人教版八年级数学上册《第十五章章末复习》名师教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册《第十五章章末复习》名师教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-31 09:58:42 | ||
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文档简介
第十五章 分式 章末复习
一、思维导图
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二、典型例题
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，.
【知识点】分式的概念
【思路点拨】根据整式和分式的概念进行判断．在这里要认识到：(1) π表示圆周率，是一个无限不循环小数，即无理数；(2)单独的一个数是单项式，单项式是整式，所以是整式；(3)给定一个式子不能化简后再去判断，要根据原来的形式进行判断，如是分式，不能约分成a，误认为是整式．
【解答过程】解：整式有，，，，；分式有，.
例2 计算：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】分式的运算
【思路点拨】(1)因为b－a＝－(a－b)，而1＝，所以通分时最简公分母为a－b，也可首先把前两项进行运算．(2)把最后一个分式化简后再进行混合运算．(3)可把y＋2视作一个整体，首先进行括号内的运算，再进行括号外的运算．
【解答过程】解：(1)原式＝＝＝
＝＝2.
或者原式＝＝＝1＋1＝2.
(2)原式＝＝
＝＝==-1.
(3)原式＝＝
＝＝＝.
例3 解下列分式方程：
(1) ； (2) .
【知识点】分式方程的解法
【数学思想】化归思想
【思路点拨】 (1)方程中分母x2－1＝(x＋1)(x－1)，所以方程两边同乘最简公分母(x＋1)(x－1)，注意不含分母的常数项1也要乘(x＋1)(x－1)；(2)中方程的分母6x－2＝2(3x－1)，又因为1－3x＝－(3x－1)，所以方程两边同乘最简公分母2(3x－1)，注意常数项也要乘2(3x－1)．
【解答过程】解：(1)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
x(x＋1)－2＝(x＋1)(x－1)．
去括号，得x2＋x－2＝x2－1.
移项、合并同类项，得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，所以原分式方程无解．
(2)原方程化为
方程两边同乘2(3x－1)，得1＝(3x－1)－4.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，2(3x－1)≠0，所以x＝2是原分式方程的解．
例4 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题：
(1)根据题意，填写下表：
车间 生产零件总个数 平均每小时生产零件的个数 所用时间
甲车间 600 x
乙车间 900 ________ ________
(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？
【知识点】分式方程的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】 先用x表示乙车间平均每小时生产的零件个数，再用x表示乙车间生产900个零件所用的时间，根据“时间相等”列方程．
【解答过程】解：(1)依次填入30＋x，.
(2)依题意列方程，得，
解得x＝60，30＋x＝90.
当x＝60时，x与30＋x均不为0，且符合实际意义．
所以甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生产90个零件．
三、章末检测题
（一）选择题：
1. 下列各式：其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点】分式的定义
【思路点拨】依据分式的概念进行判断．
【解答过程】都是整式，是分式．故选A．
【答案】A
2. 若分式的值为0，则x的值为( )
A．2或－1 B．0 C．2 D．－1
【知识点】分式的有关概念
【思路点拨】分式的值为0，则分子为0而分母不为0．
【解答过程】由题意可知x－2＝0，得x＝2.由x＋1≠0，得x≠－1，所以x＝2，故选C.
【答案】C
3．分式可变形为( )
A. B． C. D．
【知识点】分式的基本性质
【思路点拨】分子、分母、分式本身的符号，只要同时改变其中的两个，分式的值不变．
【答案】D
4.若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】分式的基本性质
【思路点拨】 ．
【解答过程】
【答案】A
5. 下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点】分式的基本性质
【思路点拨】分式的分子、分母除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．
【答案】C
6.计算的正确结果是（ ）
A.0 B. C. D.
【知识点】分式的通分
【思路点拨】最简公分母为，通分可得．
【解答过程】== =
【答案】C
7．下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】分式的运算
【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除的运算法则进行检查．
【解答过程】，则A错误的；，则B错误的；，则C错误的；是正确的；故选D．
【答案】D
8．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】最简分式
【思路点拨】利用最简分式的定义判断即可．
【解答过程】解：A原式为最简分式，符合题意；B原式==，不合题意；C原式==，不合题意；D原式==，不合题意，故选A
【答案】A
9．解分式方程时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1)
【知识点】分式方程的解法
【数学思想】化归思想
【思路点拨】两边都乘以x-1可得结果．
【解答过程】原方程可化为，在方程的两边同乘以(x－1)，得2－(x＋2)＝3(x－1)，故选D.
【答案】D
10．A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】分式方程的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．
【解答过程】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得，．故选B．
【答案】B
11．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是( )
A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＞－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1
【知识点】分式方程的解、分式方程的解法
【数学思想】转化思想
【思路点拨】此题解题的关键是用关于m的式子表示出分式方程的解；先对原分式方程去分母转化为整式方程，可用含m的代数式表示出x＝；又由于该分式方程的解为非负数，于是可以得出关于m的不等式，从而求出m的值；
又根据已知分式方程可知x-1≠0，则有≠1，对其求解得到m不能取到的值，即可使问题得解.
【解答过程】方程两边都乘以（x－1），得m－1＝2(x－1)，所以x＝.
∵x为非负数，∴ ≥0.解得m≥－1.
又∵x－1≠0，即≠1，∴m≠1，故选D.
【答案】D．
12.小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间（），则谁走完全程所用的时间较少？（ ）
A．小明 B.小刚 C.时间相同 D.无法确定
【知识点】分式的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】把全程看作单位“1”．根据时间=路程÷速度，表示出小明、小刚所用的总时间；为了比较它们的大小，用做差法，看差的正负性．
【解答过程】解：设全程为1，小明所用总时间是＝，小刚所用总时间是，小明所用时间减去小刚所用时间得－＝＝＞0，显然小刚所用的时间较少.故选B
【答案】B
（二）填空题：
13. 当式子有意义时，x应满足的条件为________．
【知识点】分式有意义
【思路点拨】分式有意义的条件是分母不能为0．
【解答过程】解：∵分母不能为0，∴，即，则x≠±1.
【答案】x≠±1.
14. 杨絮纤维的直径约为0.0000105 m，该直径用科学记数法表示为________．
【知识点】科学记数法
【思路点拨】绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为．
【解答过程】0.0000105= 1.05×10－5
【答案】1.05×10－5
15. 关于x的分式方程无解，则m=___.
【知识点】分式方程的解
【数学思想】化归思想、分类思想.
【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答过程】方程去分母得：m (x 2)=0，解得：x=2+m，
∴当x=2时分母为0，方程无解，
即2+m=2，∴m=0时方程无解.
当x= 2时分母为0，方程无解，
即2+m= 2，∴m= 4时方程无解.
综上所述，m的值是0或 4.
【答案】0或 4.
16．若，则__________.
【知识点】分式的性质
【数学思想】整体思想
【思路点拨】先对所求代数式化简，再把的值整体代入求值即可．或先把 两边同时平方，求出的值，然后对所求代数式化简，再把的值整体代入求值即可．
【解答过程】方法一：=；
∴当，原式=32 1=8.
方法二：由得，，∴＝.
【答案】8.
17. 如果实数x，y是方程组的解，那么式子 的值为______．
【知识点】分式的值
【思路点拨】先求出方程组的解得到x与y的值，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后代入计算即可求出值．
【解答过程】解：解方程组得 ∴ 原式＝＝xy＋2(x＋y)＝3×(－1)＋2×(3－1)＝－3＋4＝1.
【答案】1.
18. 已知三个数x、y、z满足，，，则的值为___.
【知识点】分式的化简求值
【数学思想】转化思想
【思路点拨】所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入，计算即可求出值．
【解答过程】∵，，
∴，，，
∴ 即：，
则=， ∴= 4
【答案】 4
（三）解答题：
19．化简：(1) ；(2) .
【知识点】分式的混合运算
【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除运算法则进行运算．
【解答过程】解：(1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝＝＝.
20．解下列分式方程：
(1) ； (2) .
【知识点】分式方程的解法.
【数学思想】化归思想.
【思路点拨】去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验．
【解答过程】解：(1)去分母得x＝2(3x－1)＋1，去括号得x＝6x－2＋1，合并同类项得5x＝1，系数化为1得x＝. 经检验，x＝是分式方程的解．
(2)原方程可化为，
两边同时乘以(2x＋1)(2x－1)，得
x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)，
x＋1＝6x－3－4x－2，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的解．
∴原方程的解是x＝6.
21．先化简，再求值：已知，求的值.
【知识点】分式的运算
【数学思想】整体思想
【思路点拨】先利用分式的运算法则化简，再代入求值．
【解答过程】原式＝＝
＝＝＝，
当时，原式＝＝＝
22．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
【知识点】分式方程的应用．
【数学思想】转化思想
【思路点拨】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
【解答过程】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得：，
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．
23．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用．
【数学思想】化归思想
【思路点拨】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程，解方程即可；（2）设平均每年绿化面积还要增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式，解不等式即可．
【解答过程】解：(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54(万平方米).
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积还要增加a万平方米，根据题意，得
54×3+2（54+a）≥360
解得：a≥45．
答：实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．
24．已知a为大于2的整数，若关于x的不等式组无解．
(1)求a的值；
(2)化简并求的值．
【知识点】分式的混合运算、不等式组的解集
【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据无解得出a的值，再化简求值．
【解答过程】解：(1)解不等式2x－a≤0，得x≤.
∵原不等式组无解，∴＜2，解得a＜4.
又∵a为大于2的整数，∴a＝3.
(2)原式＝＝＝a＋1.
当a＝3时，原式＝3＋1＝4.
25．某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B工程队的工作效率相同，且都为C工程队的2倍，若由一个工程队单独完成，C工程队比A工程队要多用10天．学校决定由三个工程队一起施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天后，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B工程队提高的工作效率仍然都是C工程队提高的2倍，这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务．
(1)求A工程队原来平均每天维修课桌的张数；
(2)求A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围．
【知识点】分式方程的应用、不等式的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】（1）求工效，有工作总量，应根据时间来列等量关系为：C队所用天数-A队所用天数=10；
（2）剩余任务完成的天数应在3天和4天之间．
【解答过程】解：(1)设C工程队原来平均每天维修课桌x张，
根据题意，得.
解这个方程，得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意，2x＝60.
答：A工程队原来平均每天维修课桌60张．
(2)设C工程队提高工作效率后平均每天多维修课桌y张，施工2天后，已维修(60＋60＋30)×2＝300(张)， 从第3天起还需维修的张数应为600－300＋360＝660(张)．
根据题意，得3(2y＋2y＋y＋150)≤660≤4(2y＋2y＋y＋150)．
解这个不等式组，得3≤y≤14.
∴6≤2y≤28.
答：A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围为6≤a≤28.
26．阅读下面材料，并解答问题.
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解：由分母为 x2+1，可设 x4 x2+3=( x2+1)(x2+a)+b
则 x4 x2+3=( x2+1)(x2+a)+b= x4 ax2+x2+a+b= x4 (a 1)x2+(a+b)
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1.
∴===
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和。
解答：
（1）请你仿照上述过程将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为
整数)的和的形式.
（2）当时，试说明的最小值为8.
【知识点】分式的混合运算
【数学思想】整体思想
【思路点拨】只需仿照原材料中的解题过程就可解决问题．
【解答过程】解：(1)由分母为 x2+1，可设 x4 6x2+8=( x2+1)(x2+a)+b
则 x4 6x2+8=( x2+1)(x2+a)+b= x4 ax2+x2+a+b= x4 (a 1)x2+(a+b)
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=7，b=1.
∴===
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和.
(2)当时，由=知，对于，
当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即的最小值为8.
一、思维导图
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二、典型例题
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，.
【知识点】分式的概念
【思路点拨】根据整式和分式的概念进行判断．在这里要认识到：(1) π表示圆周率，是一个无限不循环小数，即无理数；(2)单独的一个数是单项式，单项式是整式，所以是整式；(3)给定一个式子不能化简后再去判断，要根据原来的形式进行判断，如是分式，不能约分成a，误认为是整式．
【解答过程】解：整式有，，，，；分式有，.
例2 计算：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】分式的运算
【思路点拨】(1)因为b－a＝－(a－b)，而1＝，所以通分时最简公分母为a－b，也可首先把前两项进行运算．(2)把最后一个分式化简后再进行混合运算．(3)可把y＋2视作一个整体，首先进行括号内的运算，再进行括号外的运算．
【解答过程】解：(1)原式＝＝＝
＝＝2.
或者原式＝＝＝1＋1＝2.
(2)原式＝＝
＝＝==-1.
(3)原式＝＝
＝＝＝.
例3 解下列分式方程：
(1) ； (2) .
【知识点】分式方程的解法
【数学思想】化归思想
【思路点拨】 (1)方程中分母x2－1＝(x＋1)(x－1)，所以方程两边同乘最简公分母(x＋1)(x－1)，注意不含分母的常数项1也要乘(x＋1)(x－1)；(2)中方程的分母6x－2＝2(3x－1)，又因为1－3x＝－(3x－1)，所以方程两边同乘最简公分母2(3x－1)，注意常数项也要乘2(3x－1)．
【解答过程】解：(1)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
x(x＋1)－2＝(x＋1)(x－1)．
去括号，得x2＋x－2＝x2－1.
移项、合并同类项，得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，所以原分式方程无解．
(2)原方程化为
方程两边同乘2(3x－1)，得1＝(3x－1)－4.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，2(3x－1)≠0，所以x＝2是原分式方程的解．
例4 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题：
(1)根据题意，填写下表：
车间 生产零件总个数 平均每小时生产零件的个数 所用时间
甲车间 600 x
乙车间 900 ________ ________
(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？
【知识点】分式方程的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】 先用x表示乙车间平均每小时生产的零件个数，再用x表示乙车间生产900个零件所用的时间，根据“时间相等”列方程．
【解答过程】解：(1)依次填入30＋x，.
(2)依题意列方程，得，
解得x＝60，30＋x＝90.
当x＝60时，x与30＋x均不为0，且符合实际意义．
所以甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生产90个零件．
三、章末检测题
（一）选择题：
1. 下列各式：其中分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点】分式的定义
【思路点拨】依据分式的概念进行判断．
【解答过程】都是整式，是分式．故选A．
【答案】A
2. 若分式的值为0，则x的值为( )
A．2或－1 B．0 C．2 D．－1
【知识点】分式的有关概念
【思路点拨】分式的值为0，则分子为0而分母不为0．
【解答过程】由题意可知x－2＝0，得x＝2.由x＋1≠0，得x≠－1，所以x＝2，故选C.
【答案】C
3．分式可变形为( )
A. B． C. D．
【知识点】分式的基本性质
【思路点拨】分子、分母、分式本身的符号，只要同时改变其中的两个，分式的值不变．
【答案】D
4.若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】分式的基本性质
【思路点拨】 ．
【解答过程】
【答案】A
5. 下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点】分式的基本性质
【思路点拨】分式的分子、分母除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．
【答案】C
6.计算的正确结果是（ ）
A.0 B. C. D.
【知识点】分式的通分
【思路点拨】最简公分母为，通分可得．
【解答过程】== =
【答案】C
7．下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】分式的运算
【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除的运算法则进行检查．
【解答过程】，则A错误的；，则B错误的；，则C错误的；是正确的；故选D．
【答案】D
8．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】最简分式
【思路点拨】利用最简分式的定义判断即可．
【解答过程】解：A原式为最简分式，符合题意；B原式==，不合题意；C原式==，不合题意；D原式==，不合题意，故选A
【答案】A
9．解分式方程时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1)
【知识点】分式方程的解法
【数学思想】化归思想
【思路点拨】两边都乘以x-1可得结果．
【解答过程】原方程可化为，在方程的两边同乘以(x－1)，得2－(x＋2)＝3(x－1)，故选D.
【答案】D
10．A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】分式方程的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．
【解答过程】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得，．故选B．
【答案】B
11．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是( )
A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＞－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1
【知识点】分式方程的解、分式方程的解法
【数学思想】转化思想
【思路点拨】此题解题的关键是用关于m的式子表示出分式方程的解；先对原分式方程去分母转化为整式方程，可用含m的代数式表示出x＝；又由于该分式方程的解为非负数，于是可以得出关于m的不等式，从而求出m的值；
又根据已知分式方程可知x-1≠0，则有≠1，对其求解得到m不能取到的值，即可使问题得解.
【解答过程】方程两边都乘以（x－1），得m－1＝2(x－1)，所以x＝.
∵x为非负数，∴ ≥0.解得m≥－1.
又∵x－1≠0，即≠1，∴m≠1，故选D.
【答案】D．
12.小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间（），则谁走完全程所用的时间较少？（ ）
A．小明 B.小刚 C.时间相同 D.无法确定
【知识点】分式的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】把全程看作单位“1”．根据时间=路程÷速度，表示出小明、小刚所用的总时间；为了比较它们的大小，用做差法，看差的正负性．
【解答过程】解：设全程为1，小明所用总时间是＝，小刚所用总时间是，小明所用时间减去小刚所用时间得－＝＝＞0，显然小刚所用的时间较少.故选B
【答案】B
（二）填空题：
13. 当式子有意义时，x应满足的条件为________．
【知识点】分式有意义
【思路点拨】分式有意义的条件是分母不能为0．
【解答过程】解：∵分母不能为0，∴，即，则x≠±1.
【答案】x≠±1.
14. 杨絮纤维的直径约为0.0000105 m，该直径用科学记数法表示为________．
【知识点】科学记数法
【思路点拨】绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为．
【解答过程】0.0000105= 1.05×10－5
【答案】1.05×10－5
15. 关于x的分式方程无解，则m=___.
【知识点】分式方程的解
【数学思想】化归思想、分类思想.
【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答过程】方程去分母得：m (x 2)=0，解得：x=2+m，
∴当x=2时分母为0，方程无解，
即2+m=2，∴m=0时方程无解.
当x= 2时分母为0，方程无解，
即2+m= 2，∴m= 4时方程无解.
综上所述，m的值是0或 4.
【答案】0或 4.
16．若，则__________.
【知识点】分式的性质
【数学思想】整体思想
【思路点拨】先对所求代数式化简，再把的值整体代入求值即可．或先把 两边同时平方，求出的值，然后对所求代数式化简，再把的值整体代入求值即可．
【解答过程】方法一：=；
∴当，原式=32 1=8.
方法二：由得，，∴＝.
【答案】8.
17. 如果实数x，y是方程组的解，那么式子 的值为______．
【知识点】分式的值
【思路点拨】先求出方程组的解得到x与y的值，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后代入计算即可求出值．
【解答过程】解：解方程组得 ∴ 原式＝＝xy＋2(x＋y)＝3×(－1)＋2×(3－1)＝－3＋4＝1.
【答案】1.
18. 已知三个数x、y、z满足，，，则的值为___.
【知识点】分式的化简求值
【数学思想】转化思想
【思路点拨】所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入，计算即可求出值．
【解答过程】∵，，
∴，，，
∴ 即：，
则=， ∴= 4
【答案】 4
（三）解答题：
19．化简：(1) ；(2) .
【知识点】分式的混合运算
【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除运算法则进行运算．
【解答过程】解：(1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝＝＝.
20．解下列分式方程：
(1) ； (2) .
【知识点】分式方程的解法.
【数学思想】化归思想.
【思路点拨】去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验．
【解答过程】解：(1)去分母得x＝2(3x－1)＋1，去括号得x＝6x－2＋1，合并同类项得5x＝1，系数化为1得x＝. 经检验，x＝是分式方程的解．
(2)原方程可化为，
两边同时乘以(2x＋1)(2x－1)，得
x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)，
x＋1＝6x－3－4x－2，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原分式方程的解．
∴原方程的解是x＝6.
21．先化简，再求值：已知，求的值.
【知识点】分式的运算
【数学思想】整体思想
【思路点拨】先利用分式的运算法则化简，再代入求值．
【解答过程】原式＝＝
＝＝＝，
当时，原式＝＝＝
22．某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
【知识点】分式方程的应用．
【数学思想】转化思想
【思路点拨】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
【解答过程】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得：，
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解，
2x=2×15=30，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．
23．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用．
【数学思想】化归思想
【思路点拨】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程，解方程即可；（2）设平均每年绿化面积还要增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式，解不等式即可．
【解答过程】解：(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54(万平方米).
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积还要增加a万平方米，根据题意，得
54×3+2（54+a）≥360
解得：a≥45．
答：实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．
24．已知a为大于2的整数，若关于x的不等式组无解．
(1)求a的值；
(2)化简并求的值．
【知识点】分式的混合运算、不等式组的解集
【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据无解得出a的值，再化简求值．
【解答过程】解：(1)解不等式2x－a≤0，得x≤.
∵原不等式组无解，∴＜2，解得a＜4.
又∵a为大于2的整数，∴a＝3.
(2)原式＝＝＝a＋1.
当a＝3时，原式＝3＋1＝4.
25．某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B工程队的工作效率相同，且都为C工程队的2倍，若由一个工程队单独完成，C工程队比A工程队要多用10天．学校决定由三个工程队一起施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天后，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B工程队提高的工作效率仍然都是C工程队提高的2倍，这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务．
(1)求A工程队原来平均每天维修课桌的张数；
(2)求A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围．
【知识点】分式方程的应用、不等式的应用
【数学思想】转化思想
【思路点拨】（1）求工效，有工作总量，应根据时间来列等量关系为：C队所用天数-A队所用天数=10；
（2）剩余任务完成的天数应在3天和4天之间．
【解答过程】解：(1)设C工程队原来平均每天维修课桌x张，
根据题意，得.
解这个方程，得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意，2x＝60.
答：A工程队原来平均每天维修课桌60张．
(2)设C工程队提高工作效率后平均每天多维修课桌y张，施工2天后，已维修(60＋60＋30)×2＝300(张)， 从第3天起还需维修的张数应为600－300＋360＝660(张)．
根据题意，得3(2y＋2y＋y＋150)≤660≤4(2y＋2y＋y＋150)．
解这个不等式组，得3≤y≤14.
∴6≤2y≤28.
答：A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围为6≤a≤28.
26．阅读下面材料，并解答问题.
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解：由分母为 x2+1，可设 x4 x2+3=( x2+1)(x2+a)+b
则 x4 x2+3=( x2+1)(x2+a)+b= x4 ax2+x2+a+b= x4 (a 1)x2+(a+b)
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1.
∴===
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和。
解答：
（1）请你仿照上述过程将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为
整数)的和的形式.
（2）当时，试说明的最小值为8.
【知识点】分式的混合运算
【数学思想】整体思想
【思路点拨】只需仿照原材料中的解题过程就可解决问题．
【解答过程】解：(1)由分母为 x2+1，可设 x4 6x2+8=( x2+1)(x2+a)+b
则 x4 6x2+8=( x2+1)(x2+a)+b= x4 ax2+x2+a+b= x4 (a 1)x2+(a+b)
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=7，b=1.
∴===
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和.
(2)当时，由=知，对于，
当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即的最小值为8.