2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第三册7.1.2弧度制及其与角度制的换算同步训练（Word含答案解析)

二　弧度制及其与角度制的换算
一、选择题
1．(2021·天津高一检测)下列转化结果错误的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
2．(2021·神州高一检测)已知扇形的圆心角为，面积为 cm2，则扇形的半径为(　　)
A． cm B．1 cm
C．2 cm D．4 cm
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是(　　)
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为平方步
4．(2021·烟台高一检测)3弧度的角终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
6．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是
D．化成角度是5°
二、填空题
7．如果一扇形的圆心角为60°，半径等于3 cm，则该扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.
8. 已知扇形△AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________．
9. 分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B，C为圆心，1为半径作圆弧AC，BD交于点E，则△BCE的周长为______，曲边三角形ABE的周长为________.
10.如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
11．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为________cm2.
三、解答题
12． (2021成都高一检测)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
13．已知角α＝－920°.
(1)把角α写成2kπ＋β(0≤β＜2π，k∈Z)的形式，并确定角α所在的象限；
(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈(－4π，－3π)，求角γ.
参考答案
一、选择题
1．(2021·天津高一检测)下列转化结果错误的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
【解析】选C.30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．
2．(2021·神州高一检测)已知扇形的圆心角为，面积为 cm2，则扇形的半径为(　　)
A． cm B．1 cm
C．2 cm D．4 cm
【解析】选C.设扇形的半径为R，则扇形的面积S＝αR2＝××R2＝，解得R＝2.
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是(　　)
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为平方步
【解析】选B.依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝(平方步).
4．(2021·烟台高一检测)3弧度的角终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选B.因为<3<π，所以3弧度的角终边在第二象限．
5．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
【解析】选D.－1 485°＝－5×360°＋315°，
化为α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为－10π.
6．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是
D．化成角度是5°
【解析】选AB.对于A，67°30′＝67.5°×＝，正确；
对于B，－＝－×＝－600°，正确；
对于C，－150°＝－150°×＝－，错误；
对于D，＝×＝15°，错误．
【解析】C选项角度为负值而化为弧度时成了正值，故错误，其次D选项形式较为简单，易验证错误，从而得到正确答案．
二、填空题
7．如果一扇形的圆心角为60°，半径等于3 cm，则该扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.
【解析】圆心角为60°，即等于，
由弧长公式可得l＝αr＝×3＝π，
由扇形面积公式可得S＝lr＝×π×3＝.
答案：π　π
8. 已知扇形△AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________．
【解析】设扇形的半径为r，可得出扇形的弧长为l＝4－2r(0＜r＜2)，
所以扇形的面积为S＝lr＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
当r＝1时，该扇形的面积取到最大值1，
扇形的弧长为l＝4－2r＝2，
此时∠AOB＝＝2，如图所示，
取AB的中点C，连接OC，
则OC⊥AB，且∠AOC＝1，
因此AB＝2AC＝2r sin 1＝2sin 1.
答案：2sin 1
9. 分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B，C为圆心，1为半径作圆弧AC，BD交于点E，则△BCE的周长为______，曲边三角形ABE的周长为________.
【解析】因为两圆半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE为正三角形，所以△BCE的周长为3.圆心角∠EBC，∠ECB都是，＝×1＝，∠EBA＝－＝，＝×1＝，所以曲边三角形ABE的周长是1＋＋＝1＋.
答案：3　1＋
10.如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
【解析】设AB＝1，∠EAD＝α，
因为S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
所以α＝2－.
答案：2－
11．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为________cm2.
【解析】由题意可知OB＝OA＝1，OC＝OC′＝ BC＝B′C′＝，∠B′OC＝∠B′OC′＝60°，扇形AOB′的面积为π，Rt△C′OB′的面积为，故左边空白图形的面积为S1＝－，而右边两块空白图形的面积为S2＝×π×＋＝＋，由此可得空白图形的面积为S＝S1＋S2＝＋＝，而半圆的面积为π，所以所求阴影部分的面积为－＝(cm2).
答案：
三、解答题
12． (2021成都高一检测)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解析】(1)α＝60°＝rad，所以l＝α·R＝×10＝(cm).
(2)由题意得
解得(舍去)，
故扇形圆心角为.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝lR＝(20－2R)R
＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.
13．已知角α＝－920°.
(1)把角α写成2kπ＋β(0≤β＜2π，k∈Z)的形式，并确定角α所在的象限；
(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈(－4π，－3π)，求角γ.
【解析】(1)因为－920°＝－3×360°＋160°，
160°＝，
所以α＝－920°＝－3×2π＋.
因为角α与终边相同，所以角α是第二象限角．
(2)因为角γ与α的终边相同，
所以设γ＝2kπ＋(k∈Z).
因为γ∈(－4π，－3π)，
由－4π＜2kπ＋＜－3π，可得－＜k＜－.
又因为k∈Z，所以k＝－2.
所以γ＝－4π＋＝－.