2021-2022 新人教版 选修一 经过圆锥曲线上某点切线方程，三种方法比较及例题详解 学案

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高中数学：经过圆锥曲线上某点切线方程，三种方法比较及例题详解
求经过某点的圆锥曲线的切线方程，首先要判断该点在圆锥曲线上还是曲线外，分为两种情况：当这个点在圆锥曲线上时，只有一条切线；当这个点不在圆锥曲线上时，有两条切线。今天，我们只讨论前一种情况。
一、首先直接给出结果，圆锥曲线上任一点的切线公式：
设点P（x0，y0）在曲线上，且为切点。那么圆锥曲线的切线方程可以表示为：
标准方程 切线方程
圆 特别地，圆心在原点的圆的方程为 特别地，圆心在原点的圆的切线方程为
椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线上任一点的切线公式推导
关于圆锥曲线的切线方程，我们一定要熟悉其推导方法，这样才能记忆深刻，现在我们首先以推导圆的切线方程为例，来看看圆锥曲线上任一点的切线方程是怎么推导出来的:
例1、设直线与圆O:相切于点P，求该直线方程的解析式。
解：设切线方程，那么直线OP的斜率为（OP与切线垂直）
所以切线y=kx+m的斜率为：
所以有 即
所以有
整理得：
还可以将直线方程与圆的方程相结合构成二次函数，利用判别式来推导。我们再以椭圆为用判别式来推导过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程。
例2、椭圆上任意一点P，求证过P点的切线方程为。
证明：设过P点的切线方程为，联立则有：
代入到
得：
因此，点在圆锥曲线上的求法有三种，一是和上面方法一样一步步推导（可以称其为公式推导法），二是直接利用以上推导出来的结论（我们称其为公式法）；三是利用判别式法。
三、实例详解（三种方法）
下面我们再来用一个具体实例，来求解点在圆锥曲线上切线方程。
例3、求过点P（4,1）且与圆C:相切的切线方程。
解：将点P（4,1）代入圆C:，可知点P（4,1）在圆上。
解法一：（公式推导法）直线CP的斜率为：
∴过P（4,1）点的切线斜率为-1，方程为：y-1 =-1×（x-4），化简为：y=-x+5
解法二：（公式法）将P（4,1）代入得，化简得y=-x+5
解法三： （判别式法） ∵切线过P（4,1）点 ， ∴可设切线方程为y-1 = k(x-4)
代入到圆的方程化简得：
∴△ = （相切只有一个交点，故判别式为0）
解得：k = -1
由以上三种解法可知：直接利用结论，即公式法最为简单，公式推导法次之，而判别式法较为麻烦。但无论繁简，三种方法的理论原理我们都要熟练掌握。
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