2021-2022学年安徽省亳州市九年级（上）月考数学试卷（12月份）（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省亳州市九年级第一学期月考数学试卷（12月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。）
1．下列函数图象是双曲线的是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝﹣x﹣5 C．y＝﹣ D．y＝﹣
2．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则下列三角函数值正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝2 C．cosB＝2 D．sinB＝
4．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
5．将二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象向左平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（　　）
A．y＝x（x+5） B．y＝（x+3）（x﹣2）
C．y＝x（x﹣1） D．y＝（x﹣3）（x﹣5）
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
7．如图要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，点P位于点A正北方向，点C位于点A的北偏西46°，若测得PC＝50米，则小河宽PA为（　　）
A．50sin44°米 B．50cos44°米 C．50tan44°米 D．50tan46°米
8．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（　　）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
9．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E，F分别在AC，BC上，AE＝CF＝1，则BP BE的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果a：b＝3：2，且b是a和c的比例中项，那么b：c＝　 　．
12．已知点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），AB＝2，则BC＝　 　．
13．如图，将一副三角板按图所示放置，∠DAE＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，点E在AC上，过点A作AF∥BC交DE于点F，则＝　 　．
14．二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点位置随着字母b的值变化而变化，顶点运动轨迹呈某种函数图象，该种函数即为原函数的模型函数．
（1）二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点坐标为 　 　；（用字母b表示）
（2）若某二次函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的形状相同，其模型函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的模型函数关于x轴对称，且经过点（1，2），则该二次函数的表达式为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．求值：sin245°+3tan30°tan60°﹣2cos60°
16．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，把△ABC按3：1放大，在第二象限得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为m，面积为n，则上述所画的△A1B1C1的周长为 　 　，面积为 　 　．
18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，有长为24m的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
20．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小马同学在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌的高度CD的长度．（结果保留根号）
六、（本题满分12分）
21．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
七、（本题满分12分）
22．已知关于x的抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m≠0）与x轴交于点B，C（点B位于点C左侧），与y轴交于点A．
（1）若该抛物线经过（﹣1，8），（1，4），（3，10）三点中的一点．
①求m的值；
②直线AB的表达式；
（2）当﹣1＜x＜3时，y有最小值﹣3，求此时抛物线的解析式．
八、（本题满分14分）
23．如图1，在正方形ABCD中，射线AE，AF分别交BD于点G，H，交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°．
（1）证明：AH FH＝DH GH；
（2）如图2，连接EH，证明：△AEH是等腰直角三角形；
（3）如图3，∠EAF＝45°，且它的两边分别与BC，BD的延长线交于点F，H，探索AH与AF之间的数量关系并加以说明．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。）
1．下列函数图象是双曲线的是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝﹣x﹣5 C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线可得答案．
解：A、y＝x2+3是二次函数，图象是抛物线，故此选项不符合题意；
B、y＝﹣x﹣5是一次函数，图象是直线，故此选项不符合题意；
C、y＝﹣是正比例函数，图象是过原点的直线，故此选项不符合题意；
D、y＝﹣是反比例函数，图象是双曲线，故此选项符合题意；
故选：D．
2．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝，则下列三角函数值正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝2 C．cosB＝2 D．sinB＝
【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，然后根据正弦的定义对A、D进行判断；根据正切的定义对B进行判断；根据余弦的定义对C进行判断．
解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝，
∴AC＝＝2，
∴sinA＝＝＝，所以A选项不符合题意；
tanA＝＝，所以B选项不符合题意；
cosB＝＝＝，所以C选项不符合题意；
sinB＝＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，
∴＝＝＝，
故选：A．
5．将二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象向左平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（　　）
A．y＝x（x+5） B．y＝（x+3）（x﹣2）
C．y＝x（x﹣1） D．y＝（x﹣3）（x﹣5）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将二次函数y＝（x﹣3）（x+2）的图象向左平移3个单位长度得到：y＝（x﹣3+3）（x+2+3），即y＝x（x+5）．
故选：A．
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，
故选：D．
7．如图要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，点P位于点A正北方向，点C位于点A的北偏西46°，若测得PC＝50米，则小河宽PA为（　　）
A．50sin44°米 B．50cos44°米 C．50tan44°米 D．50tan46°米
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵∠A＝46°，
∴∠PCA＝90°﹣46°＝44°，
∵PC＝50米，∠PCA＝44°，
∴tan44°＝，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50 tan44°（米）．
故选：C．
8．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（　　）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
【分析】把y＝﹣x2+8x+9配方得到y＝﹣（x﹣4）2+25，当x＜4时，y随x的增大而增大，于是求得当x＝3时，最大利润y是24元．
解：y＝﹣x2+8x+9＝﹣（x﹣4）2+25，
∵a＝﹣1＜0，
∴利润y有最大值，
当x＜4时，y随x的增大而增大，
∵售价x的范围是1≤x≤3，
∴当x＝3时，最大利润y是24元，
故选：C．
9．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E，F分别在AC，BC上，AE＝CF＝1，则BP BE的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】先证△ABE≌△CAF（SAS），根据全等三角形的性质得BE＝AF，∠ABE＝∠CAF，可推出∠BAF+∠ABE＝∠BPF＝60°，再证△ABF∽△BPF，根据相似三角形的性质得，由BE＝AF即可得出BP BE＝AB BF＝4×（4﹣1）＝12．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠ACF＝60°．AB＝CA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠CAF，
∵∠CAF+∠BAF＝60°，
∴∠BAF+∠ABE＝∠BPF＝60°，
∴∠BPF＝∠ABF，
∵∠BFP＝∠AFB，
∴△ABF∽△BPF，
∴，
∵BE＝AF，
∴BP BE＝AB BF＝4×（4﹣1）＝12．
故选：A．
10．在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出0＜t≤2，2＜t≤3以及3＜t≤3.5时S与t的函数关系式即可．
解：∵∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3，
∴AD＝CD+BC＝3+1＝4，AB＝，
如图1，当0＜t≤2时，过点P作PE⊥AD于点E，则：
S＝＝＝t2；
如图2，当2＜t≤3时，连接PD，则：
S＝S△ADP+S△PQD﹣S△ADQ
＝
＝﹣t2+4t；
如图3，当3＜t≤3.5时，点P已经到达点B，则：
S＝S△ADP+S△PQD﹣S△ADQ
＝
＝﹣3t+12．
综上所述，选项B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果a：b＝3：2，且b是a和c的比例中项，那么b：c＝　3：2　．
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故答案为：3：2．
12．已知点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），AB＝2，则BC＝　﹣1　．
【分析】由黄金分割的定义即可求解．
解：点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），AB＝2，
∴BC＝AB＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．如图，将一副三角板按图所示放置，∠DAE＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，点E在AC上，过点A作AF∥BC交DE于点F，则＝　　．
【分析】过点F作FG⊥AE于点G，则FG∥AD，证明△EFG∽△EDA，由相似三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案．
解：过点F作FG⊥AE于点G，则FG∥AD，
∴△EFG∽△EDA，
∴，
由题意知∠FEG＝45°，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴EG＝FG，
∵AF∥BC，
∴∠FAG＝∠C＝30°，
∴AG＝FG，
∴AG＝EG，
∴．
故答案为：．
14．二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点位置随着字母b的值变化而变化，顶点运动轨迹呈某种函数图象，该种函数即为原函数的模型函数．
（1）二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点坐标为 　（，﹣）　；（用字母b表示）
（2）若某二次函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的形状相同，其模型函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的模型函数关于x轴对称，且经过点（1，2），则该二次函数的表达式为 　y＝x2+1或y＝x2﹣2x+3　．
【分析】（1）根据顶点公式即可求得；
（2）根据顶点坐标得到y＝x2﹣bx﹣1的模型函数为y＝﹣x2﹣1，进而得出该模型函数关于x轴对称的函数为y＝x2+1，设该二次函数的表达式为y＝（x﹣a）2+a2+1，代入点（1，2）即可求得a＝0或a＝1，从而求得该二次函数的表达式为y＝x2+1或y＝x2﹣2x+3．
解：（1）函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点坐标为（，），即（，﹣）；
（2）由（，﹣）得[，﹣1﹣（）2]，
∴二次函数y＝x2﹣bx﹣1的模型函数为y＝﹣x2﹣1，
∴该模型函数关于x轴对称的函数为y＝x2+1．
设该二次函数的表达式为y＝（x﹣a）2+a2+1，
代入点（1，2）得（1﹣a）2+a2+1＝2，
整理，得a2﹣a＝0，
解得a＝0或a＝1，
故该二次函数的表达式为y＝x2+1或y＝x2﹣2x+3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．求值：sin245°+3tan30°tan60°﹣2cos60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
解：原式＝（）2+3××﹣2×
＝+3﹣1
＝2．
16．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．
【分析】先设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+b，将A，B点的坐标代入，可得a，b的值，进而得出抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+b，
将A，B点的坐标代入，可得
，
解得a＝﹣2，b＝8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
（1）以点M为位似中心，把△ABC按3：1放大，在第二象限得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为m，面积为n，则上述所画的△A1B1C1的周长为 　3m　，面积为 　9n　．
【分析】（1）根据位似变换的定义找到三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似变换的性质即可得出答案．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意知△A1B1C1∽△ABC，且相似比为3：1，
则△A1B1C1的周长为3m，面积为9n，
故答案为：3m，9n．
18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若＝，求的值．
【分析】（1）根据∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，证△AED∽△ABC，得∠ADF＝∠C，又∵，即可证△ADF∽△ACG；
（2）根据△ADF∽△ACG，得，根据，即可推出的值．
解：（1）∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵，
∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，
∴，
∵，
∴，
又∵AG＝AF+FG，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，有长为24m的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式；
（2）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．
解：（1）根据题意，得：
S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵0＜24﹣3x≤10，
∴≤x＜8．
答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是≤x＜8；
（2）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x≥4时，S随x的增大而减小，
∵≤x＜8，
∴当x＝时，S最大，最大值为．
答：当AB的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
20．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小马同学在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌的高度CD的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据坡度的定义，求出∠BAM＝30°，再利用直角三角形的边角关系求出答案；
（2）在Rt△ABM中求出AM，进而求出ME，再在Rt△BCN中，得出CN＝BN，然后在Rt△ADE中求出DE，即可求解．
解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴NE＝BM＝AB＝5（米），AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝（5﹣2）米，
即广告牌CD的高度为（5﹣2）米．
六、（本题满分12分）
21．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．
解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝8；
（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣5＜x＜0或x＞3．
七、（本题满分12分）
22．已知关于x的抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m≠0）与x轴交于点B，C（点B位于点C左侧），与y轴交于点A．
（1）若该抛物线经过（﹣1，8），（1，4），（3，10）三点中的一点．
①求m的值；
②直线AB的表达式；
（2）当﹣1＜x＜3时，y有最小值﹣3，求此时抛物线的解析式．
【分析】（1）①先求出抛物线与x轴的交点，从而可以判断抛物线过（﹣1，8），再把（﹣1，8）代入解析式求出m的值；
②根据①可以求出A，B，C的坐标，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）把抛物线化为顶点式，再根据当﹣1＜x＜3时，y有最小值﹣3，可以求出m＝3，从而求出抛物线解析式．
解：（1）①y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x2﹣4x+3）＝m（x﹣1）（x﹣3），
令y＝0，则m（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∵m≠0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线不经过（1，4），（3，10）两点，
∴抛物线经过（﹣1，8），
∴8＝m（﹣1﹣1）×（﹣1﹣3），
解得：m＝1；
②由①知，抛物线与x轴的交点为（1，0）和（3，0），
∵点B位于点C左侧，
∴B（1，0），
∵m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+3；
（2）y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x2﹣4x+3）＝m（x﹣2）2﹣m，
∴抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣m），
当﹣1＜x＜3时，y有最小值﹣3，
∴﹣m＝﹣3，
即m＝3，
∴抛物线为y＝3x2﹣12x+9．
八、（本题满分14分）
23．如图1，在正方形ABCD中，射线AE，AF分别交BD于点G，H，交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°．
（1）证明：AH FH＝DH GH；
（2）如图2，连接EH，证明：△AEH是等腰直角三角形；
（3）如图3，∠EAF＝45°，且它的两边分别与BC，BD的延长线交于点F，H，探索AH与AF之间的数量关系并加以说明．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）连接AC，EH，根据相似三角形的判定和性质得出△AEH是等腰直角三角形即可；
（3）连接AC，FH，根据相似三角形的判定和性质得出△AEH是等腰直角三角形，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠BDC＝45°，
在△AGH和△DFH中，
∵∠GAH＝∠FDH＝45°，∠AHG＝∠DHF，
∴△AGH∽△DFH，
∴，
即AH FH＝DH GH；
（2）连接AC，EH，
∵四边形ABCD是正方形，BD，AC是对角线，
∴∠ACE＝∠ADH＝∠CAD＝45°，
∵∠CAD＝∠CAF+∠DAH＝45°，∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝45°，
∴∠DAH＝∠CAE，
∵∠ADH＝∠ACE，
∴△ADH∽△ACE，
∴，
∵∠CAD＝∠HAE＝45°，
∴△ACD∽△AEH，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴△AEH是等腰直角三角形；
（3）AF＝AH，理由：连接AC，FH，
∵四边形ABCD是正方形，BD，AC是对角线，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴∠ADH＝∠ACF＝135°，
∵∠EAF＝∠CAD＝45°，
∴∠EAF﹣∠FAD＝∠CAD﹣∠FAD，
即∠CAF＝∠DAH，
∴△ACF∽△ADH，
∴，
∵∠CAD＝∠FAH＝45°，
∴△ACD∽△AFH，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴AF＝AH．