2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.3函数的极值课件（18张ppt）

(共18张PPT)
1、了解函数在某点取得极值的条件，掌握极值的定义；
2、掌握求函数极值的步骤和极值的
判定；
3、会用导数求多项式函数的极大值、极小值。
跳水运动中,运动员相对于水面的高度h
(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)
存在函数关系：h(t)=-4.9t 2+6.5t+10
单调递增
单调递减
一、函数的极值定义：
一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，
若对x0附近的所有点，都有f(x)则f(x0)是f(x)的一个极大值，
记作y极大值= f(x0)；
若对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，
则f(x0)是f(x)的一个极小值，
记作y极小值= f(x0)。
在定义中，极值点是自变量的值，
极值是对应的函数值。
注意：
(2)函数的极大值与极小值统称为极值。
(3)在定义域内,函数可能有多个极大值或极小值。
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
(1)极大值点、极小值点 统称为极值点。
极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小。
y
x
O
问题：观察与思考：极值与导数有何关系？
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
由上图可以看出在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而 。
假设x0使 ，那么在什么情况下，
x0是f(x)的极值点呢？
f (x)<0
y
x
O
x1
a
b
y=f(x)
在极大值点附近
在极小值点附近
f (x)<0
f (x)>0
f (x)>0
x2
二、函数极值的判断方法：
(1)：如果在x0附近的左侧 右侧 那么，
f(x0)是极大值；
(2)：如果在x0附近的左侧 右侧 那么，
f(x0)是极小值。
练习：下图是 函数 的图象，试找出函数 的极值点，
并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
变式：下图是导函数 的图象，试找出函数 的极值点，
并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
探索：x =0是否为
函数f(x)=x3的极值点
x
y
O
f (x) x3
若寻找可导函数极值点，
可否只由f (x)=0求得即可
f (x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
0 0
y
例1：求 　　　　 的极值。
解:
–
+
+
极大值
极小值
∴当x=-2时， f(x)的极大值为
当x=2时，f(x)的极小值为
总结：求函数f(x)的极值的步骤：
(2)求导数
(3)求方程 的根。
检查 在方程根左右的符号：
(1)确定函数的定义域。
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
1、左正右负(+ ~ -)，取得极大值
2、左负右正(- ~ +)，取得极小值
解：(1)
因为f(x)在x=-2，x=1处取得极值
解：(2)
单调增区间为
单调减区间为
【总一总★成竹在胸】
求函数f(x)的极值的步骤：
(2)求导数
(3)求方程 的根。
检查 在方程根左右的符号：
(1)确定函数的定义域。
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
1、左正右负（+ ~ -），取得极大值
2、左负右正（- ~ +），取得极小值