线段CE长度的最小值为﹣1，
故选：D．
11．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
故答案为90°．
12．解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，
又∵△AOC为等腰三角形，
∴∠5＝∠OCA，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝∠1+∠2＝64°，
∴∠O＝2∠D＝128，
在等腰三角形AOC中，
2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，
∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，
故答案为64．
13．解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠AOC＝∠ABC，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠AOC＝∠ABC，
∴设∠D＝x，则∠ABC＝2x，
∴x+2x＝180°，
解得：x＝60°，
故∠D＝60°．
故答案为：60°．
14．解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，
设圆心O′（3，m），则有32+m2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴圆心O′（3，4），
故答案为：（3，4）．
15．解：连接AP，作射线AD．
由题意得，AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴，
t要最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，
∴P在AD延长线上，
∵A（0，1），D（4，4），
∴，
∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4，
故t的取值范围为：4≤t≤6．
故答案为：4≤t≤6．
16．解：∵AB＝AC＝AD＝BO，
∴点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BAC＝2∠BDC，∠CAD＝2∠DBC＝2×15°＝30°，
设∠BDC＝x，则∠BAC＝2x，
∵BO＝BA，
∴∠BOA＝2x，
∵∠BOA＝∠OAD+∠ADO，
∴∠ADO＝2x﹣30°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣30°）＝75°，
即2x﹣30°+x＝75°，解得x＝35°，
即∠BDC＝35°．
故答案为35°．
17．（1）证明：如图，连接OP．
∵＝，
∴PA＝PC．
在△POA与△POC中，
．
∴△POA≌△POC（SSS）．
∴∠A＝∠C；
（2）解：设∠A＝∠C＝x°，则∠POB＝2∠A＝2x°．
∵OD＝DC，
∴∠DOC＝∠C＝x°．
∴∠POC＝3x°，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠C＝x°，
在△POC中，x+3x+x＝180°
x＝36．
∴∠A＝36°．
18．解：（1）如图1，∠P即为所求：
（2）如图2，∠CBQ即为所求．
19．证明：在MA上截取ME＝MC，连接BE，
∵BM⊥AC，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AB＝BD，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BAD，
而∠ADB＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，
∴∠BEA＝∠BCD，
∵∠BAE＝∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝CD，
∴AM＝AE+EM＝DC+CM．
20．解：（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P＝∠ACB＝∠ABP，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴AE＝BE；
（2）BE＝EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ABP，
∴BE＝AE，∠FAD＝∠AFB，
∴EF＝AE，
∴BE＝EF；
（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF＝∠GBP，∠CPF＝∠BPG＝90°，BP＝PC，
在△PCF和△PBG中，
，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF＝BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA＝∠BCA，
在△BAC和△GAC中，
，
∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG＝AB＝BG，
∴CF＝2AB．