14.2 乘法公式同步练习
一、选择题
1.已知是一个完全平方式，则的值可能是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的特征判断即可得到结果.
【详解】解: 是一个完全平方式，
∴=或者=
∴-2(m-3)＝8或-2(m-3)＝-8
解得:m=-1或7
故选:D
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
2.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方差公式的定义即可判断.
【详解】A. ，符合平方差公式的定义，故正确；
B. x2x2x2，故错误；
C. ababab，故错误；
D. x2x1不符合平方差公式定义，故错误，
故选A.
【点睛】此题主要考查平方差公式的定义，解题的关键是熟知平方差公式的定义.
3.已知，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【详解】∵x-=1，
∴（x-）2=1，
即x2-2+=1，
∴x2+=3．
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于乘积二倍项不含字母．
4.如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图a中的阴影部分拼成了一个如图b所示的矩形，这一过程可以验证
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为a2-b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为（a+b）（a-b），二者相等，即可解答．
【详解】由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选D．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
5.形如和的式子称为完全平方式，若是一个完全平方式，则a等于
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
【详解】∵x2+ax+4是一个完全平方式，
∴a=±4．
故选D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.已知是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个
A. 30 B. 32 C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】2n乘积二倍项时，2n+216+1=216+2×28+1=（28+1）2，
此时n=8+1=9，
216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2×215+1=（215+1）2，
此时n=2×15=30，
1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，
此时n=-18，
综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
7.(2+1)（22+1）（24+1)（28+1）……（232+1）+1的个位数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
分析】
原式中的(2+1)变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选C．
【点睛】此题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8.如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A. 2005 B. 2006 C. 2007 D. 2008
【答案】A
【解析】
p=a 2 +2b 2 +2a+4b+2008，
=（a 2 +2a+1）+（2b 2 +4b+2）+2005，
=（a+1） 2 +2（b+1） 2 +2005，
当（a+1） 2 =0，（b+1） 2 =0时，p有最小值，
最小值最小为2005．
故选A．
点睛：此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．
9.计算的结果是
A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
按照从左到右的顺序依次利用平方差公式进行计算．
【详解】（a+1）（a-1）（a2+1）（a4+1），
=（a2-1）（a2+1）（a4+1），
=（a4-1）（a4+1），
=a8-1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，难点在于连续利用公式进行运算．
10.已知，，，则多项式的值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
将多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca转化为几个完全平方式的和，再将a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002分别代入求值．
【详解】∵2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca
=（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2
=（1999x+2000-1999x-2001）2+（1999x+2000-1999x-2002）2+（1999x+2001-1999x-2002）2
=1+4+1
=6．
于是a2+b2+c2-ab-bc-ca=6×=3．
故选D．
【点睛】此题考查了构造完全平方式求代数式的值的能力，难点在于找到系数“2”，并将式子转化为完全平方式．
二、填空题
11.，则 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式化简，整理即可求出a+b的值．
【详解】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，
开方得：a+b=±10，
故答案为±10
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.已知：，则 ．
【答案】23
【解析】
试题分析：根据完全平方公式可得：，则=25－2=23．
考点：完全平方公式的应用
13.已知4y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是______．
【答案】4或-4
【解析】
【详解】∵4y2-my+1是完全平方式，
∴-m=±4，即m=±4．
故答案为4或-4.
14.如果，，那么 ______ ．
【答案】17
【解析】
【分析】
把x+y=5两边平方得到x2+2xy+y2=25，而x2+y2=21，易得2xy=4，然后根据完全平方公式展开（x-y）2=x2-2xy+y2，再利用整体代入得方法求值．
【详解】∵x+y=5，
∴x2+2xy+y2=25，
而x2+y2=21，
∴2xy=4，
∴（x-y）2=x2-2xy+y2=21-4=17．
故答案为17．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（x±y）2=x2±2xy+y2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．
15.我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；，
则展开式共有______项，系数和为______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可．
【详解】根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为n+1，2n
【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
三、计算题
16.已知，，求：
的值．
【答案】（1）96；（2）12
【解析】
【分析】
（1）原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】，，
原式；
，，
原式．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17.已知有理数m，n满足（m+n）2=9，（m-n）2=1．求下列各式的值．
（1）mn；（2）m2+n2．
【答案】(1)mn=2 (2)
【解析】
【分析】
（1）已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出mn的值；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，相加即可求出m2+n2的值．
【详解】解：（m+n）2=m2+n2+2mn=9①，（m-n）2=m2+n2-2mn=1②，
（1）①-②得：4mn=8，
则mn=2；
（2）①+②得：2（m2+n2）=10，
则m2+n2=5．
故答案为(1)mn=2 (2) .
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
18.阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）
=（28﹣1）（28+1）
=216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
【答案】 (1). 232﹣1 (2). ；
【解析】
分析】
（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．
【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；
（2）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=；
（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
当m≠n时，原式=（m-n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=；
当m=n时，原式=2m 2m2…2m16=32m31．
【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
【答案】14.2 乘法公式同步练习
一、选择题
1.已知是一个完全平方式，则的值可能是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图a中的阴影部分拼成了一个如图b所示的矩形，这一过程可以验证
A. B.
C. D.
5.形如和的式子称为完全平方式，若是一个完全平方式，则a等于
A 2 B. 4 C. D.
6.已知是一个有理数平方，则n不能取以下各数中的哪一个
A. 30 B. 32 C. D. 9
7.(2+1)（22+1）（24+1)（28+1）……（232+1）+1个位数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
8.如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A. 2005 B. 2006 C. 2007 D. 2008
9.计算的结果是
A. B. C. D. 以上答案都不对
10.已知，，，则多项式的值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题
11.，则 ______ ．
12已知：，则 ．
13.已知4y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是______．
14.如果，，那么 ______ ．
15.我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；，
则的展开式共有______项，系数和为______．
三、计算题
16.已知，，求：
的值．
17.已知有理数m，n满足（m+n）2=9，（m-n）2=1．求下列各式的值．
（1）mn；（2）m2+n2．
18.阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）
=（28﹣1）（28+1）
=216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
【答案】
