2021-2022学年高一数学上期数学 人教B版（2019）必修第三册7.3.5 已知三角函数值求角 同步训练 （含答案解析）

7．3.5　已知三角函数值求角
类型一　利用正弦值求角、解不等式
【角度1】　已知正弦值求角
【典例】已知sin x＝－，求x.
【变式】
　将本例条件改为：sin x＝，试求x.
【角度二】　利用正弦值解不等式
【典例】求不等式sin x≥的解集．
【题组训练】
1．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　)
A． B． C．或 D．或
2．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为________．
3．求不等式sin x＞－的解集．
4. 已知函数f＝sin x＋2，x∈.
(1)作出函数f的图像；
(2)求方程f＝3的解．
类型二　利用余弦值求角、解不等式
【典例】1.已知cos ＝，求x.
【典例】2．求不等式cos ＞－的解集．
【跟踪训练】
1．若cos (π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于(　　)
A．， B．±
C．± D．±
2．求不等式2cos －＜0的解集．
类型三　利用正切值求角、解不等式
【典例】1.方程tan ＝在区间[0，2π)上的解的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．不等式－A．
B．
C．
D．
【跟踪训练】
1．当0＜x＜π时，使tan x＜－1成立的x的取值范围为________.
2．函数y＝1＋tan 在区间(－π，π)内的零点个数为________．
类型四　与正、余弦型函数值有关的综合问题
【典例】已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜)在一个周期内的简图如图所示，则方程f＝m(m为常数且1＜m＜2)在内所有解的和为(　　)
A． B． C． D．π
【跟踪训练】
(多选题)函数f＝A sin 部分图像如图所示，对不同的x1，x2∈，若f＝f，都有f(x1＋x2)＝，则(　　)
A．a＋b＝π B．b－a＝
C．φ＝ D．f＝
课堂达标训练
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　)
A． B． C． D．
2.(2021·长沙高一检测)若tan α＝，且α∈，则α＝(　　)
A． B． C． D．
3．(2021·上海高一检测)若sin ＝－，θ∈[0，2π)，则θ＝________．
4．求下列不等式的解集．
(1)cos x－＜0；
(2)3tan x－≥0.
参考答案
类型一　利用正弦值求角、解不等式
【角度1】　已知正弦值求角
【典例】已知sin x＝－，求x.
【思路分析】利用三角函数线或正弦函数的图像解题．
【解析】方法一：由sin x＝－＜0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，
如图所示，
可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为sin ＝sin ＝－，
所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
方法二：因为sin x＝－，
如图所示，
由正弦函数的图像，知在内，sin ＝sin ＝－，
所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
【变式】
　将本例条件改为：sin x＝，试求x.
【解析】由sin x＝＞0可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，如图所示，
可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为sin ＝sin ＝，
所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
【角度二】　利用正弦值解不等式
【典例】求不等式sin x≥的解集．
【思路分析】先求出x∈[0，2π]时，sin x≥的解集，根据正弦函数的周期进而得到答案．
【解析】当x∈[0，2π]时，由sin x≥得x∈，而y＝sin x的最小正周期为2π，所以不等式的解集为，k∈Z.
【解题策略】
1．利用正弦值求角
利用正弦线、正弦函数的图像求出一个周期(常用，，)内的角，再表示出定义域上的所有取值，即加周期的k(k∈Z)倍．
2．利用正弦值解不等式
先求出相等时的x值，再根据单位圆、图像确定x的范围．
【题组训练】
1．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　)
A． B． C．或 D．或
【解析】选D.因为sin α＝，所以α＝＋2kπ，k∈Z或α＝＋2kπ，k∈Z，又因为α为三角形的内角，
所以α∈，所以α＝或.
2．已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为________．
【解析】由题意可得：＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin ＝1，可得sin ＝，
因为x∈(0，π]，所以2x＋∈，
所以2x＋＝或，即：x∈.
答案：
3．求不等式sin x＞－的解集．
【解析】当sin x＝－时，x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为.
4. 已知函数f＝sin x＋2，x∈.
(1)作出函数f的图像；
(2)求方程f＝3的解．
【解析】(1)当0≤x≤π时，sin x≥0，
则f＝3sin x；当π＜x≤2π时，sin x≤0，
则f＝sin x－2sin x＝－sin x.
所以f＝
函数y＝f的图像如图所示：
(2)当0≤x≤π时，令f＝3，即3sin x＝3，
得sin x＝1，解得x＝；
当π＜x≤2π时，令f＝3，得－sin x＝3，该方程无解．综上所述，方程f＝3的解为x＝.
类型二　利用余弦值求角、解不等式
【典例】1.已知cos ＝，求x.
【思路分析】利用余弦线、图像求值．
【解析】由cos ＝＞0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，
如图所示，
可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为cos ＝cos (－)＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.
【典例】2．求不等式cos ＞－的解集．
【思路分析】先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围．
【解析】如图所示，
在上，x＋＝－或x＋＝时，
cos ＝－，
所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos ＝－.
令－＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ＜x＜＋4kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为.
【解题策略】
利用余弦值求角、解不等式的思路
将ωx＋φ看作整体，先求出或上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围．
【跟踪训练】
1．若cos (π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于(　　)
A．， B．±
C．± D．±
【解析】选C.由cos (π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－.又因为x∈(－π，π)，所以x在第二或第三象限，所以x＝±.
2．求不等式2cos －＜0的解集．
【解析】不等式变为cos ＜，
则＋2kπ＜2x＋＜＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为.
类型三　利用正切值求角、解不等式
【典例】1.方程tan ＝在区间[0，2π)上的解的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路分析】利用正切线或图像求值．
【解析】选C.方法一：令t＝2x＋，作出函数y＝tan t的图像如图：
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.
又由0≤＜2π，所以k＝0，1，2，3.
故在区间[0，2π)上有4个解．
方法二：由tan ＝＞0，设t＝2x＋，
所以角2x＋对应的正切线方向朝上，而且长度为，如图所示，
可知2x＋的终边可能是OT，也可能是OT′，
因为tan ＝tan ＝，
所以2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.
又由0≤＜2π，所以k＝0，1，2，3.
故在区间[0，2π)上有4个解．
2．不等式－A．
B．
C．
D．
【思路分析】先得到x∈内满足不等式的x的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案．
【解析】选A.当x∈时，
tan ＝－，tan ＝1且y＝tan x单调递增，又－所以－所以不等式的解集为.
【解题策略】
已知正切值求角、解不等式的思路
(1)将ωx＋φ看作一个整体，先根据正切线、图像求出一个周期内的值或范围，一般选取，再推广到定义域上，正切加kπ，区别于正、余弦加2kπ.
(2)最后代入ωx＋φ求值或求范围．
【跟踪训练】
1．当0＜x＜π时，使tan x＜－1成立的x的取值范围为________.
【解析】由正切函数的图像知，当0＜x＜π时，
若tan x＜－1，则＜x＜，
即实数x的取值范围是.
答案：
2．函数y＝1＋tan 在区间(－π，π)内的零点个数为________．
【解析】函数y＝1＋tan ，
令1＋tan ＝0，得tan ＝－1，
所以2x－＝kπ－，k∈Z；解得x＝－，k∈Z；
当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝－；
当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝；
所以y在区间(－π，π)内的零点有4个．
答案：4
类型四　与正、余弦型函数值有关的综合问题
【典例】已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜)在一个周期内的简图如图所示，则方程f＝m(m为常数且1＜m＜2)在内所有解的和为(　　)
A． B． C． D．π
【思路分析】根据题图知A＝2，再求解ω和φ进而求方程f＝m(m为常数且1＜m＜2)在内所有解的和．
【解析】选B.根据函数f＝A sin (A＞0，ω＞0，＜)在一个周期内的简图，可得A＝2，再把点代入可得2sin φ＝1，求得sin φ＝，所以φ＝.
再根据五点法作图可得ω·＋＝π，所以ω＝2，故函数f＝2sin ，令2x＋＝＋2kπ，k∈Z得x＝kπ＋，k∈Z，又x∈，故函数的对称轴是x＝，故由图像可得方程f＝m(m为常数且1＜m＜2)在内所有的解共有2个，且这2个解的和等于2×＝.
【解题策略】
与正、余弦型函数值有关的综合问题
此类问题的情形较多，含有参数是此类问题常呈现的一种形式．一是函数值含有参数，通常可利用参变量分离的方法将参变量分离出来，然后作出三角函数的图像利用特殊角的值进行求解；二是自变量所在区间含有参数，此时可以利用函数值结合三角函数图像的对称性等性质求解．
【跟踪训练】
(多选题)函数f＝A sin 部分图像如图所示，对不同的x1，x2∈，若f＝f，都有f(x1＋x2)＝，则(　　)
A．a＋b＝π B．b－a＝
C．φ＝ D．f＝
【解析】选BC.由三角函数的最大值可知A＝2，设＝m，则x1＋x2＝2m，由对称性可知f＝2，则2sin ＝2，解得2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
f＝2sin
＝2sin (2×2m＋φ)＝2sin [2×(2m＋φ)－φ]
＝2sin
＝2sin [4kπ＋π－φ]＝2sin φ＝，
则sin φ＝，结合|φ|＜，得φ＝，
则f＝2sin ，由五点作图法可知：
2a＋＝0，2b＋＝π，所以a＝－，b＝，
所以a＋b＝，b－a＝，
f＝f＝2sin ＝.
课堂达标训练
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.因为x∈(π，2π)且cos x＝－，
所以x＝.
2.(2021·长沙高一检测)若tan α＝，且α∈，则α＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.因为tan ＝，所以α＝＋kπ，k∈Z.
又因为α∈，所以α＝.
3．(2021·上海高一检测)若sin ＝－，θ∈[0，2π)，则θ＝________．
【解析】因为sin ＝－，
所以－cos θ＝－，
即cos θ＝，又θ∈[0，2π)，所以θ＝或θ＝.
答案：或
4．求下列不等式的解集．
(1)cos x－＜0；
(2)3tan x－≥0.
【解析】(1)因为cos x－＜0，所以cos x＜，
利用余弦线或余弦曲线可知所求解集
为.
(2)因为3tan x－≥0，所以tan x≥，
利用正切线或正切曲线可知所求解集
为.